Facit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson

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1 Facit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson a) 9t u 9v b) a + c + 7 a) p + r b) c + b c) a c a) b) c) 8 d) e) f) 00 h) a) 0 z 8 b) 7a b c c) p q 9 r s a) 7 b) 8a 8 b 7 c c) a p b 7p a) + b) + + c) a + d) + + 7a) 9a ab + b b) a + a b + b c) m 8 + 8a) b) a c) 8 9a) b) c) a) a ) + a ) b) + ) ) c) + 9) d) ) e) ) + + ) f) a + b)a ab + 9b ) ) + ) + ) h) )9 + + ) a) + ) b) c) 9 + ) ) a) för = b) för = c) för = ± d) för = 0 a) för = b),0 för = 0, a) b) c) + 80 a + 80 a + 0 a + 0a 8 + a 0 d) 8 0 z + 8 z 0 z + z 8 z + 79z a) a) b) b) 7 c) 7a) b) c) 8a) a 8c b) 8 9 c) a + a d) + 9a) b a b) + ) c) ) d) b + b e) a + ab + b a b f) a + a

2 a) a ab + b b) a + a b + ab + b c) a + b a) b) + ) ) + a) 8 9) a) = ) Efter år a) + + b) 7 ) c) c) a + b d) ) d) d) a + a b + a b + ab + b ) 8 + ) 8) b) = 0,0 c) uppflls av alla om ± d) = b) + + = + + d) + e) + + c) f) + ) ) = + + ) a) =,; = b) =, = c) =, = d) saknar lösning e) oändligt många lösningar: = t, = t för alla reella t f) =, = =, = h) =, =, z = i) = 0; = 0,0; z = 0,0 j) =, =, z = k) =, =, z = l) =, =, z = m) =,; = 0,; z = n) =, =, z =, w = ) 8 år 7a) 7 b) 7 c) 0 8a) = 0, = b) = 0,; =, c) = d) =, = e) saknar lösning 9a) b) 8 c) < 0 och < d) = 0a) =,; =, b) alla där c) = 0; = 7, d) = a) 0,7 b) 00 c) d) e) f) 0 a) =, = b), = ± c), = ± d), = ± e), = 0 a) b) c) d) + e) + ) f) 7 a) + för alla b) för > 0, för < 0 c) för > 0 d) 9 för < 9 e) för > f) + för > 0, + för < 0

3 a) = i, = i b), = ±i c), = ±i d), = ± e) = + i, = i f), = ± i, = ±,, = ±i a) + i b) 7 i c) 7 i d) i + i 70 e) + i 7 f) + 7 7a) =, = b) =, = c) =, = d) = 0, = 7 e) = = f), = ± 9 0 8a), = ± i b), = ± i 0 c), = ± i 9a) =, = b), = ± c), = ± i 0a) =, = b) =, = c) =, = d), = ± + ), för + a) ) + ) b) ) + ) c) + ) ) d) + + a) + 0 = 0 b) = 0 c) = 0 d) + = 0 a), = ±,, = ± b), = ±7,, = ± c), = ±,, = ±i d) = =, = = e), = ±,, = ± i a) =, = b) = 0, = c) = 9 0 a) = 0,, = ± c) =,, = ± b) =, =, = d) =,, = ± i e) =, =,, = ±i f) =, = = 7a) = = = b) =,, = ± i c) = = = i, = = = i d) = =, = = + i 8a) ) ) + ) b) + ), = = i + ) + + ) c) + ) + ) d) ) + ) e) + ) ) 9a) = b) = c) = d) = e) = f) =

4 0a), ) =, ) b) +, + ),, ) c), ),, ),, ),, ) d) 0, ), 0, ) +,, + ),, ) e) 0, ), 0, ) ),,, ), a) b) < < + c) gäller inte för något d) alla e) 0 < < och > f) < och < < < och h) < i) < < a) b) c) d) e) 9 f) 9 a) b) c) d) = / e) 0 = /0 f) 8 = /8 = / h) a), = ± b) = c), = ± d) = e) saknar reella rötter a) a för alla a b) = / för > 0 c) = / för alla d) a för alla a e) a / = a för a > 0 f) / för 0 a) 8 b) e 0 = c) 7) Tips: skriv om med samma bas 8a) = b) = c) saknar reell lösning d) = 0 e) = f) saknar reell lösning = 9a) = 0 b) = 0, = c) = d) = 0, = e) = 0 0a) b) c) d) 0,7 e) f) a) b) c) d) e) 7 f) a) = b) = 0 c) = e d) = 0,000 e) = 0 0 = 0 / a) = lg b) = ln c) = lg d) = lg e) = ln f) = ln, = ln a) b) 0 c) ln d) lg

