L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1

Transkript

1 L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1 Lisa och Pelle leker med svarta och vita byggklossar. Deras pedagogiska föräldrar vill att de lär sig matematik samtidigt som de håller på och leker. De ber därför barnen att försöka bygga olika torn som är tre klossar höga. Barnen visar strax upp följande tre torn. Efter ytterligare en stunds aktiviter har de byggt ytterligare tre torn. Går det att bygga fler? I så fall, hur många då? De vetgiriga barnen börjar sen att bygga torn som är fyra klossar höga. Hur många sådana torn kan man bygga? Sedan byggde barnen torn som... Föreslå några olika generaliseringar av detta tornbyggande och försök bestämma hur många sådana torn som man kan bygga. Behöver du inspiration kommer ett par förslag här. Vad händer om det finns byggklossar med tre olika färger? Hur många torn som är fyra klossar höga kan man bygga med tre vita och tre svarta klossar? Vad händer om det dessutom finns röda klossar som är dubbelt så höga som de svarta och vita?

2 L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 2 Kombinatorik handlar om att svara på frågan Hur många? i olika sammanhang och inte minst om att visa identiteter genom att räkna samma sak på olika sätt. Några kommentarer till Vretblad-Ekstigs bok 5.2 Här presenteras multiplikationsprincipen som är fundamental för nästan all kombinatorik. 5.3 Här behandlas permutationer. Formeln i rutan på sidan 119 bör inte betraktas som definition av P(n, k) utan som ett sätt att beräkna den. P(n, k) definieras som antalet sätt att välja k element från n element med hänsyn till ordningen. I avsnittet nämns också additionsprincipen, en annan fundamental kombinatorisk princip. Övningar 1. Hur många fyrsiffriga tal finns det? Hur många av dessa börjar med 2 eller 3? 2. Hur många udda tal finns det mellan 100 and 999? Hur många av dessa har inte två siffror lika? 3. Lärarstudenter skall välja två kurser. De kan välja bland fyra matematikkurser och tre didaktikkurser. På hur många sätt kan dom göra det? Vad händer om reglerna ändras så att dom måste välja en matematikurs och en didaktikkurs?

3 4. Frysdisken i livsmedelsaffären innehåller tio olika sorters pizza, fem olika sorters hamburgare och sex olika sorters vegetariska rätter. På hur många sätt kan man välja (a) en maträtt av vardera slaget? (b) en maträtt? (c) tre maträtter? (d) tre olika maträtter? Varning. Uppgift 4(c) är nog svår. Vi skall senare se hur man kan lösa denna typ av problem mer systematiskt. 5. Man väljer fyra kort från en vanlig kortlek. Hur många sådana händer innehåller ett kort av varje färg? Hur många av dessa innehåller exakt två ess? Hur många innehåller minst två ess? 6. Skriv följande som kvoter av fakulteter. (a) (b) Förenkla (a) 10! 7! (b) (n + 3)! n! (c) (n + 2)! (n 2)! 8. Hur många ord med åtta respektive elva bokstäver kan man bilda av bokstäverna i orden (a) DISCRETE? och (b) MATHEMATICS? 9. Du köper 40 olika varor. Du behåller 13 av dem och dina tre kompisar tar 9 var. På hur många sätt kan ni fördela varorna mellan er? 10. Vid nästa besök i affären köper du 43 olika saker och packar dom i fem (likadana) plastpåsar. Två av dom innehåller 8 varor och tre av dom 9 varor. På hur många sätt kan man packa påsarna? 11. Hur många fyrsiffriga tal kan bildas av siffrorna 1, 2, 3, 4, 5 och 6 om upprepning av siffrorna (a) inte är tillåten? (b) är tillåten 12. Hur många fyrsiffriga tal som är större än 3000 och har alla siffror olika kan bildas av siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6 och 7? 13. Man bildar sexsiffriga tal av siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 och 8. Siffrorna får bara användas en gång. Hur många sådana tal innehåller inte båda siffrorna 1 och 2? 2

