Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003
|
|
- Ann-Christin Forsberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Trigonometri Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober
2 Sammanfattning Trigonometrin är en mycket intressant och användbar del av matematiken. Med hjälp av dom samband och relationer som förklaras där kan man göra allt från att räkna ut bredder på floder, till att få reda på avståndet till avlägsna stjärnor, till att skapa fascinerande 3D grafik med hjälp av datorer. Trigonometrin bygger mycket på olika förhållanden inom trianglar, men dessa kan även appliceras på andra månghörningar, och även cirklar. 2
3 Innehåll 1 Introduktion 4 2 Periodiska Funktioner 5 3 Trigonometri Historia Pythagoras sats Räta Trianglar Icke-Räta Trianglar Cosinus lagen Sinus lagen Enhetscirkeln Radianer Trigonometriska Identiteter Slutsats 14 3
4 1 Introduktion Trigonometrin är en urgammal kunskap, med många användningsområden, och har spelat en stor roll genom historien, från gamla grekiska, arabiska och muslimska matematiker, teoretiker och astronomer, till dagens datorgrafiker, matematikprofessorer och lantmätare. Vissa har till och med sett religiösa egenskaper i dom många olika sambanden som existerar inom trigonometrin, och talet pi s mystiska uppdykande överallt. I den här rapporten söker vi förklara lite av grunderna och bakgrunderna till trigonometrin, i förhoppning att detta leder till en vilja att fördjupa sig i detta spännande och fascinerande ämne. Rapporten är skriven av 2 personer under ca 1 veckas tid. Rapporten behandlar ett väldigt stort område, vi har fokuserat på det vi tyckte var väsentligast. Vi har skrivit mindre om vissa områden och utelämnat andra helt. Många saker önskar vi att vi kunde skrivit mer om, t.ex. praktiska användningsområden, men tiden och platsen fanns tyvärr inte, kanske ges chansen i framtiden. Rapporten i sig är sammanställd med hjälp av L A TEX 2ε, vilket är ett mycket kraftfullt verktyg för att skapa rapporter. 4
5 2 Periodiska Funktioner En av dom viktigaste egenskaperna hos trigonometrin är förmågan att kunna bestämma förhållanden mellan storlekar på vinklar, och längder på sidor. Ett av dom viktigaste verktygen för att åstadkomma detta är de s.k. periodiska funktionerna, såsom sin, cos och tan. En typisk graf av en periodisk funktion ses i Fig. 1. Figur 1: En typisk periodisk funktion. En periodisk funktion repeteras kontinuerligt över ett intervall, och har flera olika egenskaper som kan skilja mellan olika funktioner. I Fig. 1 så kallas A för perioden. Perioden bestämmer hur ofta funktionens värderepetering påbörjar en ny cykel, och är det minsta värdet c, för vilket påståendet f(x + c) = f(x) är sant. Mittlinjen (Fig. 1, B) kallas den teoretiska linje som går genom grafen av funktionen mitt mellan grafens maximum och minimum värde. Amplituden (Fig. 1, C), är avståndet mellan funktionens maxvärde och dess mittlinje. Fasförskjutningen (Fig. 1, D) är funktionens förskjutning i x-led kring origo. Den horisontella förskjutningen (Fig. 1, E) är mittlinjens förskjutning i y-led. Inom trigonometrin använder man sig oftast av tre olika periodiska funktioner, sinus (sin), cosinus (cos) samt tangens (tan). Dessa har även varsin motpartsfunktion, som kan vara användbara vid uträkningar. Dessa är arcsin (sin 1 ), arccos (cos 1 ) och arctan (tan 1 ). Sin, cos och tan används för att räkna ut längden på en sida i en triangel inskriven i enhetscirkeln (kap. 3.5), utifrån storleken på en av dess vinklar. Motpartsfunktionerna används för att återskapa värdet på vinkeln som gav en viss sidlängd. 5
