Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson

Transkript

1 Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys E. Oscar A. Nilsson January 31, 018

2 Dan Brown "The path of light is laid, a secret test..." Tillägnas Mina vänner

3 i Förord Detta är en inociell lösningsmanual för: Övningar - Endimensionell Analys [1]. Avsikten med denna manual är att er ska klara kursen, bli bättre på matematik och att jag får dela med mig av glädjen till ämnet. Jag hoppas att mina tankar och idéer kommer att hjälpa dig, få en djupare förståelse, ge dig en stabil grund att stå på och att få mindre ångest när du hör ordet matte. Hittar du fel eller om du har idéer på förbättringar, tveka inte att mejla mig. Du hjälper inte bara mig utan också kommande studenter. Erik Oscar A. Nilsson erik-oscar-nilsson@live.se Lunds Universitet, Lund Januari, 018

4 Läs det här innan du börjar. =) Tanken med manualen är till för att hjälpa dig när du är fastnar på ett litet problem hemma och behöver lite extra hjälp, det nns också en massa annan hjälp också. Jag har givit dem olika färg för att du som läsare ska kunna se direkt vad som kommer hjälpa dig med vad. Röda Länkar: De röda länkar skickar dig till olika platser i len så de funkar som taggar i len. Så jag kan till exempel, x + xy + y??) = x + y), Blå Länkar: De blå länkarna skickar dig till en internetsida mest youtube videos på någon som jag tycker förklarar något bra, t.ex., Lec 1 MIT Single Variable Calculus, Fall 007 Om du hittar en bra video eller hittar någon bra sida med er uppgifter så får du gärna skicka den till så kan jag kanske inkludera den i nästa uppdatering. Gröna Länkar: Gröna länkar använder jag för att länka till min blogg, t.ex. så har jag skrivit en sammanfattning för Envariabelanalys Kurskod - MATM1) vid Lunds Universitet som kanske kan hjälpa dig. Här är del ett Summary Of One Dimensional Analysis - Part One och här är del två Summary Of One Dimensional Analysis - Part Two Jag har också börjat lägga lösningar för de andra kapitlen, Inociell lösningsmanual för Endimensionell analys kap 10-1 Först och främst är tanken med allt är att hjälpa andra studenter med att lyckas med sina studier och att nå sina mål, genom text och förklaringar som ska var tillgängliga för alla genom att vara gratis och förhoppningsvis enkla att förstå. Jag vill ej heller försöka ta någon är från författarna. P.S. Kolla så att du har den senaste versionen av PDF:en. Lycka till! Inociell lösningsmanual - Endimensionell Analys Kap ii

5 Innehållsförteckning Förord Läs det här innan du börjar. =) i ii 5 Analytisk geomerti Räta linjen Absolutbelopp Cirkeln, ellipsen och hyperbolen Komplexa tal Polär form A Formelsamling 3 A.1 Kapitel Innehållsförteckning för formelsamlingen 1 Lagarna för tecken

6 5 ANALYTISK GEOMERTI 5 Analytisk geomerti 5.1 Räta linjen Uppgift 5.1 a) Vi börjar med att hitta punkter som vi sen kan dra linjen igenom. Det lättaste är att låta den gå igenom punkterna där linjen skär x-axlen och y-axlen. Vi börjar med då den skär x-axlen vilket är samma sak som att ha en "höjd" lika med noll mer matematiskt y = 0. 0 = x 1 1 = x x = 1. Vi fortsätter med skärning av y-axlen, x = 0, Vilket ger oss de två koordinaterna y = 0) 1 y = 1/, 0) och 0, 1) E. Oscar A. Nilsson 1 erik-oscar-nilsson@live.se

7 5.1 Räta linjen 5 ANALYTISK GEOMERTI b) Vi börjar med att hitta punkter som vi sen kan dra linjen igenom. Det lättaste är att låta den gå igenom punkterna där linjen skär x-axlen och y-axlen. Vi börjar med då den skär x-axlen vilket är samma sak som att ha en "höjd" lika med noll mer matematiskt y = 0. 0 = x x = Vi fortsätter med skärning av y-axlen, x = 0, Vilket ger oss de två koordinaterna y = 0) y =, 0) och 0, ) c) Vi börjar med att hitta punkter som vi sen kan dra linjen igenom. Det lättaste är att låta den gå igenom punkterna där linjen skär x-axlen och y-axlen. Vi börjar med då den skär x-axlen vilket är samma sak som att ha en "höjd" lika med noll mer matematiskt y = 0. 0 = Vilket ger oss motsägelse och information att linjen inte skär x-axlen. Vi fortsätter med skärning av y-axlen, x = 0, y = E. Oscar A. Nilsson erik-oscar-nilsson@live.se

