Finaltävling i Uppsala den 24 november 2007
|
|
- Anna Martinsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 SKOLORNS MTMTIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet inaltävling i Uppsala den 4 november 007 örslag till lösningar Problem 1 Lös ekvationssystemet { xyzu x 3 = 9 x + yz = 3 u i positiva heltal x, y, z och u Lösning: ftersom x är en delare till VL i ekv 1, finns bara möjligheterna x = 1, x = 3 och x = 9 rån ekv får vi yz = 3 u x, vilket visar att u är ett jämnt heltal Insättning i ekv 1 ger x( 3 u x)u x3 = 9 eller allet x = 1: Vi har ekvationen ( 3 u x)u = x + 9 x ( 3 u 1)u = 10 e enda jämna delarna till 10 är och 10, men för u = är V L < 10, för u = 10 är V L > 10 allet x = 3: Vi får ekvationen ( 3 u 3)u = 1 Jämna delare till 1 är, 4, 6 och 1; u = ger V L = 0, u = 4 är en lösning, medan u = 6 och u = 1 ger V L-värden som överstiger 1 allet x = 9: kvationen blir ( 3 u 9)u = 8 nda jämna delare till 8 är och 8; u = gör V L negativt och u = 8 ger V L > 8 Sammanfattningsvis får vi x = 3, u = 4, som insatta i ekv ger yz = 3 med lösningarna (y, z) = (1, 3) och (y, z) = (3, 1) Svar: (x, y, z, u) = (3, 1, 3, 4) och (3, 3, 1, 4) Problem tt antal blommor fördelas mellan n personer så att den förste av dem, ndreas, får en blomma, den andre får två blommor, den tredje får tre blommor osv, till person nr n som får n blommor ndreas går sedan runt och skakar hand en gång med var och en av de övriga, i godtycklig ordning ärvid får han en blomma från var och en som han hälsar på och som har fler blommor än han själv i det ögonblick de skakar hand Vilket är det minsta antalet blommor som ndreas kan ha när han har skakat hand med alla?
2 Lösning ntalet sätt att ordna dem som skakar hand med ndreas är ändligt, så det måste finnas ett minsta möjliga antal blommor Låt oss numrera personerna från till n i den ordning som de skakar hand med ndreas och låt k, k 3,, k n vara den permutation (ordning) av talen, 3,, n som motsvarar respektive antal blommor i startläget (ndreas möter alltså först person nr, som från början är försedd med k blommor, därefter person nr 3, som i utgångsläget har k 3 blommor osv) Låt N vara antalet blommor som ndreas har när han har skakat hand med alla ntag att det finns ett index i sådant att k i < k i+1 tt sådant index existerar för varje permutation skild från n, n 1,, 3, Person nr i har alltså a = k i blommor från början, medan person nr i + 1 har b = k i+1 blommor, där a < b Vi ska visa att man genom att låta personerna i och i + 1 byta antalet blommor, dvs så att person nr i har b blommor och person nr i+1 har a blommor, antingen lämnar N oförändrat eller minskar det Låt m vara det antal blommor ndreas har när han kommer fram till person nr i Om m < a 1 kommer ndreas att få en blomma av såväl nr i som av nr i + 1 etta gäller även om vi låter antalet blommor för de båda byta plats Om m = a 1 kommer ndreas att få blommor av båda, men om nr i i stället har b blommor och nr i + 1 har a blommor kommer ndreas bara att få en blomma (vi har då m < b men m + 1 = a), dvs en minskning med en blomma Om a m < b får ndreas inte någon blomma av nr i, men däremot en av nr i + 1 Om de båda personerna byter antal blommor med varandra kommer ndreas att få en blomma av den förste men inte av den andre Totala antalet blommor som ndreas får är alltså oförändrat Om slutligen m b kommer ingen av de båda att ge ndreas någon blomma; detta gäller även om antalet blommor skiftar mellan de båda Sammanfattningsvis kommer ett skifte av blomantal mellan personerna i och i + 1 antingen hålla N-värdet oförändrat eller minska det med 1 etta betyder att om vi upprepade gånger låter blomantalen byta plats för två personer i följd, där den senare har fler blommor än den förre, kommer N att minska eller ligga konstant Om vi fortsätter med att skifta blomantal på detta sätt kommer vi efter ett ändligt antal steg nå den permutation som innebär att talen, 3, n bildar en monotont avtagande följd ( slutföljden ): n, n 1,, 3, ör varje blomantalsbyte kommer nämligen P n = antalet par av personer i, j, med i < j, för vilka k(i) < k(j) (vi uppdaterar permutationen k, k 3,, k n i varje steg), att minska med 1 i varje steg tills P n antar värdet 0, vilket gäller om och endast om permutationen är lika med slutföljden Oavsett vilken permutation vi startar med kommer proceduren att leda oss till slutföljden, dvs värdet på N för denna följd är mindre eller lika med värdet för varje annan följd ör slutföljden gäller att om n är udda får ndreas (n 1)/ blommor, vilket ger N = (n+1)/; om n är jämnt får han (n+1)/, dvs N = (n+)/ blommor nm ftersom inte varje steg i proceduren ger en minskning av N, kan minimum ha antagits innan slutföljden har nåtts Som exempel kan nämnas att om ndreas skakar hand med fem andra, som i tur och ordning har 6, 5, 4, 3, blommor får ndreas sammanlagt 4 blommor Samma antal får han exempelvis för ordningen 4, 5, 6, 3, Svar: (n + 1)/ om n är udda, (n + )/ om n är jämnt
