Uppgiftshäfte Matteproppen
|
|
- Åsa Hansson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET
2 Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning Uttryck Ekvationer och räta linjer Uppdelning av häfte Varje block innehåller delar som påminner och kompletterar varandra. Varje del i blocket är uppdelat i en -del och en B-del, där -delen är lite mer grundläggande medan B-delen är lite mer utmanande. Längst bak i detta häfte finns även facit för kontroll av uppgifterna. Block 5. Pythagoras sats och radianer Trigonometri Trigonometriska uttryck Trigonometriska ekvationer och grafer Block 9. Faktorisering Kvadratkomplettering Block 0. Potenser Logaritmer Logaritm- och exponentialfunktioner Facit 5. Block Block Block Block
3 Uppgifter Block. Bråkräkning. Skriv på enklaste bråkform 6 9 (b) 8 7 (d) Beräkna 5 + B. Beräkna ( 5 9 ) (b) 5 (d) Placera ut <, > eller = mellan uttrycken 9 8 och 8 7 (b) 98 och och 5 6. Finn ett bråk mellan uttrycken (b) (d) 5 5. Beräkna 7 (b) (d) och 8 9 (b) och 6. Uttryck 7. Förenkla uttrycket om det går (b) x +6x x +x 5x 7x +x (d) 0x x +x
4 B 8. Teckna ett uttryck för omkretsen för respektive figur (b) 9. Förenkla följande uttryck x+ ( x)(+x) (b) y + y t t+ + t t (d) ( K + K)(K K ) 5 x ( x)( x) 0. En cykeltillverkare räknar med att kostnaden för att tillverka c antal cyklar är c kr. v de cyklar som tillverkades skänktes 00 st till välgörenhet och resten går till försäljning. Ställ upp ett uttryck för produktionskostnaden per cykel som går till försäljning. (b) Hur stor blir produktionskostnaden per cykel som går till försäljaren om det tillverkas 500 st cyklar?. Förenkla uttrycket +x x + x+ x x+ x x x. För vilka x är följande uttryck ej definerat (b) x x x x+ 5x x (d) 7x+x x 8. Ekvationer och räta linjer. Lös följande ekvationer 6x + = x + 5 (b) 5x + = x x(x ) = 0 (d) (x + )(x ) = 0. Lös följande ekvationer x x+ = 0 (b) x x = 0 x+ x = (d) x + = 5. Rita den räta linjen beskriven av y = x + (b) y = x + x + y = (d) y =
5 6. Lös följande ekvationssystem Ledning: I uppgift (b) är a och b heltal { y + x = y + x = 8 { a b = 7 (b) a + b = 7 B 7. Lös följande ekvationssystem Ledning: I uppgift (d) är a och b heltal { x + y = x y = 9 { a + b = (b) b + a = 5 8. Lös följande ekvationer x +x+ x = x+ x (b) x + x = 5x 6 x+ 9 = (d) x = 5x 9. Beskriv med egna ord skillnaden mellan en ekvation och en funktion. 0. Lös ekvationen 5x+ x = x. Finn ekvationen för den räta linjen utifrån följande fakta Linjen passerar punkterna (,0) och (,) (b) Linjen passerar punkterna (-,) och (,-5) Linjen passerar punkterna (-,5) och (,) (d) Linjen passerar punkten (-,) och är parallell med en linje x y + 5 = 0. Finn skärningspunkten mellan linjerna y = x + 5 och y = x + (b) y = 7 och y + x = 0 y = ax + och y = x + a Block. Pythagoras sats och radianer. Bestäm längden x i triangeln (b) 5
6 . Omvandla till grader 5. Bestäm avståndet mellan punkterna och B π (b) 5π. Omvandla till radianer 70 (b) 5 B. En rätvinklig triangel har sina hörnpunkter i (,-), (,) och (6,-). Ledning: Skissa triangeln. Beräkna längden av hypotenusan (b) Beräkna längden av katetrarna Beräkna arean 6
