Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö"

Transkript

1 Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

2 ii

3 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa flera av uppgifterna är det ett tecken på att du bör gå tillbaka till dina gymnasieböcker, eller annan relevant litteratur, och repetera. Materialet som behandlas är nödvändiga förkunskaper, som vi inte kommer att ha tid att behandla under kursens gång. 1. Förenkla uttrycken 3 2 ( 3 2 och ( ( Förenkla uttrycket 1 ( så långt som möjligt (d v s skriv det som en kvot av två heltal utan gemensamma primtalsfaktorer. 3. Utveckla polynomet 18x ( 1 x(3x 2 5(2x 7x 2 (4x 3 3x(4 5x 2, och skriv det på standardformen a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. 4. Förenkla uttrycket (3 + x 2 9x x 3 ( 2 12 x + 3 så långt som möjligt, d v s skriv det som en kvot av två polynom som saknar gemensamma faktorer. Ange för vilka värden på det reella talet x R som förenklingen är giltig. 5. Faktorisera polynomet 4 4x 3x 2 genom att, bland annat, kvadratkomplettera. 6. Lös ekvationen (96x 6x 3 (3x + 5 = Förenkla följande uttryck: a 3, 1

4 2 b 3, c Avgör för vilka reella tal x följande villkor är uppfyllda. Illustrera dina lösningar på en tallinje. a x 7 2, b x 7 2, c 2 < x 7 5, 9. Lös ekvationen 2x + 3 = x. 10. Ange de exakta värdena av sin α och cos α för α = 0, π 6, π 4, π 3 utantill!. (lär dig dessa värden 11. I en rätvinklig triangel har de två kateterna längd 1 respektive 2. Bestäm sinus och cosinus för de två spetsiga vinklarna i triangeln. Kan du säga någonting ungefärligt om storleken på dessa vinklarna? Lös ekvationen cos(3x = Bestäm ekvationen för den räta linje som innehåller punkterna (1, 1 och (3, Bestäm den reella konstanten a så att linjen y = ax 2 passerar genom punkten (2, 1.

5 1 2. Linjära ekvationssystem Läs kapitel 1: Linear equations i kursboken (B. Räknereglerna för matriser, som beskrivs i delavsnittet Matrix algebra i avsnitt 1.3, kommer att gås igenom mer grundligt i en senare del av kursen; det som framför allt är viktigt nu är definitionen av produkten av en matris med en vektor. Mängden rekommenderade uppgifter på varje kapitel är som regel ganska stor, men många av problemen är likartade. Den som anser sig behärska en viss problemtyp hoppar lämpligtvis direkt till nästa typ. Högre numrerade problem är ofta (men inte alltid av en något mer teoretisk natur. Rekommenderade uppgifter Ur kursboken: 1.1: 1, 3, 5, 7, 9, 19; 1.2: 1, 3, 5, 21, 31; 1.3: 1, 3, 5, 9, 13, 15, 27. Not: Fel facit till uppgift 1.2:21 i boken, här skall dessutom e = 0. Dessutom: 15. Lös följande linjära ekvationssystem: a b c { x 3y = 11, 4x + 5y = 7, { x + y = 3, 2x y = 2, { x y = 3, 2x + 2y = Lös följande linjära ekvationssystem: a b { x + 2y + z = 1 x y + 2z = 1 { w + 2x + y + z = 0 w x + 2y + z = 0 3

6 4 c 2y z = 2 2x + 3y 2z = 1 2w + 4x + 5y + z = Lös matrisekvationen ( ( 1 2 x 3 5 y = ( a b där a, b R är godtyckliga konstanter. 18. Lös ekvationssystemet { x + 2y = 1 3x + ay = 0 där a R är en godtycklig konstant. 19. Betrakta följande linjära ekvationssystem: x + y z = 2 x + 2y + z = 3 x + y + (k 2 5z = k där k är en godtycklig konstant. För vilka värden på k har ekvationssystemet a entydig lösning? b oändligt många lösningar? c inga lösningar? 20. Visa att ett ekvationssystem med fler obekanta än ekvationer aldrig kan ha entydig lösning. 21. Vilka av följande matriser är på reducerad trappstegsform? För vilka av dem gäller att vänsterledet är på reducerad trappstegsform? ( a ( b c ( d e Hur många lösningar har de ekvationssystem som beskrivs av totalmatriserna i uppgift 21?