5 a) = e b) = + c) = 8 d) = e) = f) = + = 0 9 h) = 9 i) = 0,8 j) = 9 a) b) c) d) e) f) 7a) b) 8a) = b) =, = 0 9a) b) c) 70a) b) c) d) lg e) ln 0 7a) a 7 b) a a 7a) 90 b) 000 c) 00 d) n 7a) 07 b) 8 0 c) + n+ ) n 7a) b) e c) d) e e) 7a) = b) = c) = d) n ) e e f) 80a) π = 80 b) π = c) π = 080 d) π = 0 e) π = 0 f) 0π = 00 8a) π b) π c) π d) π e) π 0 f) π π 8 8a) 0 b) 90 c) d) 7 8a) π 8a) π längdenheter b) π b) π c) n )π n l.e. c) 0π 9 l.e. 8a) b) c) d) 8a) B = ; a,; b, b) B = π 0 ; b,; c, c) b,; A,8 ; B 8, d) c,; A,7 ; B, e) A = ; a,; c, 87a) cos v =, tan v = b) cos v = d) sin v =, tan v = sin v = 0 9, cos v = 7 9, tan v = c) sin v =, tan v = e) sin v =, cos v = f) sin v =, cos v = 7 88a) tredje b) andra c) andra d) fjärde e) andra f) andra första

6 89a) b) c) d) 0 e) 90) Tips: använd den trigonometriska ettan 9a) b) c) v i första kvadranten) eller v i andra kvadranten) 9a) 0,8 b) v i första kvadranten) eller v i fjärde kvadranten) 9a) 9 b) c) v i tredje kvadranten) eller v i fjärde kvadranten) 77 d) v i första kvadranten) eller 77 v i fjärde kvadranten) 9a) sin v =, cos v = b) sin v = 0, cos v = 0 c) sin v =, cos v = v i andra kvadranten) eller sin v =, cos v = v i fjärde kvadranten) d) sin v =, cos v = v i andra kvadranten) eller sin v =, cos v = v i fjärde kvadranten) 9a) b) c) d) e) f) h) i) j) 9a) v = ± π + πn, för godtckligt heltal n b) v = π + πn, v = π + πn c) v = π + πn d) saknar reell) lösning e) v = + π + π n = π + π m, där m = n + f) v = π + πn, v = π + πn v = ±π + π n 97a) v = π + π n b) v = πn, v = π + π n c) v = π n d) v = π + π n, v = π + π n e) v = π 8 + π n, v = π + π n = π + π n ) 98a) v = π + πn b) v = π 8 + π n c) v = π + π n d) v = π + π n e) v = π + πn f) v = + π 8 + π n 99a) v = π n b) v = + π n 00a) v ±7, + 0 n ±,7 + πn b) v 8, n 0, + πn, v 98, n,7 + πn c) v, + 80 n 0, + πn d) v, + 80 n 0,9 + πn e) v, + 0 n 0,0 + π n 0a) c 8,; B, ; C 89, b) a 8,; A 0,8 ; C,7 eller a 7,; A 8, ; C, c) b,7; A,8 ; B 0,0 eller b,; A, ; B, d) omöjlig triangel