3 Problem 3 Låt α, β, γ vara vinklarna i en triangel Om a, b, c är triangelns sidlängder och R är den omskrivna cirkelns radie, visa att cot α + cot β + cot γ = R(a + b + c ) ( cos x) cot x = sin x Lösning nligt sinussatsen använd på triangeln är (a kan väljas att stå mot α osv) a sin α = Vänsterledet i uppgiften kan nu skrivas b sin β = c sin γ = R cos α sin α + cos β sin β + cos γ sin γ = R( cos α + cos β + cos γ ) a b c = R ( ) bc cos α + ac cos β + ab cos γ nligt cosinussatsen använd på triangeln är a = b + c bc cos α, b = a + c ac cos β och c = a + b ab cos γ, varför vänsterledet övergår i Likheten är därmed visad R ( (b + c a ) + (a + c b ) + (a + b c ) ) = R(a + b + c ) Problem 4 På randen till en cirkelskiva finns ett antal bågar Varje par av bågar har minst en punkt gemensam Visa att man på cirkeln kan välja två diametralt motstående punkter sådana att varje båge innehåller minst en av dessa två punkter Lösning ör en godtycklig punkt P med antipoden (dvs den diametralt motstående punkten) Q, gäller att bågar som är 180 automatiskt innehåller någon av dessa punkter Låt oss därför anta att alla bågar är < 180 Välj en punkt 1 som tillhör minst en av bågarna och låt vara punktens antipod Mängden av bågar kan nu delas in i tre disjunkta delmängder: M 1, M och M 3, där M 1 är mängden av alla bågar som innehåller punkten 1, M är mängden av alla bågar som innehåller punkten och M 3 är mängden av alla bågar som varken innehåller 1 eller e båda punkterna delar upp cirkeln i två halvcirklar Vi inser att eventuella bågar i M 3 endast kan finnas i den ena av dessa halvcirklar, eftersom bågar från skilda halvcirklar inte kan ha någon punkt gemensam Låt S vara den halvcirkel som innehåller eventuella bågar från mängden M 3 och låt S vara den andra halvcirkeln Om mängden M 3 är tom, kan 1 och väljas som punkterna 1 och respektive etrakta mängden av bågar i M 1 (mängden är ju icke tom) Låt 1 vara den båge i M 1 för vilken S är kortast och antag att 1 S = bågen 1 1 Vi ska visa att 1 och dess antipod uppfyller uppgiftens villkor Valet av punkten 1 gör det klart att varje båge från M 1 innehåller denna punkt Vidare måste varje båge i mängden M 3 ha en icke tom skärning med 1, och följaktligen tillhör 1 varje sådan båge Kvar har vi bågarna i mängden M ntag att bågen M Om 1 innehåller 1 så är vi klara nnars måste 1 innehålla punkter på halvcirkeln och eftersom 1 < 180 kan 1 inte innehålla punkten, dvs bågen måste innehålla denna punkt ärmed är påståendet visat
4 Problem 5 nna och engt spelar ett spel där man lägger dominobrickor (av storlek 1) på bräden som består av n 1 rutor rickorna måste placeras så att de täcker exakt två rutor Spelarna turas om att lägga var sin bricka och den som lägger den sista brickan vinner e spelar en gång för varje n, där n =, 3,, 007 Visa att nna vinner minst 1505 av gångerna om hon alltid börjar och båda spelar optimalt, dvs om de i varje drag gör sitt bästa för att vinna Lösning Om n är jämnt kan nna alltid se till att hon vinner Hon börjar lämpligen med att placera sin första bricka i mitten, dvs så att de täcker rutorna n och n + 1 rädet delas då i två lika delar, vardera med n 1 rutor ör varje drag som engt gör genom att lägga sin bricka över två rutor på den ena hälften av brädet, kan nna alltid kopiera draget på den andra hälften och där placera sin bricka över motsvarande rutor När engt har gjort sitt sista möjliga drag, har nna sin kopieringsmöjlighet kvar och kan lägga den sista brickan Om n är udda kan engt i vissa fall ordna en vinst Om n = 3 vinner alltid nna, eftersom bara en bricka kan läggas ut, men om n = 5 vinner engt et spelar nämligen ingen roll var nna placerar sin första bricka; det kommer sedan alltid att finnas två intilliggande rutor över vilka engt kan placera nästa bricka och avsluta spelet På ett bräde för vilket n = n 0 är udda och där engt vinner om de båda spelar på bästa sätt, kan nna alltid ordna en vinst på brädet med n = n 0 + rutor Om nna placerar sin första bricka över rutorna 1 och, återstår ett reducerat bräde med n 0 rutor på vilket engt sätter sin första bricka och således förlorar om båda spelar optimalt Sammanfattningsvis noterar vi att nna alltid vinner om hon spelar på ett bräde där n är ett jämnt tal et finns 006/ = 1003 sådana bräden ntag att engt vinner på brädena som svarar mot de udda talen n 1, n,, n m Här måste det alltså gälla att n i+1 n i 4 engt kan alltså på sin höjd vinna vartannat av spelen på bräden för vilka n är udda ftersom det totalt är 1003 bräden svarande mot udda n-värden, dvs 100 bräden räknat från n = 5, kan engt i bästa fall vinna 501 av dem, vilket betyder att nna vinner åtminstone de 501 övriga Vi har redan konstaterat att nna vinner när n = 3 Hon vinner alltså för samtliga 1003 jämna n-värden och för