7 . Trigonometri 6. För följande vinklar, ange värdet för uttrycken sin(v), cos(v) och tan(v) v = π (b) v = π v = 0 (d) v = nge både antalet grader och antalet radianer för vinklarna a, b, c, d och e. 9. Bestäm konstanten k så att cos(v + π) = k cos(v) (b) cos( v) = k cos(v) sin( v) = k sin(v) 0. nge utifrån triangeln ett uttryck för x (b) cos(u) sin(u) (d) sin (u) + cos (u) B 8. Låt (x,y) vara koordinaterna för en punkt med motsvarande vinkel v i det polära systemet. Bestäm värdet för uttrycken cos(v) och tan(v) om sin(v) = (b) sin(v) = sin(v) = och (x,y) ligger i första kvadranten och (x,y) ligger i tredje kvadranten (d) sin(v) = och (x,y) ligger i andra kvadranten. Trigonometriska uttryck. nvänd additionssatserna för cos(u + v) och sin(u + v) och visa att cos(v) = cos (v) sin (v) (b) sin(v) = sin(v)cos(v) 7
8 B. Skriv i termer av cos(v) och/eller sin(v) cos(v π) (b) cos(v π ) cos(v 7π 6 ) (d) sin( π + v). Beräkna värdet för uttrycket sin(v) med hjälp av trigonometriska ettan samt följande fakta cos(v) = och 0 < v < π (b) cos(v) = 5 6. Visa att sin(v) cos(v) = cos(v) +sin(v) och π < v < π 5. Beräkna π π. nvänd detta samt de trigonometriska additionssatserna för att beräkna cos( π ) (b) cos( π ) sin( 7π ) (d) tan( 5π ) 6. nvänd enhetscirkel för att härleda den trigonometriska additionssatsen för cos(u v) Ledning: Rita ut vinklarna u, v och u-v. Trigonometriska ekvationer och grafer B 7. nge alla x för vilka cos(π + x) = (b) sin(x π ) = 0 cos( 5x ) = (d) cos(5x π ) = 8. Skissa följande funktioner och ange perioden f(v) = cos(v π ) (b) g(x) = sin(x) 9. Låt f(x) = sin(x), g(x) = cos(x) och h(x) = sin(x π ) vara funktioner. Skissa f, g och h noggrant och bestäm utifrån grafen för vilka x sin(x) = cos(x) (b) sin(x) = sin(x π ) cos(x) = sin(x π ) 0. Skissa f(x) = + sin(x + π ) samt ange funktionens period och amplitud.. Förenkla cos(x)cos(x) + sin(x)sin(x) och skissa kurvan. nge alla lösningar till cos(x)cos(x) + sin(x)sin(x) = 0.. nge maxvärdet (dvs max(f(x)) för funktionen f(x) = + cos(x) + ( + tan(x)) sin(x) utan att derivera. 8
9 Block. Faktorisering. Utveckla (x + )(x ) (b) (x + 5)(x 5) (5 x)(5 + x) (d) (y z)(y + z). Utveckla (x + ) (b) (x ) ( x) (d) (8 + x). Faktorisera x (b) 5 x 9 + 6x + x (d) x + 6x + 6 B. Faktorisera x 8 (b) 50x x 9x (d) 8x 5. Förenkla så långt som möjligt x+6 x +x (b) x 5 x+0 x 6x x (d) z 5 5 z 6. Förenkla så långt som möjligt b a a b a b (b) a b ab a b +a y y y (d) b b b 6. Kvadratkomplettering 7. Kvadratkomplettera uttrycket. Bestäm c så uttrycket blir en jämn kvadrat x + x + c (b) y 0y + c z + 7z + c (d) w 0w + c 8. Skriv om uttrycket som en skillnad mellan två kvadrater x + x (b) x 6x x + x (d) x 0x 9
10 B 9. Skriv om uttrycket som en skillnad mellan två kvadrater Ledning: nvänd resultatet i föregående uppgift x + x 5 (b) x 6x + 5 x + x + 6 (d) x 0x 0. Faktorisera x + x (b) x 0x + x + 6x + 5 (d) x 0x + 9. Faktorisera a + 6a + (b) 8y + + y r r (d) t 8t 8. Encirkels ekvation har formen (x c ) + (y c ) = r där (c, c ) är cirkelns mittpunkt och r är radien. nge mittpunkt och radie för följande cirklar Block. Potenser. Beräkna (b) ( ) ( ) (d) 8. Beräkna ( + 5) (b) (d) ( 5). Skriv på potensfrom med basen 8 (b) (d) 9 x + y x + y = (b) x + y y x + = 0 0