7 0a) c,0; A, ; B, b) a 0,; B 9, ; C, c) b,; A 8,8 ; C 8, 0) Tips: sinπ A) = sina) 0a), tenheter b) 7,7.e. c),.e. 0a) f) 07a) b) 0 08a) 0 c) ) 09a) + b) + c) b) 0,9 d) + om u och v i samma kvadrant) eller + ) b) c) d) e) + om u och v i olika kvadranter) 0a) sin u = sin u sin u b) cos u = cos u cos u c) tan u = tan u tan u tan u + a) b) c) a) v = π n b) v = π + πn; v = 7π + πn c) v, + 0 n 0,9 + πn d) v, + 0 n 0,09 + πn; v, + 0 n, + πn e) v = π + πn; v, + 0 n,0 + πn f) saknar reella) lösningar v, + 0 n 0,0 + πn; v, + 0 n,8 + πn a) v = π + π n b) v = π + πn; v = π + πn; v 9, + 0 n 0, + πn; v 0, + 0 n,80 + πn c) v = ± π ; v ±8, + 0 n ±, + πn d) v = πn e) v = πn, v = ± π + πn f) v = π 8 + π n v = ±π + πn; v ±9, n ±, + πn a) v = π + πn, v = ± π + πn b) v = π + πn, v = π + πn, v = 7π + πn c) v = ± π + πn a) v = πn b) saknar reella) lösningar c) v = π + πn d) v = π + πn 0a) b) c) d) 0 e) a) 0, ) b) 0, 9 )

8 a) +, ) eller, ) b) + ), ) eller, + a) = b) + = 7 c) = d) + = 0 a) = 0 b) + = 0 c) = 0 d) + = 0 e) + = 0 a) = 0 b) + = 0 c) = 0 d) + = 0 e) + 9 = 0 f) 7 + = 0 a), ) b) 7, ) 7 c) parallella linjer saknar skärningspunkt) d) sammanfallande linjer 7) Tips: använd t.e. tvåpunktsformeln 8a) = 0 b) + = 0 c) = 0 9a) = 0 b) + + = 0 c) 9 = 0 d) + = 0 0a) Linjerna = 0 och = 0 - och -alarna) b) Linjerna = 0 och + + = 0 c) Linjerna = 0 och + = 0 d) Linjerna + = 0 och + = 0 e) Linjerna = 0 och + = 0 a) Linjerna = och = b) Linjerna + = 0 och + = c) Linjerna + = och = + d) Linjerna + = 0 och + + = 0 a) + = 8 b) ) + + ) = 9 c) + ) + = a) + + = 0 b) = 0 c) + + = ) Cirkel med mittpunkt och radie a) 0, 0), R = b) 0, ), R = c) e) ),, R =, ), R = d), ), R = a), ) och 0, ) b) 0, ) tangerin c) ingen skärningspunkt a) = b) punkterna ligger i rät linje c) + 9 = 0 7a) 0, 0), a =, b = b) 0, 0), a =, b = c), ), a =, b = d), 0), a =, b = ) e),, a = b = cirkel) f), ), a =, b = 7 7

9 8a) π b) π c) π d) π 9a) π b) π c) 7π d) 7π 0a) 0, 0), -aeln, a = b = ) b) 0, 0), -aeln, a =, b = ) c), ), =, a =, b = ) d) a) = ± b) = ± c) = ± 0, ), = 0, a =, b = ) a) 0 = ± b a 0) b) = ± b a c) 0 = ± b a 0) samma som a) a) verte: 0, 0), ael: negativa) -aeln b) 0, 0), negativa) -aeln ) c), ), = ) d), 0, = 0) e), ), = ) ) ) + a) hperbel: = b) två räta linjer: = ± + ) ) c) parabel: ) = + ) d) ellips: + ) = e) cirkel: + ) + ) = ) ) + f) hperbel: = 8 8 parabel: + = + ) ) h) två parallella linjer: = och = i) saknar geometrisk betdelse, eftersom + + ) ) = saknar reella lösningar ) ) + j) saknar geometrisk betdelse komplea rötter) k) ellips: + = / l) en punkt: ),, eftersom ) ) = 0 bara har en lösning a) under linjen + = b) ovanför och på linjen = c) ovanför linjen = d) ovanför och på linjen = och till vänster om och på) linjen = e) mellan och på linjerna = och = f) innanför kvadrat med hörn, 0), 0, ),, 0) och 0, ) utanför och på enhetscirkeln h) innanför cirkeln med mittpunkt 0, 0) och radie R = i) innanför och på cirkeln, 0), R = j) utanför cirkeln k) innanför och på ellipsen med mittpunkt 0, 0), halvalar a =, b = + l) mellan hperbelgrenarna = ± ),, R =