7 5 Hemuppgifter 23. Lös det linjära ekvationssystemet w + 2x y + z = 1, 2w + x + 2y z = 2, 4w + 3x 4y + 3z = 0. ( Låt A vare en 3 3 -matris, och antag att matrisekvationen Ax = har unik lösning. 3 Hur många lösningar har i så fall ekvationen Ax = 0?

8 3 4. Vektorer och linjär geometri Litteratur för denna del är Kapitel 14 (sidorna i texten Fundamentals of Linear Algebra av J. B. Carrell. Den finns tillgänglig på författarens hemsida: Alla övningsuppgifter i slutet av kapitlet är användbara för denna kurs. Mitt förslag är att först göra några av de mer beräkningsmässiga uppgifterna, exempelvis , 6, 8, 9, 13, 26, 29, 30a, och därefter prova ett antal av mer teoretisk karaktär, såsom 16 19, 21, 31. Ytterligare några rekommenderade uppgifter finns härunder. 25. Låt u, v, w och z vara vektorerna som representeras av de riktade sträckorna AB, BC, CD respektive DB. Vilka riktade sträckor representerar följande vektorer? a u + v + w, b v + w + z, c u + v + w + z, d u w z, e v + w + 2z. ( Beräkna alla skalärprodukter som kan bildas mellan vektorerna u = ( 22 w =. 1 2 ( 93, v = och Bestäm längderna av vektorerna u, v och w i föregående uppgift, och vinklarna mellan dem. 28. De två vektorerna u och v uppfyller att u = 3, v = 4 och u + v = 5. Hur stor är vinklen mellan u och v? 29. Bestäm ekvationen, på parameterform, för den linje som passerar genom punkten och är parallell med planen som ges av ekvationerna x + y + z = 0 och 2x + z = 1. ( 11 1, 6

9 7 Hemuppgifter 30. Bestäm längderna av vektorerna u = ( 1 1 och v = 0 och är parallellt med vek- 31. Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkten ( 12 ( 01 torerna u = och v = Bestäm det minsta avståndet från punkten A till planet π, då ( 1 a A =, π : 3x + y = 0; 2 ( 1 b A =, π : 3x + y = 2. 2 ( 1 2, och vinkeln mellan dem. 1 ( 11 1 Svar till rekommenderade uppgifter i Carrells bok ( ( ( x c b 1. = + t, t R. y 0 a 2. 3x 2y = 5 x x i y = 1 + t 1 ii y z = z 3 5 w x 1/ y = 3/2 + t 2 z Linjerna skär inte varandra. 8. x 2y + 3z = 4 9. i Skär ej. ii Linjen ligger i planet t p = , q = x + 9y 7z = 0 x 1 30a. y = t 1 z Ja, x y är ortogonal mot varje vektor på formen λ 1 x + λ 2 y, λ 1, λ 2 R.

10 5 6. Komplexa tal Rekommenderad läsning är häftet Komplexa tal. Begrepp och definitioner som kan laddas ned här: Rekommenderade problem 33. Låt z = 2 + i och w = 3 + 2i. Vad är a Re z b Im w, c z + w d z/w? 34. Skriv på formen a + bi: a (3 i 3 5, b 4i 3, 2 5i c 3 + 4i i. 35. Skriv talet (1 7i(2 + i 5 3i på formen a + bi, med a, b R. 36. Beräkna a (1 + i(1 i, b (2 4i(7i + 3, c 1 + i 1 i. 37. Beräkna värdet av uttrycket z 2 + (2 iz + 3i, då a z = 2, b z = i, c z = 2 + i. 38. Låt z = 5 + 2i och w = 3 4i. Beräkna a Im z 2, b Re(zw, c z w 2, d (z + w( z w. 39. Bestäm absolutbeloppen av följande tal: (3 2i(1 i a i, b 15 8i, c (2 + i Låt z = 3 + 4i och w = i. Bestäm zw och z/w, utan att beräkna zw och z/w. 41. Bevisa att z 2 R om och endast om Re z = 0 eller Im z = 0. 8