6 3 Trigonometri Trigonometrin är en urgammal kunskap, med många användningsområden, och har spelat en stor roll genom historien. Tack vare trigonometrin har människor kunnat bestämma storleken på världen vi lever i, och avstånden till de olika himlakropparna som finns runt oss, långt innan vi hade dagens avancerade utrustning. Navigation, både på land och framförallt till havs, efter solen, månen och stjärnorna, hade varit mycket svårt utan trigonometrin, och mycket av upptäcktsresandet som har utformat vår historia skulle ha blivit starkt försenad, och hade kanske uteblivit helt. Även idag har vi stor nytta av trigonometrin, inom så olika områden som konstruktion, lantmäteri, astronomi och datorgrafik. Vid en första anblick kan trigonometrin te sig skrämmande komplex, men den är uppbyggd kring samband och förhållanden, som är förvånansvärt lätta att använda när man väl börjat titta på dem. Här följer en beskrivning av de viktigaste delarna av detta spännande område i matematiken. 6
7 3.1 Historia Det är svårt att fastställa en specifik tidspunkt i historien då man kom på trigonometri, och det är lika svårt att fastställa en specifik person som des skapare. Trigonometrin har arbetats fram genom historien av många olika matematiker, av många olika skäl. Det vi idag kallar för trigonometri är en sammanställning av deras arbeten och upptäckter, och det är lätt att tro att allt detta arbetades fram på samma gång. En av dom första matematikerna som använde trigonometri var astronomen Hipparchus, som levde 200 år f.k., och som skapade en tabell som skulle användas då man arbetade med trianglar. Denna tabell innehöll värden för vinklar mellan 71 grader och 180 grader, i 7.1 graders steg. Värdena var längden på den motstående katetern i en triangel med en hypotenusa vars längd var lika med 1, och är med andra ord en tabell över sinusvärden. Någon gång under det första århundradet e.kr. skapade matematikern Ptolemy en ny tabell, denna gång innehöll den värden för vinklar mellan 0 och 180, och var uppdelad i 1 graders steg, och lyckades räkna ut dessa korrekt till den 6:e decimalen. År 500 skapade den indiska matematikern Aryabhata ytterliggare en tabell, med en noggrannhet på 0.5 grader. Vid den här tidpunkten hade arabiska matematiker till stor del tagit över det matematiska området från dom tidigare dominerande grekerna, och år 980 visade Abu l-wafa att sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Under det 10 århundradet gjorde muslimska mattematiker enorma framsteg, och lyckades skapa tabeller för sin, cos och tan med en noggrannhet av 1/60 grad, och med ett mycket stort antal decimaler. På 1200-talet fastställde den tyska astronomen Georges Joachim trigonometriska funktioner som förhållanden, snarare än längder på olika sidor i trianglar, vilket var den hittills använda metoden. På 1600 talet uppfann den skotska matematikern John Napier logaritmerna, något som var till stor hjälp vid trigonometriska uträkningar. 7
8 3.2 Pythagoras sats Pythagoras sats är en geometrisk sats som talar om hur sidorna i en rätvinklig triangel förhåller sig till varandra. Satsen var känd under en väldigt lång tid innan den grekiske filosofen Pythagoras bevisade att satsen gällde för alla värden. Det finns inget exakt datum på när Pythagoras föddes, men man tror att det var runt 570 år f.k. Pythagoras sats är en viktig del i geometrin och används mycket i trigonometrin. Figur 2: Rätvinklig triangel Pythagoras sats: Summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan. Se figur 2. Detta ger a 2 + b 2 = c 2 Pythagoras sats kan användas för att ta reda på en okänd sida i en rätvinklig triangel med hjälp av längden på de andra två sidorna. 8