4 Förslag till svar: 1. (a) 9000 (b) (a) 450 (b) och (a) 300 (b) 21 (c) 1771 (d) (a) (b) 864 (c) 913 OBS. Det blir inte 6. (a) 13! 10! (b) 30! 26! ( (a) 720 (b) n 3 + 6n n + 6 (c) n 4 + 2n 3 n 2 2n 8. (a) (b) ) ! 13!(9!) 3 43! (8!) 2 (9!) 3 2!3! 11. (a) 360 (b)

5 L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 3 I Kapitel ( 5.4) i Vretblad-Ekstig behandlas kombinationer. Binomialkoefficienterna bör defineras som antalet sätt att välja k element från n n k element utan hänsyn till ordningen. Formeln ( ) n n! = (1) k k!(n k)! ger ett algebraiskt uttryck för att beräkna den. Fakulteter n! växer väldigt snabbt, och formeln (1) är inte lämplig för beräkningar ( ) med dator. n! kan vara för stort för att hanteras ( av datorn ) trots n 100 att går bra. Till exempel är 100! 9, k 157 men är bara ( 50 ) n 1, Vid beräkningar för hand gäller det att förkorta, är ju ett k heltal. Man börjar alltid med att förkorta med det största av talen k! och (n k)! Övningar 1. På hur många sätt kan man välja fyra kort (utan hänsyn till ordningen) från en vanlig kortlek? Vad blir antalet om handen skall bestå av (a) ett kort av varje färg? (b) två klöver en hjärter och en ruter? (c) ett ess och alla korten i samma färg? 2. På en tenta skall du lösa tre av fem uppgifter i kombinatorik och två av fem uppgifter i algebra. På hur många sätt kan du välja dina uppgifter? 3. Sex studenter skall delas in i par för laborationer. På hur många sätt kan det göras?

6 4. (a) På hur många vis kan åtta torn placeras på ett schackbräde så att inget torn kan ta ett annat? (b) På hur många vis kan fem torn placeras på ett schackbräde så att inget torn kan ta ett annat? 5. Fem kulor dras ur en urna utan hänsyn till ordningen. Urnan innehåller tio vita och sex svarta (numrerade) kulor. På hur många sätt kan man välja kulorna (a) utan inskränkning? (b) om precis två skall vara svarta? (c) om alla skall ha samma färg? (d) om minst två skall vara vita? 6. (a) En förening med 14 medlemmar skall välja en kommité med 6 medlemmar. Av dessa 6 skall 3 ingå i det verkställande utskottet. På hur många sätt kan det göras? (b) Visa kombinatoriskt att ( )( ) (c) Visa kombinatoriskt att ( )( ) ( )( ) = Vretblad-Ekstig Vretblad-Ekstig Vretblad-Ekstig 5.42 = ( )( ) ( 300 = 5 )( ). 10. (a) Hur många ord med fyra bokstäver kan man bilda från alfabetet AAABBCDE? (b) På hur många sätt kan man välja fyra bokstäver utan hänsyn till ordningen från alfabetet AAABBCDE? 2

7 Förslag till svar: (a) (b) (c) (a) (b) (a) 4368 (b) 1800 (c) 258 (d) (a) 286 (b) 22 3

8 L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 4, Streck i räkningen I Vretblad-Ekstig $ 5.2-4, behandlas några olika sätt att välja k element från n element. På hur många olika sätt som detta kan ske sammanfattas i följande tabell. Tabell 2. Val av k st. från n st. Med återläggning Utan återläggning Med hänsyn Utan hänsyn till ordning ( till ordning ) n+k 1 a) n k b) ( k ) n! n c) d) (n k)! k Du bör själv kunna bevisa a), c) och d). Övning: Gör det! Fallet b) tas inte upp i Vretblad-Ekstig så vi går igenom det här. Vi börjar med ett exempel. Antag att Jan och Ulla är sugna på att äta kakor. På kakfatet ligger fyra likadana kakor. På hur många sätt kan de fördela kakorna mellan sig? Ja, de olika sätten är, 1) Jan får 0 och Ulla 4 kakor 2) Jan får 1 och Ulla 3 kakor 3) Jan får 2 och Ulla 2 kakor 4) Jan får 3 och Ulla 1 kakor 5) Jan får 4 och Ulla 0 kakor, och alltså kan kakorna fördelas 5 sätt Låt oss beräkna det här på ett annat sätt. Vi lägger ut kakorna på rad och delar dom i två delar med en pinne som i figuren nedan. 1