11 9 42. Bestäm argumenten av följande komplexa tal: (3 2i(1 i a i, b 15 8i, c (2 + i Skriv följande tal på polär form: a 1 + i, b 1 + i, c (1 + i(1 i. 1 i 44. Skriv (1 i 3 69 på formen a + bi, där a och b är reella. 45. Tolka följande relationer geometriskt, genom att skissa lösningsmängden i det komplexa talplanet: a Re z 1, b Im z < 1, c 2 < z i Lös följande ekvationer: a z 2 = 1 + i 1 i, b z 2 4z i = 0, c (4 3iz 2 25z i = Lös följande ekvationer: a z 4 = 8, b z 2 = 1 + i 3, c z 3 = 5 5i, d (z + i 3 = 1 + i. 48. Lös ekvationen (z i 3 = 1 + i, och markera rötternas lägen i det komplexa talplanet. Hemuppgifter 49. Bestäm det reella talet t så att Re ( 4 3i t+i = Bestäm absolutbeloppen av följande komplexa tal: a 4 + 5i, b 7 7i. 51. Bestäm argumenten av följande tal: a 1 3i, b 7 7i. 52. Lös nedanstående ekvationer: a z 2 (3 + 2iz i = 0, b z 6 = 7.

12 7 8. Matriser och linjära avbildningar Repetera delavsnittet Matrix algebra i avsnitt 1.3, och se till att du förstår de grundläggande koncepten och definitionerna. Läs: avsnitt 2.1 fram till och med Example 9 (återstoden av kapitlet är inte nödvändigt för kursen, men kan vara väl värt att läsa av allmänt intresse, avsnitt 2.2 (viktiga avbildningstyper är rotation, ortogonal projektion och spegling, övriga är lite överkurs, avsnitt 2.3 exklusive Block Matrices och Powers of Transition Matrices, samt avsnitt 2.4 förutom The inverse of a Block Matrix. Rekommenderade problem 1.3: 9, 16, 17, 19, 20, 25, 32, 33; 2.1: 1 3, 6, 7, 9, 11 13, 17, 19, 37, 39, 41; 2.2: 1, 2, 5, 7, 13, 17, 23; 2.3: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 21, 27, 29, 43, 45, 49; 2.4: 1, 3, 5, 7, 13, 19, 29, 35, 41, 67. Hemuppgifter 2.1: 5; 2.2: 6, 21; 2.3: 12, 13; 2.4: 17,

13 9 11. Nollrum och värderum; linjärt oberoende; bas, dimension Dessa tre teman är nära relaterade till varandra, och behandlas därför tillsammans. I boken behandlas de i kapitel tre, som är rekommenderad läsning i sin helhet. Rekommenderade problem 3.1: 1, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 31, 33, 35, 37 39, 47; 3.2: 1, 3, 5, 7, 9, 15, 19, 21, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 43, 45, 49; 3.3: 1, 3, 5, 7, 13, 19, 21, 23, 27, 29, 35, 39, 62, 63; 3.4: 1, 3, 5, 11, 15, 17, 19, 29, 31, 33, 37, 41, 43, 51, 53, 57, 59, 69. Hemuppgifter 3.1: 12, 23; 3.2: 2, 33; 3.3: 28; 3.4:

14 Ortogonalitet, Gram-Schmidts algoritm; ortogonala matriser och avbildningar Läs avsnitt Delavsnitten Correlation i 5.1, QR-factorization i 5.2 och The matrix of an orthogonal projection i 5.3 kan läsas kursivt av den som vill, men de ingår inte i kursen. De referenser som görs till QR-faktorisering i övningsuppgifterna nedan kan ignoreras. Rekommenderade problem 5.1: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 21, 23, 25, 27, 29; 5.2: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 29, 31, 33, 35, 39; 5.3: 1, 5, 7, 9, 11, 27, 29, 31, 33 35, 37, 41. Hemuppgifter 5.1: 17; 5.2: 6; 5.3: 3, 8, 10, 12