9 3.3 Räta Trianglar Under lång tid har man använt räta trianglar för att göra olika mätningar. Idag används trigonometrin flitigt av, bl.a. forskare och matematiker. Figur 3: Rätvinkliga trianglar med lika vinklar, den vänstra i enhetscirkeln. Det finns ett förhållande mellan de trigonometriska funktionerna och räta trianglar. Till vänster i figur 3 bestämmer vinkeln θ en punkt P på enhetscirkeln (se kapitel 3.5). Vinkeln θ bestämmer även den räta triangeln med hypotinusan 1. De övriga sidorna har längderna x = cos θ och y = sin θ. Till höger i figur 3 visar en triangel med samma vinkel θ. Sidorna har samma förhållanden som hos triangeln i figuren till vänster. Sidan rakt över från vinkeln θ sett, i det här fallet a kallas motstående kateter, den andra sidan, b kallas närstående kateter. Sambanden mellan sidorna i triangeln kan skrivas enligt följande: sin(θ) = cos(θ) = tan(θ) = motstående kateter hypotinusan närstående kateter hypotinusan motstående kateter närstående kateter Med hjälp av formlerna kan man om man har en av de icke-räta vinklarna och en sida, bestämma de andra sidorna. Med hjälp av vinkel summan kan den sista vinkeln räknas fram. Alla sidor och vinklar är då bestämda i triangeln. 9
10 3.4 Icke-Räta Trianglar Sinus och cosinus kan kan man lätt använda för att tala om relationerna i räta trianglar. Däremot när man kommer till icke-räta trianglar så blir det mer komplicerat, dock finns även liknande relationer i alla trianglar Cosinus lagen Pythagoras sats (kapitel 3.2) talar om relationerna mellan de tre sidorna i en rät triangel. Cosinus lagen talar om relationerna mellan sidorna i alla sorters trianglar, även de som inte är räta. Cosinus lagen: i en icke-rät triangel, figur Figur 4: Icke-rät triangel, visar cosinus lagen 4, med sidorna a, b, c och vinkeln C på motsatt sida från sidan c sett, gäller c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C 10
11 3.4.2 Sinus lagen Sinus lagen säger att sinus av en vinkel i en triangel, dividerat med dess motstående kateter, är lika med sinus av vilken av de två andra vinklarna som helst, dividerat med dess motstående kateter. Figur 5: Icke-rät triangel Sinus lagen: i en icke-rät triangel, figur 5, med sidorna a, b, c och motstående vinklar A, B, C, gäller sin A a = sin B b = sin C c Det finns dock en sak man ska tänka på när man använder sinus lagen för att räkna fram vinklar. Sinus lagen ger oss inte vinklar, utan vinklarnas sinus värden. Det finns alltid två vinklar med ett givet sinus värde mellan 0 och 180 grader. T.ex. kan vinkeln som har sinusvärdet 1/2 både vara 30 och 150 grader. Har man en bild till hjälp så kan man ofta se vilken vinkel som är rätt ändå. 11
12 3.5 Enhetscirkeln Enhetscirkeln är ett mycket bra verktyg för att förklara sinus, cosinus och tangens, samt påvisa deras relation till en triangel och dess vinklar. Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1, och som är centrerad kring origo i ett koordinatsystem. I Fig. 6 ser vi en rätvinklig triangel inskriven i enhetscirkeln. För vinkeln Figur 6: Punkten P definierad av en triangel i enhetscirkeln θ i en rätvinklig triangel (kap. 3.3) med hypotenusan 1, gäller att punkten P som skapas där hypotenusan möter den motstående katetern, har koordinaterna (cosθ, sinθ). För cirklar med en radie r, gäller att triangeln i denna får en hypotenusa som lika lång, och punkten P s koordinater blir då (r cosθ, r sinθ). Sin och cos kan alltså användas för att bestämma en punkt på en cirkel. Tangens, eller tan används på ett liknande sätt för att beskriva lutningen på linjen som går genom