8 5.1 Räta linjen 5 ANALYTISK GEOMERTI Vilket ger oss de två koordinaterna?, 0) och För alla x, 3) d) Vi börjar med att hitta punkter som vi sen kan dra linjen igenom. Det lättaste är att låta den gå igenom punkterna där linjen skär x-axlen och y-axlen. Vi börjar med då den skär x-axlen vilket är samma sak som att ha en "höjd" lika med noll mer matematiskt y = 0. x = Vi fortsätter med skärning av y-axlen, x = 0, Vilket ger oss de två koordinaterna x = För alla y, ) och?, 0) E. Oscar A. Nilsson 3 erik-oscar-nilsson@live.se

9 5.1 Räta linjen 5 ANALYTISK GEOMERTI Uppgift 5. a) b) c) d) Uppgift 5.3 Uppgift 5.4 a) b) c) Uppgift 5.5 a) b) Uppgift 5.6 a) b) Uppgift 5.7 a) b) c) d) Uppgift 5.8 E. Oscar A. Nilsson 4 erik-oscar-nilsson@live.se

10 5.1 Räta linjen 5 ANALYTISK GEOMERTI a) Börjar med att kvadratkomplettera x 3x + = = x 3 ) + x 3 ) + 3 ) 3 = x 3 ) = x 3 ) = = = = x 3 x 3 x 3 ) ) ) 1 x 3 ) ) 1. b) Ger följande bild, 0 4. E. Oscar A. Nilsson 5 erik-oscar-nilsson@live.se

11 5.1 Räta linjen 5 ANALYTISK GEOMERTI c) Den minsta y koordinaten är det minsta värdet då x 3 ) = 0. Detta är då x = 3. y = 3 3 ) ) 1 = 0) 1 4 = 1 4. d) x 3x + = x ) 3 ) 1 ) )??) = x 3 1 x 3 ) + 1 ) = x 4 ) x ) x )x 1). e) Vi får då följande teckentabell. Table 1: Teckentabell 3 x x x x )x 1) Uppgift 5.9 a) Vi tar det i dem stegen som vi gjorde innan. E. Oscar A. Nilsson 6 erik-oscar-nilsson@live.se

12 5.1 Räta linjen 5 ANALYTISK GEOMERTI i) Vi börjar med att kvadratkomplettera x + x + = x + 1) + 1 x + 1) + ii) x + ) + ) iii) Den minsta y koordinaten är det minsta värdet då x + 1) = 0. Detta är då x = Vi får då koordinatorn 1, 1) y = 1 + 1) + 1 = iv) Vi får från bilden att ekvationen saknar lösning. v) För alla x ger oss olikheten. b) i) Vi börjar med att kvadratkomplettera. x x = x 1 ) ) 1 E. Oscar A. Nilsson 7 erik-oscar-nilsson@live.se

13 5.1 Räta linjen 5 ANALYTISK GEOMERTI = x 1 ) ) ii) iii) Den minsta y koordinaten är det minsta värdet då x 3 ) = 0. Detta är då iv) x = 3. Vi får då koordinatorn, ). x 1 ) ) 1 = x 1 ) + 1 ) x 1 ) 1 ) ) ) = x 1 1 x = x + 0)x 1) = xx 1). v) c) i) Vi börjar med att kvadratkomplettera 1 x x = 1 x ) ) E. Oscar A. Nilsson 8 erik-oscar-nilsson@live.se

14 5.1 Räta linjen 5 ANALYTISK GEOMERTI = 1 x 1) 1) = 1 x 1) + 1 = x 1). ii) Vi får då följande bild iii) Den minsta y koordinaten är det minsta värdet då x 3 ) = 0. Detta är då x = 3. iv) Vi får då koordinatorn, ). ) x 1) = x 1) = + x 1)) x 1)) = x 1 + ) + 1 x). v) d) i) Vi börjar med att kvadratkomplettera x + x + 1 = x + 1 4) + 1 = x + 1 ) ) 1 4 E. Oscar A. Nilsson 9 erik-oscar-nilsson@live.se

15 5.1 Räta linjen 5 ANALYTISK GEOMERTI = x + 1 ) = x + 1 ) = x + 1 ) ii) Vi får då följande bild iii) Den minsta y koordinaten är det minsta värdet då x 3 ) = 0. Vilket är när x = 3. iv) v) Vi får då koordinatorn, ). Uppgift 5.10 Vi skriver om det och sen kvadratkompletterar. y x 4x = 0 y = x 4x. E. Oscar A. Nilsson 10 erik-oscar-nilsson@live.se