15 14. Determinanter Läs avsnitt 6.1 och 6.2, exklusive delavsnitten The determinant of a block matrix och The determinant of a linear transformation. Avsnitt 6.3 handlar om hur determinantbegreppet kan tolkas geometriskt. Detta kan läsas kursivt av den intresserade, det kan vara användbart för att få bättre känsla för hur determinanter fungerar, men är inte nödvändigt för kursen. Rekommenderade problem 6.1: 1, 5, 7, 11, 13, 15, 23, 25, 29, 31, 33, 45, 46, : 1, 5, 7, 11, 37, 39. Hemuppgifter 6.1: 9, 17; 6.2:

16 Egenvärden och egenvektorer Här ingår avsnitt i Bretschers bok. Delavsnittet om Dynamical Systems and Eigenvectors i 7.1 är överkurs, dock kan det vara intressant att läsa igenom exemplet på sidorna , som illusterar en viktig tillämpning av egenvärdeskonceptet. Delavsnittet Eigenvalues and similarity i 7.3 kan också hoppas över. Det som står i avsnitt 7.1 och 7.2 om spåret (eng. trace av en matris/linjär avbildning, samt om algebraisk och geometrisk multiplicitet av ett egenvärde (avsnitt 7.2 och 7.3 kan ignoreras, liksom referenser till dessa begrepp i övningsuppgifterna. Rekommenderade problem 7.1: 1, 2, 3, 5, 13, 15, 17, 19, : 1, 3, 7, 9, 11, 15, : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 21, 23, 33, 35, 41. Hemuppgifter 7.1: 8; 7.2: 13; 7.3:

17 15 Svar till övningsuppgifterna ( 3 2 = 18, ( = / x x /x x 3x 2 = 3 ( x 2 3 (x x = 4, x = 5/3, x = 0 eller x = a 3, b 3, c 6 8. a 5 x 9, b x 5 eller x 9, c 2 x < 5 eller 9 < x Inga lösningar. 10. sin 0 = 0, sin(π/6 = 1/2, sin(π/4 = 1/ 2, sin(π/3 = 3/2; cos 0 = 1, cos(π/6 = 3/2, cos(π/4 = 1/ 2, cos(π/3 = 1/ sin α = cos β = 1/ 5, cos α = sin β = 2/ 5, där α är den mindre av de två vinklarna. Eftersom sin α < 1/2 = sin(π/6 så måste 0 < α < π/6, och β = π/2 α, π/3 < β < π/ x = ± π π y = 2x a = 1/2 { x = a y = 3 { x = 5/3 b y = 4/3 { x = 3 + t c där t R är ett godtyckligt tal. y = t x = t 16. a y = 1 3 t där t är ett godtyckligt reellt tal. z = t w = 5 3 s t x = 1 b 3 s där s och t är godtyckliga reella tal. y = s z = t w = t x = 3 c t där t är ett godtyckligt reellt tal. y = t z = 2 + 2t

18 ( x y = ( 2b 5a 3a b. 18. Saknar lösning om a = 6, annars är { x = a a 6, y = 3 a Entydig lösning för k ±2, oändligt många lösningar för k = 2, inga lösningar för k = a, d. Vänsterledet: a, b, d. 22. a unik lösning, b inga lösningar, c inga lösningar, d oändlingt många lösningar, e unik lösning. w = 3 + s 3t x = t 23. y = s z = 4 + 5t där s och t är godtyckliga reella tal. 24. En unik lösning x = ( a AD, b BB = 0, c AB, d AC, e DB. 26. u u = (54, v v = 106, w w = 9, u v = 22, u w = 18, v w = u = 3 6, v = 106, w = 3. (v, w = arccos(20/(3 106, (w, u = 28. Vinkeln mellan u och v är π/ ( xy z ( 11 ( 11 = + t, där t R , (u, v = arccos(11/(3 159, 30. u = 2, v = 6, (u, v = 5π x y + z = I båda fall är avståndet a 2, b 2, c 1 + 3i, d i 34. a 18 26i, b i, c i i 36. a 2, b i, c i 37. a 8 + i, b 5i, c 8 + 7i.

