Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik

Transkript

1 Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Summaregeln Om och B är disjunkta mängder så B = + B, ty innehåller inga upprepningar Produktregeln Om och B är disjunkta mängder så är B = B Exempel: Om det finns n 1 sorters soppa och n 2 sorters sallad, så finns det n 1 + n 2 sätt att beställa en soppa eller en sallad, och n 1 n 2 sätt att beställa en soppa och en sallad. Exempel: Satsetiketter i BSIC kan bestå av antingen en bokstav, eller en bokstav följd av en siffra. Bestäm antalet möjliga etiketter. Dela upp mängden etiketter E i två disjunkta delmängder: B, etiketter bestående av en bokstav S, etiketter bestående av en bokstav följd av en siffra E = B S. Summaregeln ger E, givet B och S. Produktregeln ger S = (antal bokstäver)(antal siffror) = = 280, så E = = 308. Inkluderings-exkluderingsprincipen (PIE) Om och B inte är disjunkta: B = + B B Räkna element i snittet av två mängder bara en gång. Exempel: Räkna antalet bitsträngar av längd 4 som börjar med 1 eller slutar med 00. Kan uttryckas som unionen av mängderna: S, strängar som börjar med 1 O, strängar som slutar med 00 Dessa delmängder överlappar dock. S = 8 (Varför?) O = 4 (Varför?) Enligt PIE är S O = 12 S O. Hur många strängar finns i snittet? Dessa strängar börjar med 1 och slutar med 00: det finns två sådana strängar. Totala antalet strängar är därmed 10. Kontroll: Strängar S: 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 Strängar O: 0000, 0100, 1000, och 1100 förekommer i både O och S 1

2 Fler räkneexempel: ntal (icketomma) bitsträngar av högst längd 4. Summera antal bitsträngar av längder 1, 2, 3, 4; ger = 30 Mängden S av tresiffrorstal som börjar eller slutar med en jämn siffra. ntag 0 är jämnt och att ett tal inte kan börja med 0. S är unionen av mängder B och C: B, tresiffrorstal som börjar med 2, 4, 6 eller 8. B = (Varför?) C, tresiffrorstal som slutar med 0, 2, 4, 6 eller 8, och inte börjar med 0. C = (Varför?) B C = (Varför?) PIE ger S = = 650. Duvhålsprincipen Om k + 1 eller fler duvor placeras i k hål så måste minst ett hål innehålla två eller fler duvor. Exempel: I en grupp av 367 personer har minst två samma födelsedag, då det finns 366 olika födelsedagar Exempel: Givet n + 1 heltal måste det finnas två tal,a och b, vars differens är en multipel av n. Ty a och b har då samma rest r efter division med n: (a b) mod n = 0 medför a mod n = b mod n. Dvs, eftersom det bara finns n möjliga rester följer påståendet. Exempel: Givet fem punkter i en kvadrat med sidan 1. Då måste minst två punkter vara inom avstånd 2/2 från varandra. Ty dela upp kvadraten i fyra delkvadrater med sidan 1/2. Någon delkvadrat måste innehålla minst två punkter, och största avståndet inom en delkvadrat ges av diagonalens längd, (1/2) 2 + (1/2) 2 = 2/2 Exempel: Varje punkt i planet färgas antingen röd eller blå. Då gäller att oavsett hur färgningen görs måste det finnas två punkter på exakt en meters avstånd som har samma färg. Ty betrakta hörnen i en liksidig triangel med sidan en meter. Det finns tre triangelhörn men bara två färger. lltså måste två hörn ha samma färg. Generaliserad duvhålsprincip Om n duvor placeras i k hål så måste minst ett hål innehålla minst n/k duvor. Exempel: Bland 100 personer finns minst 100/12 = 9 som är födda samma månad. Vi skall nu använda duvhålsprincipen för att visa en egenskap hos delsekvenser. ntag a 1, a 2,..., a n är en sekvens av reella tal. En delsekvens är a i1,a i2,...,a im, där 1 i 1 < i 2 < < i m n (en delmängd av ursprungliga sekvensen). En sekvens är strängt växande om varje term är större än föregående term och strängt avtagande om varje term är mindre än föregående term. 2