9 Jan får kakorna som ligger till vänster om pinnen och Ulla dom som ligger till höger om pinnen. Så om pinnen hamnar som i figuren får Jan tre och Ulla en kaka. Det svarar alltså mot rad 4) i tabellen. Omvänt svarar t.ex. rad 2) i tabellen mot konfigurationen. Så antalet sätt att fördela kakorna är detsamma som antalet utläggningar av fyra och en på fem platser. Antalet sådana utläggningar är lika många som antalet sätt att välja fyra platser (för ) av fem, eller att välja en plats ( ) ( ) 5 5 (för ) av fem, dvs. = = 5 sätt. 4 1 Om vi generaliserar problemet till många kakor och många personer att fördela kakorna mellan blir den första metoden arbetsam men metoden med att sätta streck i räkningen fungerar lika bra. Vi antar att vi har n likadana kakor som skall fördelas på k olika personer. Utfallet bestämms av hur många kakor, n i, som person nummer i får. Så det gäller att bestämma antalet olika ickenegativa heltalslösningar till ekvationen n 1 +n n k = n. (1) Betrakta följande konfiguration (i figuren är n = 3 och k = 5) (2) Den består av n ettor och k 1 streck. Strecken delar in ettorna i k stycken grupper och genom att låta n i vara antalet ettor som finns i grupp nummer i, ser vi att varje sådan konfiguration svarar entydigt mot en lösning till (1). (I figuren har vi n 1 = 1,n 2 = 0,n 3 = n 4 = 1 och n 5 = 0.) Så antalet lösningar till (1) är detsamma som antalet konfigurationer av typ (2). Men en sådan konfiguration bestämms av var bland de n + k 1 platserna som ( vi skall placera ) de( n ettorna (eller ) de k 1 strecken). Detta kan göras på n+k 1 n+k 1 = sätt. n k 1 Samma metod kan användas för att lösa följande problem. På hur många sätt kan vi, utan hänsyn till ordningen och med återläggning, dra k kulor ur en urna som innehåller n kulor med olika färg. 2

10 Utfallet bestämms av hur många gånger, n i, som kulan med färgen nummer i väljs. Så det gäller att bestämma antalet olika ickenegativa heltalslösningar till ekvationen n 1 +n n n = k. (3) (Detta är samma slags ekvation som (1) men n och k har olika roller.) Antalet lösningar till (3) är lika många många som antalet konfigurationer , (4) där vi har k ettor och n 1 streck. En sådan konfiguration bestämms av var bland de n+k 1 platserna som ( vi skall placera ) ( de k ettorna )(eller de n 1 n+k 1 n+k 1 strecken). Detta kan göras på = sätt. Vi har k n 1 alltså visat fall b) i Tabell 2. ( ) n+k 1 Detviktigaärinteattdulärdigformeln. Formler glömmer k man lätt och det är lätt att förväxla n och k. Det viktiga är att komma ihåg metoden att sätta streck i räkningen. Övning 1. Hur många olika lösningar har ekvationen där alla n i är naturliga tal? n 1 +n 2 +n 3 +n 4 = 17 Övning 2. Du skall köpa tio flaskor lättöl i en affär som har tre olika sorter. På hur många sätt kan du göra det? Övning 3. På hur många sätt kan sju likadana bollar läggas i tre olika lådor (a) Utan inskränkningar? (b) När ingen låda får vara tom? (c) När den första lådan skall innehålla ett jämnt antal bollar? Övning 4. Vad bli resultatet i förra övningen om bollarna är olika? Övning 5. En dominobrickas framsida är delad i två kvadrater som var och en består av ingen, en,...eller sex prickar. Hur många dominobrickor finns det? Övning 6. Hur många termer får man då man utvecklar (x 1 +x x 5 ) n? Övning 7. Hur många ickenegativa heltalslösningar finns det till ekvationen x 1 + x 2 + x 3 +x 4 = 12? Hur många (strikt) positiva? Hur många med x 1 2,x 2 2,x 3 4,x 4 0? Övning 8. Vretblad-Ekstig 5.60 Övning 9. Vretblad-Ekstig 5.62 Övning 10. Vretblad-Ekstig 5.63 Övning 11. Gruppövning 2, Uppgift 4c)

