x 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2

Transkript

1 Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i ( c, c ) och radie r har ekvationen ( c ) + ( c ) = r. kan vi samla alla i en kvadratterm, = ( + ) ( ) = ( ). I vårt fall är c = c = 0 och r = 4, vilket ger ekvationen + = 6. 4 Cirkelns ekvation kan alltså skrivas ( ) + = 3 ( ) + =. Nu kan vi avläsa cirkelns mittpunkt (, 0) och radie. P.3.3 Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (, 0) och radie 3. Standardekvationen för cirkeln är ( ( ) ) + ( 0 ) = 3 P.3.7 Bestäm mittpunkt och radie till cirkeln = 4. ( + ) + = 9. Vi skriver om cirkelns ekvation i standardform genom att kvadratkomplettera - och - termerna, = ( ), P.3.5 Bestäm mittpunkt och radie till cirkeln + = = ( + ) 4. Alltså är cirkelns ekvation Vi vill skriva om cirkelns ekvation i standardform och därefter direkt kunna avläsa mittpunkt och radie. Med standardform menar vi ( ) + ( + ) 4 = 4 ( c ) + ( c ) = r, ( ) + ( + ) = 9 = 3. där ( c, c ) är cirkelns mittpunkt och r är dess radie. Vi kan nu avläsa att cirkelns mittpunkt är (, ) och att dess radie är 3.

2 P.3.9 Beskriv området som bestäms av olikheten + >. En punkt (, ) tillhör området om den uppfller olikheten och då ser vi direkt att området består av alla punkter innanför (och på) cirkeln med mittpunkt i (, 0) och radie. + >. ( ) Om vi betraktar de punkter (, ) som inte uppfller olikheten så uppfller de istället den omvända olikheten +. ( ) Vi vet att mängden som svarar mot ( ) är en disk med mittpunkt i origo och radie. De punkter som uppfller ( ) är därför alla punkter utanför denna disk. Att cirkeln är heldragen betder att punkter på cirkeln också tillhör det gråa området. P.3.3 Beskriv området som bestäms av olikheterna + > och + < 4. Vi har ritat cirkeln streckad eftersom den inte tillhör det gråa området. Området består av alla punkter (, ) som uppfller båda olikheterna. De punkter som uppfller den första olikheten + > ligger alla utanför enhetscirkeln. P.3. Beskriv området som bestäms av olikheten ( + ) + 4. Olikheten kan skrivas som ( ( ) ) + ( 0),

3 De punkter som uppfller den andra olikheten + < 4 ligger alla innanför cirkeln med mittpunkt i origo och radie. vilket ger ( ) + <, () + ( ) <. () Olikhet () ger alla punkter som ligger innanför cirkeln med mittpunkt i (, 0) och radie, medan olikhet () ger alla punkter som ligger innanför cirkeln med mittpunkt i (0, ) och ra- die. För att en punkt ska uppflla båda olikheterna måste den ligga innanför båda cirklarna. För att en punkt ska uppflla båda olikheterna måste den alltså ligga mellan enhetscirkeln och cirkeln med radie. P.3. Bestäm ekvationen för den parabel som har brännpunkt i (0, 4) och strlinjen = 4. En punkt (, ) ligger på parabeln om dess avstånd till brännpunkten är lika med dess avstånd till strlinjen. (0, 4) L (, ) L P.3.5 Beskriv området som bestäms av olikheterna + < och + <. Vi skriver först om de två olikheterna i standardform med hjälp av kvadratkomplettering, = ( ) = ( ) För att (, ) ska tillhöra parabeln måste alltså ( 0) + ( 4) = ( ) + ( ( 4) ) (, 4) = = 6.

4 P.3.5 Bestäm brännpunkt och strlinje till parabeln = /, och skissera parabeln, brännpunkten och strlinjen. En allmän tumregel för en parabel med ekvationen = /4p är att den har brännpunkt i (0, p) och strlinje = p. I vårt fall är p =, och därmed är brännpunkten ( 0, ) och strlinjen är =. För att skissera parabeln kan man välja några punkter som ligger på lika avstånd från brännpunkten och stlinjen, p. Detta följer direkt genom att ge och ombtta roller i ekvationen = /4p. I vårt fall är p =, och brännpunkten är (, 0) och strlinjen är =. Vi ritar ut några punkter som har samma avstånd till brännpunkten som till strlinjen, och förbinder punkterna med en kurva. = /4 (0, ) L L (, 0) (, 0) = = = och sedan förbinda dessa punkter med en kurva. (0, ) = = (c) P.3.7 Bestäm brännpunkt och strlinje till parabeln = /4, och skissera parabeln, brännpunkten och strlinjen. P.3.9 Figuren till höger visar grafen till = i fra translaterade versioner. Bestäm ekvationerna för dessa fra parabler. (a) (0, 3) (3, 3) (b) (4, 0) (d) (4, ) En parabel med ekvationen = /4p har brännpunkt i (p, 0) och strlinje =

5 a) Vi använder två koordinatsstem. Dels det ursprungliga, -sstemet, dels ett, -sstem som följt med parabeln i translationen. Eftersom, -sstemet translaterats tillsammans med parabeln ges parabeln av ekvationen = i, -sstemet. För att uttrcka parabelns ekvation i, - sstemet behöver vi ett samband mellan de två sstemen. En punkt som har koordinater (, ) i det ursprungliga sstemet har i, -sstemet koordinater (, + 3). (, ), (0, 3) (, + 3) c) För c-parabeln inför vi ett koordinatsstem som translaterats 3 enheter åt höger och 3 enheter uppåt. Vi har sambandet = 3, = 3, mellan de två sstemen. Parabelns ekvation blir = 3 = ( 3) = ( 3) + 3. d) Vi inför ett ntt koordinatsstem som translaterats dels 4 enheter åt höger, dels enheter neråt. Sambandet mellan de två koordinatsstemen är = 4, = +, Alltså är vilket ger att d-parabeln har ekvationen =, = + 3. Den translaterade parabelns ekvation är = + = ( 4) = ( 4). + 3 = = 3. b) På samma sätt som i a-uppgiften inför vi ett, -sstem som följt med translationen. Sambandet mellan, - och, -sstemet är = 4 = och den translaterade parabelns ekvation är, = = ( 4).