16 5. Absolutbelopp 5 ANALYTISK GEOMERTI Uppgift 5.11 x 4x = x 4x = x 4 ) = x ) ) x 4 ) ) 4 ) 4 5. Absolutbelopp Uppgift 5.1 Uppgift 5.13 Uppgift 5.14 Uppgift 5.15 Uppgift 5.16 a) Det lättaste sättet att rita olikheten, x 1, är genom att lösa den först sen testa med lite olika värden. E. Oscar A. Nilsson 11 erik-oscar-nilsson@live.se

17 5. Absolutbelopp 5 ANALYTISK GEOMERTI b) Det lättaste sättet att rita olikheten, x, är genom att lösa den först sen testa med lite olika värden c) Vi får följande bild. E. Oscar A. Nilsson 1 erik-oscar-nilsson@live.se

18 5. Absolutbelopp 5 ANALYTISK GEOMERTI d) Vi får följande bild Uppgift 5.17 Uppgift 5.18 Uppgift 5.19 Uppgift 5.0 E. Oscar A. Nilsson 13 erik-oscar-nilsson@live.se

19 5.3 Cirkeln, ellipsen och hyperbolen 5 ANALYTISK GEOMERTI Uppgift 5.1 Uppgift 5. Uppgift 5.3 Uppgift 5.4 Uppgift 5.5 Uppgift 5.6 Uppgift Cirkeln, ellipsen och hyperbolen Uppgift 5.8 Uppgift 5.9 Uppgift 5.30 E. Oscar A. Nilsson 14 erik-oscar-nilsson@live.se

20 6 KOMPLEXA TAL 6 Komplexa tal Uppgift 6.1 a) Så den reella delen är enkelt sagt den delen utan i, då inkluderas också tecknet. Re + 3i) =. Och den imaginära delen är enkelt sagt delen framför i, vi inkluderar tecknet här också! :D Im + 3i) = 3 b) Igen, reella delen, utan i, Re 1 i) = 1, imaginära delen, framför i,. ps glöm inte tecknet! Im 1 i) = 1 c) Re3) = 3 Im3) = 0 d) Rei) = 0 Imi) = e) Re i) = 0 Im i) = 1 Uppgift 6. a) 1 + i) + 3 i) = )i = + 1)i = i. E. Oscar A. Nilsson 15 erik-oscar-nilsson@live.se

21 6 KOMPLEXA TAL b) 1 + i) 3 4i) = )i = + 5)i = + 5i. c) 1 + i)3 4i) = 3 4i + 3i 4i = 3 i 4 1) = 7 i. d) 1 i) = 1 i + i = 1 i + 1) = 1 i 1 = i. e) 5 i) 3 = i i 3 i 3 = i + 60i 8i 3 = i + 8i = 65 14i. f) 1 i) 4 = i i) i 3 + i) 4 = 1 4i 6 4i + 1 = 4 8i. Uppgift 6.3 E. Oscar A. Nilsson 16 erik-oscar-nilsson@live.se

22 6 KOMPLEXA TAL a) 1 + i = 1 i b) 3 5i = 3 + 5i c) 7 = 7 d) 1 + i)1 + i) = 1 + i = = e) 1 + i = = f) i = 1 = 1 g) 3 i = 3 + ) = = 13 h) 5i = 5) = 5 Uppgift 6.4 a) i = i = 1 + i 1 + i 1 + i 1 + i)1 + i = 1 + i = 1 1 i). b) 1 3 4i = 1 3 4i = 3 4i 3 4i 3 4i 3 4i)3 4i E. Oscar A. Nilsson 17 erik-oscar-nilsson@live.se

23 6 KOMPLEXA TAL = 3 4i = i). 5 c) 3 4i 1 + i = 3 4i) 1 1 i) = 1 3 4i 3i + 4i ) = 1 1 7i). d) 1 i 1 + i = 1 1 i)1 i) = 1 1 i) = 1 i) = i. e) 1 + i) = i) = i) 1 i) = i) = i. E. Oscar A. Nilsson 18 erik-oscar-nilsson@live.se

24 6 KOMPLEXA TAL f) 1 i = 1 i = i i i) = i 1 = i. i i Uppgift 6.5 Lösning nns i boken. Uppgift 6.6 När vi har större uttryck eller likande så är det lättare att dela upp uppgiften i deluppgifter. Jag kommer att visa det i följande uppgift, vi börjar med uttrycket 1 + i)7 + 3i) 5 + i) tar absolutbeloppet på del parenteser och från vänster till höger. 1 + i = 1 + = ) 3i = 7 + ) 3 = = 4 ) 5 + i) = = = 6. Vi ställer nu upp delarna till hela uttrycket, 1 + i)7 + 3i) 5 + i) = 1 + i) 7 + 3i) 5 + i) E. Oscar A. Nilsson 19 erik-oscar-nilsson@live.se