11 B. Förenkla a a a (b) ( 8 ) ( (d) (a 0 b 5 ) 5 5. Lös ekvationen (5 ) x = 5 (b) ( π ) 5x = 6 x = 7 (d) x 8 = 6 ) 6. Skriv utan rotuttryck i nämnaren (b) Logaritmer 7. Skriv talet 0000 som en potens med basen 0 (b) Bestäm lg 0000 Skriv talet 0, 0 som en potens med basen 0 (d) Bestäm lg 0, 0 B 8. Lös ekvationen lg x = (b) lg x = lg x = 0 (d) lg x = 9. Förenkla lg + lg 5 (b) lg lg 6 5lg lg (d) ln + ln 5 0. Bestäm log 6 (b) log 6 log (d) log. Lös ekvationen lg x = lg + lg (b) lg (x + 5) = lg lg 6 lg x + lg (x + ) = lg (d) lg x lg ( + x) =. Förenkla uttrycket och svara uttryckt i ln x och ln y ln x ln y (b) ln xy ln x y ln x y + ln y x
12 . Logaritm- och exponentialfunktioner. Lös ekvationen x = (b) x = 6 x = 6 (d) x =. Lös ekvationen (e x ) (e x ) = 0 (b) e x e x = 0 5. Lös ekvationen 7. Finn ett tal k så att 0 x = e kx (b) 00 x = 0 kx x = kx 8. År 000 uppgår Sveriges BNP per capita till 50 miljoner SEK. ntag att BNP ökar med % per år. Hur hög är Sveriges BNP per capita år t? (b) Vilket år uppnår Sveriges BNP per capita 00 miljoner SEK? (nvänd den naturliga logaritmen i ditt svar) Hur lång tid tar det för Sveriges BNP per capita att fördubblas? Spelar det någon roll vilket startdatum man använder? log x = (b) ln x = log x = 0, 5 (d) log a x = b B 6. Lös ekvationen lg x = 5 (b) ln x = ln x lg x = + lg (d) lg x = + lg x
13 5 Facit 5. Block. (b) (d) (b) 9 (d) 0. (b) (d). (b) (d) 8 5. < (b) > < (b) 7. x +x (b) Går ej 5 7x+ (d) 5 x+ 8. 0x (b) πx (+x) ( x)( x)(+x) (b) +y y 9. t t (d) K +K K c c 00 Förutsatt att mer än 00 cyklar produceras. Då c=00 ger division med noll. (b) 50 kr. x6 x +x x. x = (b) x = x = och (d) x = och. x = (b) x = 7 x = 0, x = (d) x =, x =. x = (b) Saknar lösningar x = 5 (d) x = 7
14 5. Kontrollera ditt svar med proppläraren 6. x =, y = (b) a =, b = 7. x =, y = (b) a =, b = 9 8. x = 0 (x= är en falsk lösning!) (b) x = x = (d) x = 0, x = 5, x = 5 9. En ekvation har lösningar, alltså dvs. den gäller bara för vissa variabler. En funktion gäller för alla värden på variabeln inom sin definitionsmängd. 0. x, =, x =. y = x 6 (b) y = x + y = x + (d) y = x +. (, ) (b) ( (, 7) ) a a, a 6 a 5. Block. 06 (b) (b) 00. π (b) π. 0 = 0 l.e. (b) 0 = 5 l.e. 0 a.e l.e. (b) 6 l.e. 6. Svar i ordning sin(v), cos(v) och tan(v),, (b),,,, (d),, 7. 5 = π rad (b) 60 = π rad 0 = π 6 rad (d) 60 = π rad (e) 0 = π 6 rad 8. Svar i ordning cos(v) och tan(v), (b), 0, ej def. (d),
15 9. (b) 0. x = b a (b) cos(u) = a b sin(u) = x b (d) sin (u) + cos (u) =. Kontrollera ditt svar med proppläraren Ledning: v = v + v. cos(v) (b) sin(v) cos(v) sin(v) (d) cos(v) sin(v). (b) 6. Kontrollera ditt svar med proppläraren Ledning: I VL: förläng med konjugatet. Förenkla uttrycket med trigonometriska ettan (b) (d) Kontrollera ditt svar med proppläraren Ledning: Ställ upp uttryck för cos(u-v) och sin(u-v). nvänd trigonometriska ettan. 7. x = ± π + πn, där n är ett heltal (n Z) (b) x = π 6 + πn, där n är ett heltal (n Z) x = ± π + πn 5, där n är ett heltal (n Z) (d) x = ± 7π 60 + πn 5, där n är ett heltal (n Z) 8. Period = π (b) Period = π 9. x = π + πn, där n är ett heltal (n Z) (b) x = π + πn, där n är ett heltal (n Z) x = π + πn, där n är ett heltal (n Z) 0. mplitud =, P eriod = π. cos(x)cos(x) + sin(x)sin(x) = cos(x) Lösningar till ekvationen är x = π + πn, där n=0,,.... max(f(x)) = Ledning: Skriv om tan(x) samt cos(x) och förenkla 5. Block. x (b) 9x 5 5 x (d) y z. x + x + (b) x 6x + 9 x + x (d) 6 + x + x 5
