1. Frekvensfunktionen nedan är given. (3p)

Transkript

1 TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF14 TEN 11 kl Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räknedosa Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter. Lösningarna skall vara väl motiverade och så utförliga att räkningarna och de bakomliggande tankarna är lätta att följa. Lösningarna skall renskrivas och avslutas med ett tydligt svar som skall vara så förenklat som möjligt. Betygsgränser: Betyget E: 9 poäng, betyget D: 1 poäng, betyget : 15 poäng, betyget B: poäng, betyget A: 19poäng ( av ma p) betyget F: 8 p. rätt till kompletteringstentamen den. kl Frekvensfunktionen nedan är given. (p) c, < < 4 f ( ) = för övrigt a. Bestäm konstanten c. b. Bestäm fördelningsfunktionen c. Bestäm P ( > ). Låt P ( =,; =,4 och B =, 5. (p) a) Bestäm A b) Bestäm A c) Bestäm P ( A B ). I en urna ligger två gröna kulor, tre röda kulor och fyra blå kulor. (p) I ett försök i sannolikhetslära drar man två kulor utan återläggning. Försöket upprepas (efter återläggning) åtta gånger. Vad är sannolikheten Att man får utfallet en grön och en blå kula två gånger av dessa åtta gånger? 4. Inom en kedja av möbelvaruhus ville man se om en viss utbildning av säljarna gjorde någon skillnad i resultatet. Man valde slumpmässigt tolv säljare och noterade deras försäljningsvolym (tusentals kronor) per vecka före resp efter utbildningen och fick resultatet Säljare: (p) Före: Efter: Bestäm ett 95% konfidensintervall och bestäm med hjälp av detta om man kan påvisa någon effekt av utbildningen. Svaret måste motiveras. Observationerna antages komma från normalfördelningar.

2 πr h 5. Volymen av en kon fås som bekant (?) genom formeln. Bestäm väntevärde och standardavvikelse för volymen av en kon då du vet att radien och höjden η är stokastiska variabler för vilka gäller: E( ) 5,4cm σ =,4cm E( η) = 8,6cm σ =, 11cm = η 6. Per är rädd att vara ensam i sitt sommartorp då det åskar. Tiden mellan två åsk- (p) väder kan anses vara en eponentialfördelad stokastisk variabel med väntevärdet dagar under högsommaren i det område där stugan ligger. Hur stor är chansen att Per inte får uppleva ett åskväder om han stannar i stugan en vecka och det var fem dagar sedan det sist åskade där? 7. På en studentpub finns 165 ölflaskor i lager. Under en kväll besöker 61 studenter (p) puben. Antalet öl som en student dricker kan ses som en stokastisk variabel. Sannolikheten att en student inte dricker någon öl är 1%, sannolikheten att han/hon dricker en öl är %, två öl 6%, tre öl 8%, fyra öl 14% och fem öl 4%. Hur sannolikt är det är det att ölen räcker? 8. En liten flicka leker med 1 små färgade kulor och tre tomma lådor. (p) Om hon slumpmässigt stoppar de tio kulorna i de tre lådorna vad är då sannolikheten att tre kulor hamnar i en låda, tre kulor i en annan låda och fyra kulor i den tredje lådan (inte förutbestämd vilken)?

3 Lösningar/facit 4 c a) d = 1 c( ) = 1 c = b) F( ) = dt = 4 t 1 F ( ) =,, 1, < 4 > 4 c) > ) = 1 p( ) = 1 F() = 1 =, 9 B. a) P ( B =,5 =,5 B =,,5 =, 15 b) P ( A = + A =, +,4,15 =, 55 A B ) A,,15 c) A B ) = = = =, 5 B ),6, p(en grön, en blå i ett försök)= =, 9 antal gånger med en grön och en blå. bin(8;,) 8 6 P ( = ) =, (1,) =,1 4) Stickprov i par Observationer:, -1, 5,,,1, 1,, -1, 1,-1,11 =,5 σ * = 4, 4, 4, t-fördelning:,5 t (11),5,,5+ t(11), ),1,4;4,9, eftersom noll ingår i intervallet kan t Svar: [ ] (, 5 = vi inte med 95% sannolikhet påstå att kursen påverkade resultatet. 5. π η πη π g (, η) = = och = η π 5,4 8,6 E ( g(, η)) g( μ1; μ ) = = 6cm

4 V ( g( ; η)) = ( ) σ + ( ) η σ η π 5,4 8,6 = ( ),4 π 5,4 + ( ),11 = 6,4cm 6 σ = 5,14cm 1 6. Ep( ). 1 < 7) = 1 (1 e 1 7) = 1 < 7). F( ) = 1 e 1 7 ) =,66 (variabeln saknar minne vid eponentialfördelning) 7. Antal flaskor per student. E( ) =,1+ 1, ,4 =,59öl V ( ) = (,59),1+ (1,59), +...(5,59),4 = 1,1619 σ = 1, GS ger η = N(61,59;1,779 61) η N(158, 8,4) p( η < 165) = φ( ) = φ(,8) =,797 8,4 Metod 1 Kalla lådorna A, B och. Först beräknar vi sannolikheten att kulor hamnar i A, kulor i B och 4 kulor i Sannolikheten att eakt kulor hamnar i låda A är ( ) =, 61 Sannolikheten att resten, dvs 7 kulor, fördelas så att tre av dem hamnar i B och fyra i 7 4 är,5,5 =, 748. Sannolikheten för snittmängden är,61,748 =, 715 Alltså har vi fått sannolikheten p1=, 715 att kulor hamnar i A tre i B och 4 i. Samma sannolikhet får vi för händelser: kulor hamnar i A tre i och 4 i B och kulor hamnar i B tre i och 4 i A och Den sökta sannolikheten att tre kulor hamnar i en låda, tre kulor i en annan låda och fyra kulor i den tredje lådan (inte förutbestämd vilken) blir då,715 =, 18 Svar:,1 Metod För varje kula har vi tre val lådan A, B eller med samma sannolikheten. Antalet alla möjliga fall ( alla möjliga placeringar) är därmed N= 1 = 5949.

5 Antalet sätt att placera tre i lådan A, tre i B och 4 i är lika med antalet (som vi betecknar n 1 ) 1! permutationer av A A A B B B : n1 = = 4!! 4! Ett eempel på placering med kulor i A, i B och 4 i : K1 K K K4 K5 K6 K7 K8 K9 K1 B A B A A B Antalet sätt att placera tre i lådan A, tre i och 4 i B är också = 4. Samma gäller för antalet sätt att placera tre i lådan B, tre i och 4 i A. Därmed blir antalet av alla "gynnsamma" fall g= 4=16 Den sökta sannolikheten att tre kulor hamnar i en låda, tre kulor i en annan låda och fyra kulor i den tredje lådan (inte förutbestämd vilken) blir då g 16 p = = =,18 N 5949 Svar:,1