punkten, och cirkelns mitt, dvs hypotenusan på den triangel som bildas. Tangens definieras på följande sätt: tan(θ) = y x, vilket även kan skrivas som tan = sinθ cosθ, värdet på tangens är dock helt orelaterat till radien på cirkeln, då linjen lutar lika mycket oavsett hur lång den är. Tangens är odefinierat för vinklarna 90 och 180 grader, då linjen i dessa fall är helt lodrät. Detta beror på att cos90 = cos180 = 0. Går man tillbaka till definitionen av tangens så ser man att det blir den division med 0, vilket är odefinierat Radianer Radianer är, liksom grader, ett sätt att mäta storleken på en vinkel. 1 grad är den vinkeln som behövs för att en linje som sträcker sig från mittpunkten av 1 en cirkel till en punkt på periferin ska skära av ett område som är 360 av hela omkretsen. 1 radian är den vinkel som krävs för att en likadan linje, i en cirkel som har radien r, ska skära av ett område på omkretsen som är r långt. En cirkel består av 2π radianer, och förhållandet mellan grader/radianer är som följer: 1 grad = 180 π radianer. 12
13 3.6 Trigonometriska Identiteter En matematisk identitet är en ekvation som är sann för alla värden av x. Till exempel är 2(x 1) = x ingen identitet, då man kan lösa ut x ur ekvationen, och få fram att x = 2. Däremot är 2(x 1) = 2x 2 en identitet, då man inte kan lösa ut x för något enskilt värde. Trigonometriska identiteter är ett viktigt verktyg när man ska lösa trigonometriska ekvationer, då dom låter en byta ut komplexa uttryck mot mer lätthanterliga sådana. Några viktiga identiteter är: Pythagoras identitet sin 2 θ + cos 2 θ = 1 Tangens tanθ = sinθ cosθ Dubbel-vinkel formeln (sin) sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) Dubbel-vinkel formeln (cos) cos(2θ) = 1 2sin 2 (θ) Dubbel-vinkel formeln (tan) tan(2θ) = 2tan(θ) 1 tan 2 (θ) Exempel: Tangens identitet tan(θ) = sin(θ) cos(θ) ger möjligheten att skriva om ekvationen som 2 sin(θ) cos(θ) = 2 2tan(θ) = (2). 13
14 4 Slutsats Trigonometrin är en intressant vetenskap, på samma gång väldigt komplex och väldigt enkel. Sambanden mellan vinklar och sidlängder i månghörningar går djupare än vad man kan tro vid en snabb överblick. Vi har i stort sett bara räknat med trianglar i denna rapport, vilket beror på att triangeln är den grundläggande månghörningen, och alla figurer med samma uppbyggnad, oavsett antalet hörn, kan delas upp i trianglar, varpå man kan använda dom grundläggande lagarna och formlerna för att få reda på allt man skulle vilja vet om dem. 14
15 Referenser [1] [2] E. Connally and others: Functions modelling change: A preparation for calculus, Wiley,
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal
Läs merGeometri och Trigonometri
Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner Mikael Hindgren 7 oktober 08 Enhetscirkeln Definition (Vinkelmåttet radianer) l.e. Den vinkel som motsvarar en båge med längden l.e.
Läs mer3. Trigonometri. A c. Inledning
3. Trigonometri Inledning Trigonometri betyder triangelmätning. De grundläggande storheterna som vi kan mäta i en triangel är dess sidor och vinklar. Ett bra sätt att beteckna en triangels sidor och hörn
Läs merSidor i boken Figur 1:
Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan
Läs merRepetition av cosinus och sinus
Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merIntroduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Läs mer6.2 Implicit derivering
6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merTema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg
Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs mer4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..
Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman
Läs mery º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32
6 Trigonometri 6. Dagens Teori Vi startar med att repetera lite av det som ingått i tidigare kurser angående trigonometri. Här följer en och samma rätvinkliga triangel tre gånger. Med en sida och en vinkel
Läs merKapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm
Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v
Läs merIntromatte för optikerstudenter 2018
Intromatte för optikerstudenter 018 Rabia Akan rabiaa@kth.se Av Robert Rosén (01). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist, Simon Winter och Rabia Akan (01-017). Kursmål Efter intromatten
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merArkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK
Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs mer2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad
146 a v = 38 v = 38 omvandlingsfaktor rad v = 38 180 rad v = 0.663 rad v 0.7 rad c v = 90 v = 90 omvandlingsfaktor rad v = 90 180 rad v = 5.061 rad v 5.1 rad b v = 196 v = 196 omvandlingsfaktor rad v =
Läs merInociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson
Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys E. Oscar A. Nilsson January 31, 018 Dan Brown "The path of light is laid, a secret test..." Tillägnas Mina vänner i Förord Detta är en inociell lösningsmanual
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merLathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)
Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Det som står i den här lathunden ska du kunna till provet. Du ska kunna ställa upp och räkna ut liknande tal som de nedan: a) 39,8 + 2,62 b) 16,42 5,8
Läs merLösningsförslag till problem 1
Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga
Läs merLösning av trigonometriska ekvationer
Lösning av trigonometriska ekvationer Uppsala universitet 06 Per Engström per.engtrom@math.uu.se Inledning För att lösa problem i som innehåller trigonometriska funktioner kan mab bahöva lösa trigonometriska
Läs merformler Centralt innehåll
Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska
Läs merIntromatte för optikerstudenter
Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson (2013). Ändringar av Jakob Larsson och Emelie Fogelqvist (2014). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik
Läs merUppgiftshäfte Matteproppen
Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................
Läs merIntromatte för optikerstudenter
Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist och Simon Winter (2013 2016). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merLösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl
Institutionen för Matematik, KTH, Olle Stormark. Lösning till tentamen i 5B116 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, 5-1-19, kl. 8 1. Tentamensskrivningen består av 4 moment, svarande mot kursens olika
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merPlanering Geometri år 7
Planering Geometri år 7 Innehåll Övergripande planering... 2 Bedömning... 2 Begreppslista... 3 Metodlista... 6 Arbetsblad... 6 Facit Diagnos + Arbeta vidare... 10 Repetitionsuppgifter... 11 Övergripande
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merBestäm den sida som är markerad med x.
7 trigonometri Trigonometri handlar om sidor och inklar i trianglar. Ordet kommer från grekiskans trigonon (tre inklar) och métron (mått). Trigonometri har anänts under de senaste 2000 åren inom astronomi,
Läs merLektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Läs mergeometri ma B 2009-08-26
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =
Läs merSKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 30 augusti 01 Innehåll 3 Geometri och trigonometri 8 3.1 Euklidisk geometri........................... 8 3.1.1 Kongruens och likformighet..................
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merTrigonometri och funktioner
Trigonometri och funktioner Mats Boij & Roy Skjelnes 23 augusti 2008 KTH Teknikvetenskap, Inst. för matematik SF1658 Trigonometri och funktioner ii Innehåll 1 Första veckan Geometri med trigonometri 1
Läs merMVE365, Geometriproblem
Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..
Läs mer2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90
2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar
Läs merAvsnitt 5, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 5:1 5:1 Avsnitt 5, introduktion. Radianer Vinkelmåttet radianer är i matematiska sammanhang bättre än grader, särskilt när man sysslar med de trigonometriska funktionerna
Läs merGYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER
2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4
Läs merLinjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.
Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät
Läs merTrigonometri och funktioner
Trigonometri och funktioner Mats Boij & Roy Skjelnes 6 juli 2009 KTH Teknikvetenskap, Inst. för matematik SF1658 Trigonometri och funktioner ii Innehåll 1 Första veckan Geometri med trigonometri 1 1.1
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merVektorgeometri och funktionslära
Vektorgeometri och funktionslära Xantcha 009 Del A: Beräkningsdel Räkningar behöver inte redovisas. Samtliga uppgifter måste vara korrekta om tentamen skall godkännas (möjligen kan något slarvfel tolereras),
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merMina videos Jag har satt samman en snabbkurs för er som behöver repetera grundskolans matematik:
Behov av förkunskaper i matematik För att du ska kunna följa med i undervisningen i rörelselära (IB4) krävs förkunskaper i grundskolans matematik, samt lite trigonometri. Jag medsänder därför ett förkunskapstest
Läs merMatematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer
Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs mer2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat
2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln
Läs merUppsalas Matematiska Cirkel. Geometriska konstruktioner
Uppsalas Matematiska Cirkel Geometriska konstruktioner Matematiska institutionen Uppsala universitet Våren 2019 Några ord om Uppsalas Matematiska Cirkel Uppsalas Matematiska Cirkel bildades hösten 2018
Läs merUtforska cirkelns ekvation
Utforska cirkelns ekvation Målet med denna aktivitet är att eleverna förstår definitionen av en cirkel som en uppsättning av punkter som är lika långt från en given punkt. eleverna förstår att koordinaterna
Läs merSidor i boken 8-9, 90-93
Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta
Läs merPoincarés modell för den hyperboliska geometrin
Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av
Läs mer7F Ma Planering v2-7: Geometri
7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 31 Repetition Lekt 9 Bestäm största värdet av 5 sin v + 12 cos v. Staffan Lundberg M0038M
Läs merLösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson
, MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8
Läs merHF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng
Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Examinator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning och betygsgränser: TENTAMEN HF0021 Matematik för basår I TEN2 Tekniskt basår Marina Arakelyan, Jonass Stenholm
Läs merMatematik D (MA1204)
Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och
Läs merLösningar kapitel 10
Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................
Läs merKomplexa tal. Sid 1: Visa att ekvationerna på sid 1 saknar reella lösningar genom att plotta funktionerna.
Komplexa tal Komplexa tal stötte vi på redan i kurs 2 i samband med lösningar till andragradsekvationer. Detta är startpunkten för denna ganska omfattande aktivitet om komplexa tal, som behandlas i kurs
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs merNC-Matte. 1 Formler och Begrepp beskrivet med Figur 1 (Vad är Klockan) (Viktig Figur)
NC-Matte 1 Formler och Begrepp beskrivet med Figur 1 (Vad är Klockan) (Viktig Figur) 2 Trigonometriska Funktioner (Beräknar Sidor och Vinklar i Rätvinklig Triangel) 3 Miniräknare: (Beräknar Sidor och Vinklar)
Läs mer8F Ma Planering v2-7 - Geometri
8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs merGeometriska konstruktioner
Stockholms Matematiska Cirkel Geometriska konstruktioner Lisa Nicklasson Gustav Zickert Institutionen för matematik KTH och Matematiska institutionen Stockholms universitet 2017 2018 Innehåll 1 Vad är
Läs merGrafik och Egna funktioner i Matlab
Grafik och Egna funktioner i Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht11 Moore: 5.1-5.2 och 6.1.1-6.1.3 1 Inledning Vi fortsätter med läroboken Matlab for Engineers av Holly Moore. Först
Läs merMöbiusgruppen och icke euklidisk geometri
94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs merKomplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...
Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa
Läs mer2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt.
Kängurutävlingen 018 Cadet svar och kommentarer Facit Cadet 1: C 19 0 + 18 = 8 = 19 : E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas
Läs mer9E Ma Planering v2-7 - Geometri
9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 65, 982 Årgång 65, 982 Första häftet 3260. På var och en av rutorna på ett schackbräde (med 8 rutor) ligger en papperslapp. Kan man flytta papperslapparna så att samtliga kommer att ligga
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merFall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π
48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x =
Läs mer14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.
PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade
Läs mer