16 . (x + )(x ) (b) (5 x)(5 + x) ( + x) (d) (x + ). (x )(x + ) (b) x(5 x)(5 + x) (x )(x + ) (d) (9x )(9x + ) 5. x (b) x 5 x(x+6) (d) z 5 6. b + a (b) a b y (d) b +b 7. c =, (x + ) (b) c = 5, (y 5) c = 9, (y + 7 ) (d) c = 00, (w 0) 8. (x + ) (b) (x ) (x + 7) 7 (d) (x 0) 0 9. (x + ) (b) (x ) (x + 7) ( ) (d) (x 0) ( 0) 0. (x + )(x ) (b) (x )(x 7) (x + )(x + 5) (d) (x 9)(x ). (a + 7)(a + + 7) (b) (y + 5)(y + + 5) (r 5)(r + 5) (d) (t + 9 )(t ). Mittpunkt = (, ), Radie = (b) Mittpunkt = (, ), Radie = 5. Block. 8 (b) 8 9 (d) 6. 6 (b) 8 (d) 5. (b) 5 eller ( ) 5 (d) 0 6
17 . a (b) 6 (d) a 6 b 5. x = (b) x = 6 5π x = (d) x = (b) (b) 0 (d) 8. x = 00 (b) x = 000 x = (d) x = 0 9. lg 0 (b) lg 0 (d) ln 0 0. (b) (d). x = (b) x = x = (d) x = 5. ln x ln y (b) ln y 0. x = (b) x = 6 x = 6 (d) x =. x = ln och x = 0 (b) x = ln 5. x = 8 (b) x = e x = (d) x = a b 6. x = 0 5 (b) x = x = 0 (d) x = 0, 0 7
18 7. k = ln 0 (b) k = k = log 8. 50, 0 t MSEK (b) År ln 8 5 ln,0 ln ln,0 år. Nej det spelar ingen roll Bra jobbat! Nu när du har gått igenom matteproppen är du redo för dina studier vid Uppsala Universitet. Lycka till med allt och glöm inte att ha roligt på vägen! :) /Propplärarna 8
Repetitionsuppgifter i matematik
Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs mersin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x
33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos
Läs merför Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår
Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov HT-2016
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merSidor i boken Figur 1:
Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs mer7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.
MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 1 januari 01 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merMATMAT01b (Matematik 1b)
Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =
Läs merIntroduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merSvar och anvisningar till arbetsbladen
Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merMA0021, MA0022, MA0023
Bastermin MA00, MA00, MA00 vt del, 0-08- Hjälmedel: Penna, suddgummi, linjal och gradskiva! oäng/delugift. Skriv tydligt och skriv tydliga svar! Motivera väl! Endast svar acceteras ej! Förenkla alltid
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011
ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig
Läs merAlgebraiska räkningar
Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:
Läs mera (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar.
TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x) a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x) a har lösningar endast om a (eftersom sin( x ) ) Exempelvis, ekvationen sin( x) saknar lösningar Uppgift
Läs merAlgebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln
Bastermin HT, Matematik Högskolan i Halmstad Version 00-08-0/0-08-5 Bertil Nilsson/Mats Gunnarsson Häfte A Algebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln. Förenkla
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs mer5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2
MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 5 november 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs mer(5 + 4x)(5 2y) = (2x y) 2 + (x 2y) ,
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 015-06-01
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merArkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK
Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.