3 Varje sekvens av n distinkta reella tal innehåller en delsekvens av längd n + 1 som är antingen strängt växande eller strängt avtagande Exempel: Sekvensen 8, 11, 9, 1, 4 har 5 = termer. Det finns två avtagande delsekvenser av längd 3, nämligen 11, 9, 1 och 11, 9, 4. Kan förstås finnas avtagande/växande delsekvenser som är längre än n + 1. Bevis av teoremet: Låt a 1, a 2,..., a n 2 +1 vara en sekvens av distinkta reella tal. ssociera ett ordnat par till varje term i sekvensen: i k,d k a k, där i k är längden av längsta växande delsekvensen som börjar i a k, och d k längden av längsta avtagande delsekvensen som börjar i a k. ntag att det inte finns växande eller avtagande delsekvenser av längd n + 1 (Motsatsbevis). Då är i k och d k positiva heltal n, för k = 1,2,... n Enligt produktregeln finns det n 2 olika i k,d k. Enligt duvhålsprincipen är två av dessan ordnade par samma. Dvs, det finns a s och a t, med s < t, så att i s = i t och d s = d t. Vi visar nu att antagandet är omöjligt. Eftersom termerna i sekvensen är distinkta är antingen a s < a t eller a s > a t. Om a s < a t så (pga i s = i t ) kan en växande delsekvens av längd i t + 1 bildas med a s + delsekvens från a t. En motsägelse! nalogt, om a s > a t så måsted s vara större än d t, vilket också är en motsägelse. Kombinatorik Kombinatorik är studiet av beräkning av antal kombinationer och konfigurationer. Exempel: Betrakta följande figur B B R R R K K K K K D D D D D B B B R R Hur många sätt finns det att få fram BRKDBR genom att gå mellan angränsande bokstäver? Dvs, hur många vägar (med 11 bokstäver) från översta till nedersta? Mer om detta problem på nästa föreläsning. 3

4 Givet n objekt i en urna, välj r objekt ett i taget. Efter varje uttag kan vi antingen: lägga tillbaka objektet (urval med återläggning) eller inte (urval utan återläggning) Hur många olika uttagssekvenser av de r objekten finns det? Har ordningen mellan objekten någon betydelse? Permutationer: urval utan återläggning där ordningen har betydelse. Två olika ordningar vid urvalet anger två permutationer: Kan välja första objektet på n sätt Kan välja andra objektet på n 1 sätt... Kan välja r:te objektet på (n r + 1) sätt Enligt produktregeln är antalet permutationer: P(n,r) = n(n 1) (n r + 1) = n! (n r)! Exempel: Det finns 6 permutationer av a, b, c, nämligen abc, acb, bac, bca, cab, cba. Exempel: Om vi skall välja två objekt fås också 6 permutationer (med r = 2): ab, ba, ac, ca, bc, cb. Exempel: och B är ändliga mängder, B. Räkna antalet injektioner från till B. Notera att det inte finns några injektioner om > B (Varför?) Det finns P( B, ) injektioner. Vi kan ordna elementen i som a 1,a 2,.... ntag urnan innehåller mängden B: Det finns B sätt att välja bilden av a 1 B 1 sätt att välja bilden av a 2 etc Urvalet är utan återläggning, annars erhålls ingen injektion. Kombinationer: urval utan återläggning där ordningen är betydelselös. Är ekvivalent med att välja delmängder av storlek r från en mängd av storlek n. Dividera bort antalet permutationer av r objekt från mängden av permutationer av n objekt, tagna r i taget. ntal kombinationer: n över r = binomialkoefficient C(n,r) = ( ) n = P(n,r) r P(r,r) = n! (n r)!r! 4

5 Exempel: Finns tre kombinationer av två objekt av a, b, c, nämligen {a, b}, {a, c}, {c, b}. Exempel: Hur många delmängder av storlek r kan konstrueras från en mängd av n objekt? Svaret är C(n,r), eftersom då vi valt objekten (utan återläggning) har ordningen ingen betydelse. Följdresultat: n C(n,r) = 2 n Ty antalet delmängder av en mängd av storlek n är kardinaliteten av potensmängden. r=0 Fråga: På hur många sätt kan vi bilda en nämnd (av någon storlek) bland n personer? Svar 1: För 0 r n finns ( n) ( r nämnder av storlek r, så totalt finns n r 0 r) nämnder. Svar 2: För varje person finns två möjligheter: vara med i nämnden eller inte. Det ger 2 n möjliga nämnder. Exempel: Singla slant n gånger. På hur många olika sätt kan man få: Ingen krona? = C(n, 0) Exakt en krona? Exakt r kronor? Minst två kronor? = C(n,1) = C(n,r) = 2 n C(n,0) C(n,1) Exempel: Hur många bitsträngar av längd fyra har exakt två ettor (och därmed exakt två nollor)? Vi kan lösa problemet genom att bestämma positionerna av de två ettorna i strängen: placera första ettan: fyra möjligheter placera andra ettan: tre möjligheter Så antalet möjligheter verkar vara 4 3 = 12 Men i själva verket finns bara 6 möjligheter: 0011, 0101, 1001, 0110, 1010, Var är felet? Svaret 12 är korrekt om vi hade två olika objekt att placera i strängen. Men här är båda objekten ettor, så ordningen har ingen betydelse Dividera med antalet ordningar: 2! = 2. Därmed fås svaret 12/2 = 6. Exempel: Hur många bitsträngar av längd fyra har minst två ettor? ntal strängar som har: inga ettor = 1, en etta = 4. Därmed har = 11 minst två ettor. Om universalmängden är bitsträngar av längd fyra, vad är komplementet av denna mängd? Vad är dess kardinalitet? 5