minst = 50 udda n-värden vilket totalt ger minst 1505 n-värden Problem 6 I planet är en triangel given estäm alla punkter P i planet sådana att varje linje genom P som delar triangeln i två delar med samma area måste gå genom ett av triangelns hörn Lösning Varje linje som går genom något av triangelhörnen och delar triangelarean i två lika delar, måste passera genom mittpunkten av den sida som står mot hörnet et räcker följaktligen att studera punkter P som ligger på någon av medianerna eller deras förlängningar e tre medianerna passerar genom en och samma punkt M en delar varje median i förhållandet :1 från hörnet räknat et betyder att P antingen sammanfaller med M och ligger på alla tre medianerna eller ligger på exakt en av medianerna etrakta medianen, på vilken punkterna J, M och K är markerade: J är mittpunkten på, M är skärningspunkten mellan de tre medianerna, dvs M = 3, medan K = 1 (se figur 1) et sistnämnda sambandet innebär att en linje genom K och som är parallell med sidan delar triangelarean mitt itu
5 m = medianens längd m/ igur 1 J M K (1 1/ )m 0, 93m ör punkter P på medianen eller dess förlängning gäller det att avgöra om det finns någon linje som passerar genom P och delar triangelarean mitt itu, men som inte passerar genom något av hörnen Vi ska visa att en sådan linje existerar för alla P mellan J och K, utom för M och den första ändpunkten, J ör den andra ändpunkten, K, existerar dock en sådan linje Linjer som passerar punkterna J, M och de punkter som inte tillhör sträckan JK måste följaktligen passera något av triangelns hörn för att arean ska kunna halveras (0) Vi kommer att få användning av följande resultat Låt P vara en godtycklig punkt på medianen och som inte sammanfaller med någon av ändpunkterna rag sträckan GH genom P, med G på och H på, parallell med sidan rag sträckan RS genom P, med R G på och S H på (se figur ) Vi ska visa att triangeln RS har större area än triangeln GH et räcker att behandla fallet när R ligger mellan G och Låt oss förlänga sträckan RS över S till punkten T, så att sträckan T H är parallell med sträckan GR Trianglarna RP G och T P H blir då kongruenta, eftersom sträckan GH delas mitt itu av medianen och vinklarna är parvis lika Vi observerar att SHT = ftersom triangeln T P H innesluter triangeln SP H och trianglarna inte kan vara identiska, är area( RP G) = area( T P H) > area( SP H), varav följer att area( RS) > area( GH) R G P S T H igur Låt oss nu betrakta de olika fallen av lägen för punkten P 1) Om P sammanfaller med eller, alternativt ligger på förlängningen av medianen, är det endast linjen som innehåller medianen som delar arean mitt itu När vi vrider linjen kring P ändras förhållandet mellan triangeldelarnas areor monotont ) ntag att P ligger mellan och J, med exkluderad och J inkluderad rag RS genom P med R på och S på (se figur 3) Triangeln RS kommer då att inneslutas i någon av trianglarna och, men kan inte sammanfalla med någon av dem, varför arean måste vara mindre än 1
6 R S P J igur 3 ntag att R i stället ligger på et räcker att studera fallet när R ligger mellan och Punkten S kommer då att ligga på, mellan och (se figur 4) Låt oss förlänga sträckan RS över S till punkten T, så att sträckan T är parallell med sträckan R Trianglarna P R och P T blir då likformiga, eftersom vinklarna är parvis lika Vi observerar att T S = ftersom sträckan P är lika lång som eller längre än sträckan P, är area( P R) area( P T ) > area( P S), varav följer att area( SR) > area( ), dvs är > 1 T S R P J igur 4 3) Vi betraktar nu fallet P = M (se figur 5) Om P ligger i medianernas skärningspunkt, måste varje linje som delar triangelarean mitt itu passera genom något av triangelhörnen ntag motsatsen, dvs att det existerar en linje som delar triangelarean i två lika delar, men inte passerar något av hörnen et räcker att studera fallet när linjen genom P skär sidan i en punkt R mellan och och således sidan i en punkt S mellan och ör att sträckan RS ska dela arean av triangeln mitt itu, måste trianglarna MS och RM ha samma area, eftersom median halverar arean v motsvarande skäl måste trianglarna M R och SM ha samma area etta leder till sambanden (vertikalvinklar u och v enligt figuren) 1 td sin u = 1 et sin u och 1 se sin v = 1 ds sin v, dvs om vinklarna u och v båda är skilda från 0 har vi e = d och e = d: motsägelse Sträckan RS kan följaktligen inte dela triangelarean mitt itu Varje linje genom M delar upp triangeln i två delar, en deltriangel och en fyrhörning, där deltriangelns area alltid är mindre än fyrhörningens area, utom i de tre fall när linjen innehåller en median till triangeln ntag att det finns en deltriangel med area > 1 ntag att denna deltriangel innehåller hörnet Men den deltriangel som avskärs av en linje genom M parallell med har arean ( 3 ) = 4 9 < 1 v kontinuitetsskäl finns det då en linje genom M vilken skär av en triangel som innehåller och som delar arean mitt itu: motsägelse
7 t d u v S s M s v u e t igur 5 R 4) ntag nu att P ligger mellan K och (se figur 1) Vi vet att den linje genom K som är parallell med sidan delar triangelarean mitt itu, så låt oss anta att P K Varje linje genom P som skär i en punkt R och sidan i en punkt S avskär en deltriangel, vars area är minimal om RS är parallell med enligt resultat 0) (se figur ) Men parallelltriangeln har en area som är > 1, dvs arean av varje deltriangel RS är därför > 1 Om R i stället ligger på sidan och S på någon av de andra sidorna, kommer sträckan RS att avskära en deltriangel som innehåller något av hörnen och Ingen sådan triangel kommer att innehålla punkten M nligt 3) måste arean för varje sådan deltriangel vara < 1 ndast linjen som innehåller kan därför halvera arean 5) ntag nu att P ligger mellan J och M (se figur 6) etrakta sträckan RS genom P, där R är en punkt på och S en punkt på Låt vinkeln mellan medianen och sträckan RS vara u Vi vet att P är längre än P Genom att göra vinkeln u tillräckligt liten kan vi se till att också SP är längre än P R rean av triangeln RP är då lika med 1 RP P sin u, vilket är mindre än 1 P P S sin u, dvs mindre än arean av triangeln P S et innebär i sin tur att triangeln SR har mindre area än triangeln, dvs är < 1 Om vi nu flyttar R längs R tills R sammanfaller med hörnet och samtidigt flyttar S på sidan så att RS passerar genom P kommer den så avskurna triangeln att innehålla triangeln, vilket betyder att den nu avskurna triangeln har en area som är > 1, varför det av kontinuitetsskäl måste finnas ett mellanliggande läge för vilket arean halveras S igur 6 J P M K R 6) Om slutligen P ligger mellan M och K kan vi använda ett kontinuitetsresonemang liknande det i 5) (läget för punkten P i figur 6 blir alltså nedanför M) Om sträckan genom P, med ändpunkter R och S, är parallell med sidan, är arean av triangeln RS mindre än 1 Om vi därefter flyttar R längs tills R sammanfaller med och S sålunda rör sig längs, kommer triangeln RS att innehålla triangeln och vi finner att triangeln RS i sitt nya läge har en area som är > 1 öljaktligen måste det finnas ett mellanliggande läge för vilket triangelarean halveras
4-6 Trianglar Namn:..
4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?
Läs merKonstruktioner. 1 Att dela en sträcka i två lika delar. I Euklidisk geometri. Johan Wild 2010-01-18. Sträcka AB skall delas i två lika delar.
Konstruktioner I uklidisk geometri Johan Wild 2010-01-18 c Johan Wild johan.wild@europaskolan.se Får gärna användas i undervisning, kontakta i så fall författaren. 1 tt dela en sträcka i två lika delar
Läs merTräning i bevisföring
KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar
Läs merFöreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik
Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Summaregeln Om och B är disjunkta mängder så B = + B, ty innehåller inga upprepningar Produktregeln Om och B är disjunkta mängder så är B = B Exempel:
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b
Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet
Läs merKapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1
Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen
Läs merLathund, procent med bråk, åk 8
Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform
Läs merPesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola.
111a Geometri med snöre Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola. Areabegreppet När elever får frågan vad area betyder ges mestadels svar som antyder hur man
Läs merSnabbslumpade uppgifter från flera moment.
Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr
Läs merMöbiustransformationer.
224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3
Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket
Läs merVolymer av n dimensionella klot
252 Volymer av n dimensionella klot Mikael Passare Stockholms universitet Ett klot med radien r är mängden av punkter vars avstånd till en given punkt (medelpunkten) är högst r. Låt oss skriva B 3 (r)
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var
Läs merI den här delen används inte räknare. Motivera alltid din slutsats med matematiska uttryck, figurer, förklaring el.dyl.
DEL 1 Tid 30 min Poängantal 20 I den här delen används inte räknare. Motivera alltid din slutsats med matematiska uttryck, figurer, förklaring el.dyl. 1. Vilket är det största heltalet, som uppfyller följande
Läs mera n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen
Läs merExempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1
Exempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1 Diskret matematik 1. Givet är de 7 bokstäverna i ordet APPARAT. Hur många olika ord (= bokstavspermutationer) kan man bilda av dem med (a) 7 bokstäver (b)
Läs mer3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.
Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1
Läs merÖvningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri
Stockholms Tekniska Gmnasium --9 Övningshäfte Algebra, ekvationssstem och geometri Nivå: rätt svårt Fråga : f är ett polnom. Beräkna värdet av f, f och fπ Fråga : Ingångslönen på företaget Börjes Gurkinläggning
Läs merVi skall skriva uppsats
Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som
Läs merModul 6: Integraler och tillämpningar
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas
Läs merRepetition av cosinus och sinus
Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det
Läs merPartnerskapsförord. giftorättsgods görs till enskild egendom 1, 2. Parter 3. Partnerskapsförordets innehåll: 4
Partnerskapsförord giftorättsgods görs till enskild egendom 1, 2 Parter 3 Namn Telefon Adress Namn Telefon Adress Partnerskapsförordets innehåll: 4 Vi skall ingå registrerat partnerskap har ingått registrerat
Läs merAlgebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument
Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12
Läs merSammanfattning på lättläst svenska
Sammanfattning på lättläst svenska Utredningen skulle utreda och lämna förslag i vissa frågor som handlar om svenskt medborgarskap. Svenskt medborgarskap i dag Vissa personer blir svenska medborgare när
Läs merKryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X 2010-03-19 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas
Läs merHa det kul med att förmedla och utveckla ett knepigt område!
Kul med pizzabitar Första gången eleverna får materialet i handen bör dem få sin egen tid till att undersöka det på det viset blir dem bekanta med dess olika delar. Det kan också vara en god idé att låta
Läs merÖvningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05
Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05 Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik,
Läs merManual för BPSD registret. Version 6 / 2013 06 17
Manual för BPSD registret Version 6 / 2013 06 17 Logga in Logga in till registret överst till höger på hemsidan. (Observera att du hittar testdatabasen längre ner på hemsidan) Fyll i ditt personliga användarnamn
Läs merSnapphanalegen. Firekángabogena. Spelregler. (4 spelare)
Snapphanalegen Firekángabogena Spelregler 1 800 (4 spelare) 800 är ett spel med anor från 1400-talet. Spelet ställer stora krav på spelarnas skicklighet. Fyra deltagare spelar ihop parvis. Spelet cirkulerar
Läs mer3. Olle skriver ned ett visst antal heltal mellan 10 och 25. Talens medelvärde är 18. Hur många är talen? (1) Medelvärdet av de tre första talen som O
2 1. Familjen Berg, som består av två vuxna och tre barn, har beställt en resa till Cypern. Barnen är 1, 7 och 10 år gamla. Med barnrabatter kostar hela familjens resa 18 000 kr. Hur mycket kostar resan
Läs merL(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1
L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1 Lisa och Pelle leker med svarta och vita byggklossar. Deras pedagogiska föräldrar vill att de lär sig matematik samtidigt som de håller på och leker.
Läs merArbeta bäst där du är Dialect Unified Mi
Arbeta bäst där du är Dialect Unified Mi [Skriv sammanfattningen av dokumentet här. Det är vanligtvis en kort sammanfattning av innehållet i dokumentet. Skriv sammanfattningen av dokumentet här. Det är
Läs mer4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?
4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande
Läs merDel 1, trepoängsproblem
Del 1, trepoängsproblem 1 Lisa ska sätta in siffran 3 någonstans i talet 2014 så att hon får ett femsiffrigt tal. Det femsiffriga talet ska bli så litet som möjligt. Var ska hon sätta siffran 3? A: före
Läs merDatorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)
Datorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) Denna datorövning fokuserar på att upptäcka samband mellan två variabler. Det görs genom att rita spridningsdiagram och beräkna korrelationskoefficienter
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merPresentationsövningar
Varje möte då temadialog används bör inledas med en presentationsövning. har flera syften. Både föräldrar och ledare har nytta av att gå igenom samtliga deltagares namn och dessutom få en tydlig bild av
Läs merKängurun Matematikens hopp Benjamin 2006 A: B: C: D: E:
3-poängsproblem : = + + Vilket tal ska frågetecknet ersättas med A: B: C: D: E: : Sex tal står skrivna på korten här intill. Vilket är det minsta tal man kan bilda genom att lägga korten efter varandra
Läs merLösningsförslag till övningsuppgifter, del III
Lösningsförslag till övningsuppgifter, del III Obs! Preliminär version! Ö.. Mängden av kanter med vikt innehåller inga cykler, vilket innebär att det finns ett uppspännande träd som innehåller samtliga
Läs merKängurutävlingen Matematikens hopp 2009 Cadet för gymnasiet för elever på kurs A
Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 2009 Cadet för gymnasiet för elever på kurs A Kängurutävlingen genomförs 9 mars. Om den dagen inte passar kan hela veckan 20 27 mars användas,
Läs merFacit åk 6 Prima Formula
Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 3 Algebra och samband Sidan 95 1 a 12 cm (3 4 cm) b Han vet inte att uttrycket 3s betyder 3 s eller s + s + s 2 a 5x b 6y c 12z 3 a 30 cm (5 6 cm) b 30 cm (6 5 cm) Sidan
Läs merSpelregler. 2-4 deltagare från 10 år. Med hjälp av bokstavsbrickor och god uppfinningsrikedom
Spelregler 2-4 deltagare från 10 år Med hjälp av bokstavsbrickor och god uppfinningsrikedom bildar ni ord kors och tvärs över spelplanen. Prova gärna spelvarianter där ni an vän der pilar och svarta brickor
Läs merEkvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden
Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att
Läs merTillståndsmaskiner. 1 Konvertering mellan Mealy och Moore. Ola Dahl och Mattias Krysander Linköpings tekniska högskola, ISY, Datorteknik 2014-05-08
Tillståndsmaskiner Ola Dahl och Mattias Krysander Linköpings tekniska högskola, ISY, Datorteknik 2014-05-08 Figur 2: En tillståndsgraf av Moore-typ för att markera var tredje etta i en insignalsekvens.
Läs mer2005-01-31. Hävarmen. Peter Kock
2005-01-31 Hävarmen Kurs: WT0010 Peter Kock Handledare: Jan Sandberg Sammanfattning Om man slår upp ordet hävarm i ett lexikon så kan man läsa att hävarm är avståndet mellan kraften och vridningspunkten.
Läs merMycket nöje med ditt Alga-spel!
Tjuv och Polis är ett klassiskt speläventyr för hela familjen. Handlingen utspelar sig på 1940-talet. Spelidén är enkel: En spelar polisens roll. Alla andra är tjuvar. Sedan gäller det att vinna så mycket
Läs merLathund till Annonsportalen
Lathund till Annonsportalen * För uppdrags-/arbetsgivare * www.gu.se/samverkan/annonsportalen/ Snabbvägar: 1. Klicka på För arbetsgivare 2. Sök efter arbetsgivarens namn i sökrutan. a. Om namnet finns
Läs merANVÄNDARHANDLEDNING FÖR
ANVÄNDARHANDLEDNING FÖR TILLSÄTTARE/LAGLEDARE OCH DOMARE Cleverservice ett smart sätt att hantera matcher, domartillsättningar, samt utbetalningar av arvoden 2015 ANVÄNDARHANDLEDNING - CLEVERSERVICE Cleverservice
Läs merHar du förstått? I De här talen är primtal a) 29,49 och 61 b) 97, 83 och 89 c) 0, 2 och 3.
PASS 5. FAKTORISERING AV POLYNOM 5. Nyttan av faktorisering och faktorisering av heltal Har vi nytta av att kunna faktorisera polynom? Ja det har vi. Bra kunskaper i faktorisering av polynom möjliggör
Läs merIndividuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt
Individuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt RPG-spel med JavaScript Författare Robin Bertram Datum 2013 06 10 1 Abstrakt Den här rapporten är en post mortem -rapport som handlar om utvecklandet av ett RPG-spel
Läs merVirkade tofflor. Storlek 35 37 & 38 40. By: Pratamedrut. pratamedrut.se/blog/virkade tofflor 1
Virkade tofflor Storlek 35 37 & 38 40 By: Pratamedrut pratamedrut.se/blog/virkade tofflor 1 Innehåll Lite tips sid 3 Material sid 3 Maskor och förkortningar sid 3 Tillvägagångssätt Sulor sid 4 Skor, nedre
Läs merFöräldrar i Skola24. Schema
Föräldrar i Skola24 Schema Ett textschema kan ses på startsidan om skolan har valt att aktivera funktionen. Passerade lektioner visas i grått, nuvarande eller nästkommande lektion är blåmarkerad och kommande
Läs merHemsida Arbetsrum. Skapa arbetsrumslista
Skapa arbetsrumslista Hemsida Arbetsrum För att kunna skapa en arbetsrumslista så markerar du i navigeringsfönstret där den nya sidan ska ligga. Klicka på menyknappen till höger om sidnamnet och sedan
Läs merNågot om permutationer
105 Något om permutationer Lars Holst KTH, Stockholm 1. Inledning. I många matematiska resonemang måste man räkna antalet fall av olika slag. Den del av matematiken som systematiskt studerar dylikt brukar
Läs merVirkad och stickad kofta "Helga" - mormorsruta på diagonalen. Design: www.stickao virka.se, Marie Grahn Josefsson
Virkad och stickad kofta "Helga" - mormorsruta på diagonalen Design: www.stickao virka.se, Marie Grahn Josefsson Material: Ca 1000 m garn lämpligt för stickor 5-6. Storlek: S (M) L (XL) Modellens övervidd:
Läs merFöreläsning 11: Beräkningsgeometri
DD2458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 11: Beräkningsgeometri Datum: 2007-11-27 Skribent(er): Joel Palmert, Erik Markland, Christian Adåker Föreläsare: Mikael Goldmann I nedanstående
Läs merNämnarens adventskalendern 2007
Nämnarens adventskalendern 2007 1 När det närmar sig jul är det kallt. Då behöver de tre tomtenissarna både halsduk och mössa när de leker i snön. I korgen ligger en röd, en blå och en randig halsduk.
Läs merATT KUNNA TILL. MA1050 Matte Grund. 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1050 Matte Grund 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov G1 Kunna ställa upp och beräkna additions-, subtraktions-, multiplikations- och divisuionsuppgifter
Läs merRiktlinjer - Rekryteringsprocesser inom Föreningen Ekonomerna skall vara genomtänkta och välplanerade i syfte att säkerhetsställa professionalism.
REKRYTERINGSPOLICY Upprättad 2016-06-27 Bakgrund och Syfte Föreningen Ekonomernas verksamhet bygger på ideellt engagemang och innehar flertalet projekt där såväl projektledare som projektgrupp tillsätts
Läs merVÄRDERINGSÖVNINGAR. Vad är Svenskt?
VÄRDERINGSÖVNINGAR Vad är Svenskt? Typ av övning: Avstamp till diskussion. Övningen belyser hur svårt det är att säga vad som är svenskt och att normen vad som anses vara svenskt ändras med tiden och utifrån
Läs merDu ska nu skapa ett litet program som skriver ut Hello World.
Tidigare har vi gjort all programmering av ActionScript 3.0 i tidslinjen i Flash. Från och med nu kommer vi dock att ha minst två olika filer för kommande övningar, minst en AS-fil och en FLA-fil. AS Denna
Läs merRallylydnad Nybörjarklass
Rallylydnad_Mom_Nyborjarklass.doc Remiss på Nya beskrivningar, börjar gälla 2017-01-01 Sida 1 (5) Mom nr Skylt Rallylydnad Nybörjarklass Beskrivning Start Här börjar banan. Startpositionen vid skylten
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs merSammanfatta era aktiviteter och effekten av dem i rutorna under punkt 1 på arbetsbladet.
Guide till arbetsblad för utvecklingsarbete Arbetsbladet är ett verktyg för dig och dina medarbetare/kollegor när ni analyserar resultatet från medarbetarundersökningen. Längst bak finns en bilaga med
Läs merx 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (
Läs merFrågor och svar för föreningar om nya ansökningsregler för aktivitetsbidrag från och med 1 januari 2017
Frågor och svar för föreningar om nya ansökningsregler för aktivitetsbidrag från och med 1 januari 2017 Innehåll Generella frågor... 2 Vad är det som ändras 1 januari 2017?... 2 Vad behöver min förening
Läs merDesign by. Manual Jossan.exe. Manual. till programmet. Jossan.exe. E-post: petter@sarkijarvi.se
Manual till programmet 1 Inledning Programmet är döpt efter Josefine Mattsson och har utvecklats av Josefines pappa Petter Särkijärvi i Pajala. Man kan köra/styra programmet med antingen mus, tangentbord,
Läs merKapitel 10 Rumsdefinition... 3
DDS-CAD Arkitekt 11 Rumsdefinition Kapitel 10 1 Innehåll Sida Kapitel 10 Rumsdefinition... 3 Rektangulära rum... 3 Icke rektangulära rum... 7 Textstorlek och typ... 8 2 Kapitel 10 Rumsdefinition DDS-CAD
Läs merSkriva B gammalt nationellt prov
Skriva B gammalt nationellt prov Skriva B.wma Då fortsätter vi skrivträningen. Detta avsnitt handlar om att anpassa sin text till en särskild situation, en speciell texttyp och särskilda läsare. Nu ska
Läs merSammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna
Sammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna Sammanfattning och genomgång av lektion 1 samt hemläxa. -Hur ta ut en position i sjökortet? Mät med Passaren mellan positionen
Läs merIdag. Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra?
Idag Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra? Vad är ett beroende? Vad gör man om det blivit fel? Vad är en normalform? Hur når man de olika normalformerna? DD1370 (Föreläsning 6) Databasteknik
Läs merBruksanvisning - Spisvakt Prefi 2.3
Bruksanvisning - Spisvakt Prefi 2.3 Försäljning och support Rutab AB Tel: 0380-55 50 60 Lerbacksgatan 2 571 38 Nässjö order@rutab.se http://www.rutab.se Utvecklad och tillverkad av: Cabinova AB Verkstadsvägen
Läs merNATIONELLA MATEMATIKTÄVLING
NATIONELLA MATEMATIKTÄVLING PRATA OM SPELS EN KURS I SANNOLIKHET 1 INLEDNING Sannolikhetskursen består av sju olika steg där det sista steget utgörs av själva tävlingsmomentet. Det är upp till pedagogen
Läs merSEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera
Läs merAvsikt På ett lekfullt sätt färdighetsträna, utveckla elevers känsla för hur vårt talsystem är uppbyggt samt hitta mönster som uppkommer.
Strävorna 4A 100-rutan... förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.... grundläggande
Läs merRegler för Standard/Mini-Sumo under Robot-SM 2011
Regler för Standard/Mini-Sumo under Robot-SM 2011 Sammanfattning av reglerna Riktlinjerna för standard/mini-sumo är grundade på det som kallas för "Sumo, Japansk klass". Tävlingen går helt enkelt ut på
Läs merANVÄND NAVIGATIONEN I CAPITEX SÄLJSTÖD
ANVÄND NAVIGATIONEN I CAPITEX SÄLJSTÖD I Navigationen hittar du genvägar till funktioner i programmet. För att utnyttja detta på bästa sätt kan du anpassa Navigationen så att det passar ditt sätt att arbeta.
Läs merAnna Kinberg Batra Inledningsanförande 15 oktober 2015
Anna Kinberg Batra Inledningsanförande 15 oktober 2015 Det talade ordet gäller Det är höst i ett Sverige som börjar tvivla på framtiden. Ett växande utanförskap där en av sju fastnar utanför arbetsmarknaden.
Läs merSärskilt stöd i grundskolan
Enheten för utbildningsstatistik 15-1-8 1 (1) Särskilt stöd i grundskolan I den här promemorian beskrivs Skolverkets statistik om särskilt stöd i grundskolan läsåret 1/15. Sedan hösten 1 publicerar Skolverket
Läs merFacit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan.
Detta häfte innehåller uppgifter från fyra olika områden inom matematiken. Meningen är att de ska tjäna som en självtest inför gymnasiet. Klarar du dessa uppgifter så är du väl förberedd inför gymnasiestudier
Läs merHur du arbetar med VFU-portfölj i Mondo. en lathund för student
Hur du arbetar med VFU-portfölj i Mondo en lathund för student Du skapar din VFU-portfölj På ingångssidan mondo.su.se ligger i högerspalten, innan du loggar in, en länk till en manual för hur du skapar
Läs merELEV- HANDLEDNING (Ansökan via webben) www.orebro.se/gymnasieantagningen
ELEV- HANDLEDNING (Ansökan via webben) www.orebro.se/gymnasieantagningen Gymnasieantagningen i Örebro län På Gymnasieantagningens hemsida www.orebro.se/gymnasieantagningen hittar du information om vad
Läs merOmvandla Vinklar. 1 Mattematiskt Tankesätt
Omvandla Vinklar 1 Mattematiskt Tankesätt (Kan användas till mer än bara vinklar) 2 Omvandla med hjälp av Huvudräkning (Snabbmetod i slutet av punkt 2) 3 Omvandla med Miniräknare (Casio) Läs denna Först
Läs merD A B A D B B D. Trepoängsproblem. Kängurutävlingen 2012 Benjamin
Kängurutävlingen enjamin Trepoängsproblem. Skrivtavlan i klassrummet är 6 meter bred. Mittdelen är m bred. De båda yttre delarna är lika breda. Hur bred är den högra delen? A: m :,5 m C:,5 m D:,75 m E:
Läs merKängurun Matematikens hopp
Kängurun Matematikens hopp Student 2012 Här följer svar och lösningar, samt rättningsmall och redovisningsblanketter. Vi ger förslag till lösningsmetod. Bland eleverna i klassen finns säkert andra lösningsmetoder
Läs merSkapa en rapport med snygg formatering, rubriker, sidnummer och innehållsförteckning
Skapa en rapport med snygg formatering, rubriker, sidnummer och sförteckning MS Office Word 2010 Precis som med målning och tapetsering blir jobbet med rapportskrivning både bra och roligt om man gjort
Läs merKontrollskrivning i Linjär algebra 2014 10 30, 14 18.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje rätt
Läs merLaganmälan & Laghantering
203 Svenska Motorcykel- och Snöskoterförbundet Box 234 600 02 NORRKÖPING Tel. 0-23 0 80 www.svemo.se Laganmälan & Laghantering [En enkel guide för hur du anmäler ett lag i SVEMO TA.] Innehåll Innehåll...
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs merStart. Mål. Rallylydnad Nybörjarklass. Mom nr Skylt Beskrivning
Svenska Brukshundkl ubben Rallylydnad_Mom_Nyborjarklass.doc Sida 1 (5) Rallylydnad Nybörjarklass Mom nr Skylt Beskrivning Start Här börjar banan. Startpositionen vid skylten är att föraren står och hunden
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Population Punktskattning och kondensintervall Vi har en population vars någon mätbar egenskap X vi är intresserade
Läs merLaborationspecifikation
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistisk Statistik för tekniska datavetare 5 poäng Per Arnqvist 2007-05-03 Laborationspecifikation Redovisning Ni får gärna jobba parvis och
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merManual för Min sida 1/9. 2011-05-26 rev 2011-09-02
1/9 2011-05-26 rev 2011-09-02 Manual för Min sida Introduktion... 2 Hur länge finns Min sida kvar?... 2 Vad kan jag publicera på Min sida?... 2 Inloggning... 2 Redigera personliga uppgifter... 3 Redigera
Läs merAdministration Excelimport
Administration Excelimport För att importera medlemmar till registret så laddar man först ner mallen för importfil, fyller i uppgifterna och laddar sedan upp filen genom att klicka på + Importera fil.
Läs merHandledning för digitala verktyg Talsyntes och rättstavningsprogram. Vital, StavaRex och SpellRight
Handledning för digitala verktyg Talsyntes och rättstavningsprogram Vital, StavaRex och SpellRight Elevens namn:.. Skola: Datum:.. Varför behövs en handledning? Denna handledning är tänkt att användas
Läs merKängurutävlingen Matematikens hopp 2009 Cadet för elever i åk 8 och 9
Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 2009 Cadet för elever i åk 8 och 9 Kängurutävlingen genomförs 9 mars. Om den dagen inte passar kan hela veckan 20 27 mars användas, däremot
Läs merLaborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28
Laborativ matematik som bedömningsform Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Kul matematik utan lärobok Vilka förmågor tränas Problemlösning (Förstå frågan i en textuppgift, Använda olika strategier
Läs mer