25 6 KOMPLEXA TAL 5 4 = 6 = Uppgift 6.7 Lösning nns i boken. =) Uppgift 6.8 a) Vi börjar med att gissa ett godtyckligt komplext tal, dvs z = a + bi, 3z iz = 7 5i 3a + bi) ia + bi) = 7 5i 3a + 3bi ai + b = 7 5i { 3a b = 7 3b a = 5. z = i. b) Vi börjar med att gissa ett godtyckligt komplext tal, dvs z = a + bi, z z = 1 + i a + bi) a + bi) = 1 + i a + b = 1 i Då vänstersidan innehåller inte något imaginär del medan högersidan har det, därav nns det igen lösning. Uppgift 6.9 E. Oscar A. Nilsson 0 erik-oscar-nilsson@live.se

26 6 KOMPLEXA TAL Lösning nns i boken. Uppgift 6.10 a) Vi börjar med att analysera det lite noggrannare, komplexa tal är på formen z = a + bi, av Rez) = a = 3 får vi att den reella delen är 'xerad' och att den imaginära delen är fri. Im Re b) Vi börjar med att analysera det lite noggrannare, komplexa tal är på formen z = a + bi, av Imz) = b = 1 får vi att den imaginära delen är 'xerad' och att den reella delen är fri. Im E. Oscar A. Nilsson 1 erik-oscar-nilsson@live.se

27 6 KOMPLEXA TAL c) Vi börjar med att analysera det lite noggrannare, komplexa tal är på formen z = a + bi, av Imz) = b > 0 får vi att den imaginära delen är i det övre talplanet och att den reella delen är fri. i Re d) Vi tar ett godtyckligt komplext tal, z = a + bi, och sätter in i ekvationen, z + z = 0 a + bi) + a bi) = 0 a = 0 Det vill säga att vi kan välja en godtyckligt imaginär del men den reella måste vara lika med noll. Därav så får vi som svar den imaginära axeln. 8. i Re E. Oscar A. Nilsson erik-oscar-nilsson@live.se

28 6 KOMPLEXA TAL e) Vi tar ett godtyckligt komplext tal, z = a + bi, och sätter in i ekvationen, z = z a + bi = a bi Från den sista linjen så får vi att a = a, b = b, då a och b är reella. Vilket är bara möjligt om b = 0. Därav så får vi hela den reella linjen. 8. i Re Uppgift 6.11 Lösning nns i boken. Uppgift 6.1 a) Vi får då följande bild E. Oscar A. Nilsson 3 erik-oscar-nilsson@live.se

29 6 KOMPLEXA TAL b) Vi får då följande bild. 5. i 4. Re c) Vi får då följande bild. 5. i 4. Re d) Vi får då följande bild. E. Oscar A. Nilsson 4 erik-oscar-nilsson@live.se

30 6 KOMPLEXA TAL 5. i 4. Re e) Vi får då följande bild. 5. i 4. Re f) Vi får då följande bild. g) Vi får då följande bild. E. Oscar A. Nilsson 5 erik-oscar-nilsson@live.se

31 6 KOMPLEXA TAL i Re 5 5 Uppgift 6.13 Här använder vi oss av föregående uppgifter, från de förra uppgifterna så ser vi att den första ekvationen ger dig en cirkel som har radien och är centrerad runt 0, 3i). Den andra delen är från 6.10 d), detta ger dig en lodrät linje som går igenom ett. Från detta så inser vi nu att linjen och cirkeln skär varandra i två punkt, genom att radien ligger på två, och ligger på y axeln medan linjen är på ett. Vi kan då sätta in x = 1 i ekvationen för cirkeln, a + b 3) = 1 + b 3) = 4 b 3) = 3 b = 3 ± 3 Därav så får vi att lösningarna är z 1 = )i or z = )i. F c g D E G Uppgift 6.14 E. Oscar A. Nilsson 6 erik-oscar-nilsson@live.se