Läs merPROTOKOLL LINKÖPINGS UNIVERSITET
2012-04-25 PROTOKOLL LINKÖPINGS UNIVERSITET Fakultetsstyrelsen för tekniska fakulteten FSTdel 12/055 Dekanus Närvarande: Ulf Nilsson dekanus Ingela Wiklund föredragande Maria Boberg sekr 1 Kursplan för
Läs merFacit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson
Facit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson a) 9t u 9v b) a + c + 7 a) p + r b) c + b c) a c a) b) c) 8 d) e) f) 00 h) a) 0 z 8 b) 7a b c c) p q 9 r s a) 7 b) 8a 8 b 7 c c) a p b 7p a)
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merFall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π
48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x =
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag
Hans Thunberg KTH Matematik SF66 Perspektiv på matematik Tentamen 0 oktober 0 kl 08.00.00 Svar och lösningsförslag () Bestäm ekvationen för den cirkel som passerar genom punkten (, 4) och har sin medelpunkt
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =
Läs merStudiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03
Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merDel A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.
NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje
Läs mer2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90
2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar
Läs merRepetition inför kontrollskrivning 2
Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Läs merockså en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av
H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x ) = a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x ) = a har lösningar endast om a (eftersom sin( x )
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merRepetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner
Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Del B Utan miniräknare Endast svar krävs! 1. Lös ekvationen (x + 3)(x 2) = 0 Svar: (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 4(x 3)(x + 3) så långt
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 30 augusti 01 Innehåll 3 Geometri och trigonometri 8 3.1 Euklidisk geometri........................... 8 3.1.1 Kongruens och likformighet..................
Läs merFöreläsning 9: Komplexa tal, del 2
ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns
Läs merIntromatte för optikerstudenter 2018
Intromatte för optikerstudenter 018 Rabia Akan rabiaa@kth.se Av Robert Rosén (01). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist, Simon Winter och Rabia Akan (01-017). Kursmål Efter intromatten
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består
Läs merBlock 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd
Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merProppteori Komplement till propplektionerna
Innehåll Proppteori Komplement till propplektionerna Petter Helgesson 3 juli 0 0 Kära recce! 7 Uttryck 8 Ekvationer 8.0. Exempel: Lös ekvationen 4x = 6.......... 8. Andragradsekvationer.......................
Läs merRepetition inför tentamen
Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8
Läs merTrigonometri och funktioner
Trigonometri och funktioner Mats Boij & Roy Skjelnes 23 augusti 2008 KTH Teknikvetenskap, Inst. för matematik SF1658 Trigonometri och funktioner ii Innehåll 1 Första veckan Geometri med trigonometri 1
Läs merGeometri och Trigonometri
Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner
Läs merTrigonometri och funktioner
Trigonometri och funktioner Mats Boij & Roy Skjelnes 6 juli 2009 KTH Teknikvetenskap, Inst. för matematik SF1658 Trigonometri och funktioner ii Innehåll 1 Första veckan Geometri med trigonometri 1 1.1
Läs merAvsnitt 5, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 5:1 5:1 Avsnitt 5, introduktion. Radianer Vinkelmåttet radianer är i matematiska sammanhang bättre än grader, särskilt när man sysslar med de trigonometriska funktionerna
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs meringa frågor är dumma, varje student skall känna sig sedd och respekterad, studenterna skall få en god introduktion i ett högskolemässigt arbetssätt.
Institutionen för matematik Staffan Lundberg augusti 2006 FINPLANERING, FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till Dig som undervisar på proppen. Inledning: Efter genomförd enkät med fjolårets ettor, kommer vi
Läs merd) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin
d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6
Läs mer3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 015-01-09
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merLösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson
, MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merKapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm
Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merx) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merIntromatte för optikerstudenter
Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson (2013). Ändringar av Jakob Larsson och Emelie Fogelqvist (2014). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merUPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
Läs merf(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merIntromatte för optikerstudenter
Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist och Simon Winter (2013 2016). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik
Läs mer