11 Förslag till svar: (a) 36 (b) 15 (c) (a) 2187 (b) 1806 (c) ( n ) 7. (a) 455 (b) 165 (c) 35 4

12 L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 5 Inklusion-exklusion Övningar 1. Vretblad-Ekstig I en grupp av studenter äger 73 en dator 125 en stereo och 41 har båda delarna. Hur många har minst en dator eller en stereo? 3. Vretblad-Ekstig Vretblad-Ekstig 1.69 Svaret på Övning 4 är (#(A B C) = #A + #B + #C ) #(A B) + #(A C) + #(B C) + #(A B C). För att visa att denna formel stämmer kan man resonera på följande sätt. Det gäller att visa att varje element i A B C kommer att räknas precis en gång. Det finns tre typer av element, sådana som a) ligger i exakt en av mängderna, b) ligger i exakt två av mängderna, och c) ligger i alla tre mängderna. A c) b) B C a)

13 För ett element av typ a) gäller att det räknas en gång i #A+#B +#C, men ingen gång i #(A B) + #(A C) + #(B C) och #(A B C). Så totalt räknas elementet = 1 gång. För ett element av typ b) gäller att det räknas två gånger i #A+#B+#C, en gång i #(A B)+#(A C)+#(B C) men ingen gång i #(A B C). Så totalt räknas elementet = 1 gång. För ett element av typ c) gäller att det räknas tre gånger i #A+#B+#C, tre gånger i #(A B) + #(A C) + #(B C) och en gång i #(A B C). Så totalt räknas elementet = 1 gång. Vi skall generalisera denna formel till ett godtyckligt antal mängder. Låt A 1,A 2,...,A n vara n ändliga mängder och låt S k, 1 k n, vara summan av alla k-snitt, dvs. summan av antalet element i alla mängder som kan bildas som skärningen av k stycken av mängderna A 1,A 2,...,A n. Så S 1 = #A 1 + #A #A n, S 2 = #(A 1 A 2 ) + #(A 1 A 3 ) #(A n 1 A n ),. S n = #(A 1 A 2... A n ). Övning 5. Hur många termer är det i S k? Nu gäller följande sats. Sats 1 #(A 1 A 2... A n ) = S 1 S 2 + S ( 1) n+1 S n. Bevis. Detta bevisas på liknande sätt som för tre mängder. Gå gärna först igenom fallet n = 3 i beviset nedan och jämför med beviset för tre mängder. Låt x vara ett element som ligger i exakt m, 1 m n, av mängderna A 1,A 2,...,A n. Då gäller att om k m så kommer x att räknas i ( m k) av termerna i S k. (Varför då? Jämför Övning 5.) Om k > m räknas x inte alls i S k. Så totalt kommer x att räknas ( ) ( ) m m a x = ( ) ( ) m m... + ( 1) m+1 3 m gånger i S 1 S 2 + S ( 1) n+1 S n. Enligt binomialsatsen gäller att ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m 0 = (1 1) m = ( 1) m m ( ) {( ) ( ) ( ) ( )} m m m m m = ( 1) m+1 = 1 a x m vilket ger a x = 1. 2

14 Övningar (forts) 6. Hur många permutationer av siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 börjar med en nia eller slutar med en tvåa (eller både och)? 7. (a) Hur många heltal mellan 1 och 1000 är inte delbara med 7? Med 11? Med 13? (b) Hur många heltal mellan 1 och 1000 är relativt prima med 77? (c) Hur många heltal mellan 1 och 1000 är relativt prima med 1001? 8. Hur många heltalslösningar till ekvationen uppfyller 0 x i 7 för alla i? x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = (a) Hur många följder x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 där varje x i är antingen 0, 1 eller 2 finns det? (b) Hur många av dessa innehåller inte någon nolla? (c) Hur många av dessa innehåller minst en nolla, en etta och en tvåa? Förslag till svar: ( ) n k (a) 858, 910 resp. 924 (b) 780 (c) (a) 243 (b) 32 (c) 150 3