10 0a) D f = { < < }, V f = { < } b) 0 c) d) sin sin, ) 0,9 e) sin t f) sin sin + ) h) sincos ) i) sinsinsin )) a) D f = { < < }, V f = { < } b) c) 78 d) a 8a + e) + + f) + + h) e e + i) a) 0 b) c) ) f ) = k a) b) c) e + sin d) sin + cos e) cos sin ) f) e + i) sin + cos ) j) m) e ln ) ln ) n) sin cos sin k) sin cos h) + ) + ln ) + ) l) 9 + ) o) ) p) + ln ) q) ln ) r) e sin + sin + cos ) s) + ln ) + ) ln + ) a) + b) e sin c) ln / a) b) e c) 7a) cos ) b) ln + ) c) d) + ln ) e) + + d) sin sin cos d) + e) 8a) cos b) ln ) + ln c) + d) / + e) 9a) e g) g ) b) cosg))g ) c) sing))g ) d) e) n[g)] n g ) f) g ) [g)] g ) cos g)) 0a) e e b) cos + ) c) sin ) d) sin cos = sin e) e cose ) f) i) ) j) m) r) cos ln ) 9 s) n) sin + ) + + ) + 7 k) o) tan p) t) h) + ) + ) sin cos ) + ) l) / + + e q) a) b) π c) 9 d) e), f) 7

11 a) k = b) k =, k = c) k =, k =, k = [ a) e ln + 7) + ] + 7 b) cos sin c) [cos ) cos + sin ) sin ] d) e + ) a) ln b) c) a) a =, b = ± b) a =, b = 0 eller a =, b = ± + ) / a) sin cos = sin b) cos )e sin c) e cos e ) d) sin cos e sin e) [ ] e + ) sin ) cos ) f) e 7a) + ) [ + + ) ln + )] b) + + ln ) [ ] c) + + ) ln + + ) + + ) + + 8a) + ln b) 00 + ln ) c) + ln d) ln ln 9a) + + b) e) e +) + 70a) = + b) f) c) e + e c) + + cos = ± d) + tan = + 7a) tangent: =, normal: + = 98 b) = ln, + = 9 + ln c) =, = 0 d) + = 8, = e) + = 0, = π f) =, + = + =, = h) 9e = e, + 9e = + 8e i) 7 + = ln, 7 = 7 ln 7a) tangent: =, normal: + = 0 b) 7 + =, 7 = c) =, + = d) + =, = e) + =, = 7a) = ±, = ± b) = ±, = ±

12 7a) minsta värde: f ) = lokalt min) b) största värde: f /) = 0 lokalt ma) c) lokalt min: f ) = 0, lokalt ma: f) = d) minsta värde: f ) = e) största värde: f /) = 9 8, lokalt min: f /) =, lokalt ma: f) = 8 f) minsta värde: f /) = 0, lokalt ma: f) =, största värde: f) =, minsta värde: f ) = f) = 0, lokalt ma: f ) = och f0) = h) minsta värde: fln ) = ln i) minsta värde: f + ) = + + ln + ) ln π ) ) j) lokala ma: f + πn = eπ/+πn π, lokala min: f + πn = eπ/+πn k) lokalt min: f0) =, lokalt ma: f) = l) lokala min: f) = 0 och f) = 0 e 7a) b) c) d) 7 e) 7 7 7a) b) c) 0 d) 7 e) 77a) 0 b) c) d) e) f) 78a) b) c) d) 79a) 0 b) 0 c) ln d) ln e) ln 80a) asmptoter: = och = 0, lokala etrempunkter saknas b) asmptoter: = och =, lokala etrempunkter saknas

13 c) asmptoter: =, = och = 0 lokalt ma: 0, ) d) asmptoter: =, = och = 0, lokala etrempunkter saknas e) asmptoter: =, = och =, lokalt min:, 8 ), lokalt ma:, 0) 9 f) asmptot: =, lokalt min: 0, ) asmptoter: =, =, lokalt ma:, ),, ) h) asmptoter: =, = +, lokalt min:, 9 + ), lokalt ma: +, 9 )