32 6 KOMPLEXA TAL Lösning nns i boken. Uppgift 6.15 Lösning nns i boken. Uppgift 6.16 Vi använder den klassiska iden med att sätta in z = a+bi och att a b = a b. 1 z 1 4 = z 4z = z 4z 4 a) bi 4 a + bi = 1 4 = a) + b a + b = 1 4 a) + b = a + b 16 8a + a = a 16 = 8a a = Detta er oss att vi kan välja fritt vad gällande b och a är lika med, så med andra ord så får vi en lodrät linje vid Uppgift 6.17 Vi vet att z + 1 = c där c är en konstant. Det triviala fallet är om z är rent z komplexz = a då är allt redan klart undantag för noll), och för rent imaginär så får vi direkt motsägelse. Så vi antar att det är på formen z = a + bi, sen så börjar vi med att förenkla z + 1 z = c z + 1 z = c z + 1 = cz E. Oscar A. Nilsson 7 erik-oscar-nilsson@live.se

33 6.1 Polär form 6 KOMPLEXA TAL a + bi) + 1 = ca + bi) a b + abi + 1 = ca + cbi { a b + 1 ab = ca = cbi så vi får att c = a, sätter vi in det i den första ekvationen så får vi fram att 1 = a + b, vilket ger oss alla talen på enhetscirkeln. 6.1 Polär form Innan vi börjar med att gå in på polär form så gäller det att repetera lite trigonometri och representationer. Vi sätter ut ett komplext tal i en reell del och en imaginär del, vilket kan ses som ett x värde och y värde se bild). z = a + bi Hypotenusan = a + b Motstående kateter = b Närliggande kateter = a Vi påminner oss om att vinkeln mellan x axeln och hypotenusan är lika med tangens för motstående kateter genom närliggande kateter. Vilket också är vårt b och a. Därav så får vi Motstående kateter tanθ) = Närliggande kateter = b a. Så vi ser nu att vi kan representera det komplexa talet z = a + bi genom en vinkel och en längd "hypotenusa"). Vi repeterar också lite bra vinklar att komma ihåg! Ett av mina sätt för att komma ihåg vinklarna är att tänka på först vilken funktion av sinus eller cosinus representerar x och y, cosx), sinx), efter det så ställer jag upp det som i första bilden med att räkna halvor, efter det så går jag uppifrån och ner och räknar 1, och 3 sen drar vi roten ur. Så då räknar vi som följande, Fortsätter och förenklar 1/, E. Oscar A. Nilsson 8 erik-oscar-nilsson@live.se

34 6.1 Polär form 6 KOMPLEXA TAL, ), ), ) 0 1, ), ) 3, 1 ) 0 1, 3 ), ) 3, 1 ) 0 Uppgift 6.18 a) Vi börjar nu med att lösa uppgifterna, vi vet att tanπ/4) = 1 a = b Så vi får att a + b = a + b = E. Oscar A. Nilsson 9 erik-oscar-nilsson@live.se

35 6.1 Polär form 6 KOMPLEXA TAL a + a = a = a = 1 c = ± Vilket ger oss att a = 1, b = 1, därav får vi att z = 1 + i b) Vi kan lös den här uppgiften lite snabbare än den förra genom att göra några observationer. Första är att cosπ) = 1 vilket ger oss också en längd på cosπ) = 1 och då sinus är noll för detta så får vi att z = c) Vi börjar med att se att 9π = π + π då vi använder tangens så har vi att 4 4 den är π periodisk och att vi ska vara i den tredje kvadranten z = 1 i d) Vi gör en liknande observation för π/ som när vi kollade på π. Vilket ger oss att sinπ/) = 1 och att vi ser sen att sinπ/) = z = i e) Den här får vi genom att göra den periodiska observation π = 0 när vi räknar med tangens, sen gör vi som vi gjorde i uppgift b och d, fast med den lilla skillnaden att vi får nu z = f) g) Uppgift 6.19 Uppgift 6.0 Uppgift 6.1 Uppgift 6. Uppgift 6.3 E. Oscar A. Nilsson 30 erik-oscar-nilsson@live.se

36 6.1 Polär form 6 KOMPLEXA TAL Uppgift 6.4 Uppgift 6.5 Uppgift 6.6 Uppgift 6.7 Uppgift 6.8 Uppgift 6.9 Uppgift 6.30 Uppgift 6.31 Uppgift 6.3 Uppgift 6.33 Uppgift 6.34 Uppgift 6.35 Uppgift 6.36 Uppgift 6.37 E. Oscar A. Nilsson 31 erik-oscar-nilsson@live.se

37 A FORMELSAMLING A Formelsamling A.1 Kapitel 5 +a = a a b = ab a + +b) = a + b a b) = a + b +a)+b) = a) b) = ab +a) b) = a)+b) = ab a +b = + a b = a + a b +b = a b = a b Formel. 1: Lagarna för tecken E. Oscar A. Nilsson 3 erik-oscar-nilsson@live.se