6 P.3.3 Bestäm ekvationen för grafen till = + efter att horisontella avstånd multiplicerats med 3. P.3.35 Bestäm ekvationen för den graf som fås då = translateras en enhet neråt och en enhet åt vänster. För den omskalade kvadratrotskurvan inför vi ett ntt, -koordinatsstem där den horisontella skalan epanderats med en faktor 3 så att den na kvadratrotskurvan har ekvationen = +. (, ) (/3, ) Vi inför ett koordinatsstem som följer med den translaterade kurvan. Sambandet mellan, - och, -koordinater är att en punkt som har, - koordinaten (, ) har i, -sstemet koordinaten (/3, ), d.v.s. = /3, =. Den epanderande kurvan har alltså följande ekvation i, -sstemet = + = /3 +. I, -koordinater har kurvan fortfarande ekvationen =. Sambandet mellan de två koordinatsstemen är = +, = +. I, -koordinater har alltså kurvan ekvationen = + = ( + ) = ( + ).

7 P.3.37 Bestäm ekvationen för den graf som fås då = ( ) translateras en enhet neråt och en enhet åt höger. () insatt i () ger 3 + = = 0 Om vi inför ett koordinatsstem som i figuren till höger, så har den translaterade kurvan ekvationen = ( ). Sambandet mellan de två sstemen, ( 3 ( ) 3 ) + = 0 ( ) 3 = 4 { ± = 3 ± =. Från () får vi de -värden som svarar mot de två -värdena (, 4) (, 7) =, = +, ger att kurvans ekvation i, -koordinater blir + = = 7 och = 3 + = 4. Skärningspunkterna är alltså (, 4) och (, 7). = ( ) + = ( ) = ( ). P.3.4 Bestäm skärningspunkterna mellan kurvorna + = 5 och = 0. Skärningspunkterna ska uppflla båda kurvornas ekvationer, + = 5, () = 0. () Från () löser vi ut, = 3 4 och stoppar in i (), P.3.39 Bestäm skärningspunkterna mellan kurvorna = + 3 och = 3 +. En punkt är en skärningspunkt om den ligger på båda kurvorna, d.v.s. uppfller båda kurvornas ekvationer = + 3, () = 3 +. () + ( 3 4 ) = = 5 ± = ±4. Från = 3 4 får vi motsvarande - värden, + = 3 och = +3. ( 4, 3) Skärningspunkterna är därmed (4, 3) och ( 4, 3). (4, 3)

8 P.3.43 Identifiera och skissera kurvan som ges av ekvationen Vi ser att kurvan är i formen 4 + =. a + b =, där a = och b =, vilket betder att kurvan är en ellips med mittpunkt i origo och halvalar och. skulle vi haft en ellips med mittpunkt i origo och halvalar 3 och. I vårt fall är denna ellips translaterad med tre enheter åt höger och två enheter neråt. 3 P.3.47 Identifiera och skissera kurvan som ges av ekvationen 4 =. P.3.45 Identifiera och skissera kurvan som ges av ekvationen ( 3) + 9 ( + ) 4 =. En ekvation i formen a b = är en hperbel med asmptoter = ± b a (linjer som hperbeln närmar sig då ± ) och skärningspunkter (±a, 0) med -aeln. I vårt fall ser vi att a = och b =. Kurvan är alltså en hperbel med utseendet Uttrcket påminner om en ellips; en summa av två kvadrater är lika med. Hade ekvationen istället varit =.

9 P.3.49 Identifiera och skissera kurvan som ges av ekvationen = 4. P.3.53 Skissera grafen till + =. Den kurva som ges av ekvationen = är en hperbel som är roterad 45 moturs kring origo, går genom punkterna (, ), (, ) och har koordinatalarna som asmptoter. Vi skriver om vår ekvation till ( ( ) =. ) Då ser vi att i koordinatsstemet =, = är vår kurva en roterad hperbel med koordinatalarna som asmptoter och går genom punkterna (, ) och (, ). För att kunna skriva kurvans ekvation utan beloppstecken måste vi undersöka fra fall.. 0, 0: I första kvadranten är = och =, så ekvationen blir + =, vilket är en rät linje som skär -aeln i (, 0) och -aeln i (0, ).. 0, 0: I den andra kvadranten är 0 och då är = medan =. Ekvationen blir därför + =, vilket är en rät linje som skär -aeln i (, 0) och -aeln i (0, ). 3. 0, 0: I den tredje kvadranten är både och negativa varför = och =. Ekvationen är =, vilket är en rät linje som skär -aeln i (, 0) och -aeln i (0, ). 4. 0, 0: Slutligen, i den fjärde kvadranten är = och =. Ekvationen blir =. Detta är en rät linje som skär -aeln i (, 0) och -aeln i (0, ). Sammantaget har ekvationen + = grafen