19 a 20, b 23, c 40, d 4 52i. 39. a 13, b 17, c zw = 65, z/w = 5/ a arctan 12 5, b arctan , c π + arctan a 2(cos π 4 + i sin π 4, b 1 (cos π 2 + i sin π 2, c 2 (cos 0 + i sin a z = ± 1 2 (1 + i, b z = 3 i or z = 1 + i, c z = 3 + 4i or z = 1 i. 47. a 2 1/4 (±1 ± i (fyra lösningar, b ± 1 ( i 6, c z = 50 1/6 (cos θ n + i sin θ n, där θ n = (7+8nπ 12 for n = 0, 1, 2, d z k = 6 2 cos α k + i ( 2 2 sin α k 1, k = 0, 1, 2, där α k = π 4 + 2kπ z 1 = 0, z 2 = 1 2 ( 3 + 3i, z 3 = 1 2 ( 3 + 3i. 49. t = 3/ a 41, b a π/3, b 5π/ a z 1 = 2 + 3i, z 2 = 1 i, b z = 7 1/6 ( cos( π 6 + n π 3 + i sin( π 6 + n π 3, n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Jörgen Östensson Vårterminen 2010 Kurslitteratur Linjär algebra och geometri I för X, geo, frist, lärare H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra (Application

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2009 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l. SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Bo Styf Prov i matematik F, X, ES, KandFys, Lärare, Frist, W, KandMat1, Q LINJÄR ALGEBRA II 010 08 4 Skrivtid: 1400 1900 Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017 SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (

Läs mer

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För studenter på distans och campus Linjär algebra ma04a 04 0 5 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3) TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 74-4 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer maa 8 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n. Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v

Läs mer

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3 ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm

Läs mer

LYCKA TILL! kl 8 13

LYCKA TILL! kl 8 13 LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare

Läs mer

1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.

1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen. Akademin för teknik och miljö Rolf Källström telefonkontakt med examinator via tentamensvakten Matematiktentamen Ingenjörer, lärare, m fl Linjär algebra maa. 5 6 Skrivtid: 9... Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2

x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1

2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1 ATM-Matematik Sören Hector 7 46686 Mikael Forsberg 734 433 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 3 5 Skrivtid: :-5:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

Vektorgeometri och funktionslära

Vektorgeometri och funktionslära Vektorgeometri och funktionslära Xantcha 009 Del A: Beräkningsdel Räkningar behöver inte redovisas. Samtliga uppgifter måste vara korrekta om tentamen skall godkännas (möjligen kan något slarvfel tolereras),

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl

Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl 1 Matematiska Institutionen, KTH Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga

Läs mer

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1 ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella

Läs mer

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z

Läs mer

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). N-institutionen Mikael Forsberg 06-64 89 6 Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mk06a Testtenta. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, 5),

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 170 16 LINJÄRA AVBILDNINGAR 16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 16.33. Låt F : V W vara en linjär avbildning. 1. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V, vilkas bild

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra för F1, Q1, W1 Kurslitteratur Höstterminen 2006 Eriksson Lind Persson Tengstrand, Algebra för universitet och högskolor, Band II (Linjär Algebra),

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 202-2-3 DEL A Betrakta punkterna A = (2, 2) och B = (6, 4) och linjen (, 3) + t(2, ) i planet (a) Det finns exakt en punkt P på linjen så att triangeln

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p) SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar

Läs mer

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet

Läs mer

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd. Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet

Läs mer

Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson

Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys E. Oscar A. Nilsson January 31, 018 Dan Brown "The path of light is laid, a secret test..." Tillägnas Mina vänner i Förord Detta är en inociell lösningsmanual

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

Lösningsförslag TATM

Lösningsförslag TATM Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av: MATA15 Algebra, delprov, 6 hp Lördagen den 8:e december 01 Skrivtid: 800 100 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Ligger punkterna P 1 = (0, 1, 1), P = (1,, 0), P = (, 1, 1) och P 4 = (, 6,

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer