Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Transkript

1 Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas för redovisningsuppgifter eller kryssproblem. I början av varje lektion cirkulerar en lista på vilken varje student kan kryssa för de problem som hon/han är beredd att lösa framme vid tavlan. Därefter tar läraren, med slumpens hjälp, ut en student som får presentera sin lösning framme vid tavlan. Under lösningsprocessen skall hela klassen, framför allt de som kryssat problemet, vara aktiva (ställa frågor och komma med förslag till ändringar/tillägg). Efter en stund avbryter läraren och proceduren upprepas för nästa problem. Observera att alla som har satt ett kryss vid en uppgift får tillgodoräkna sig uppgiften. Av dig som löser ett problem vid tavlan krävs inte att lösningen är fullständig eller korrekt. Det enda som krävs är att det måste vara uppenbart att du har förberett sig väl. Om så inte är fallet har du nog chansat på att slippa bli utvald att lösa uppgiften. Konsekvensen blir att du inte får tillgodoräkna dig något av de problem som du kryssat under den aktuella lektionen eller tidigare lektioner. Du blir alltså helt nollställd! Man kan givetvis förbereda sig individuellt för dessa presentationer, men bäst är kanske att arbeta i en grupp med c:a tre medlemmar. Dels blir då arbetsbelastningen för var och en mindre, vad gäller problemlösningen. Dels kan man hjälpa till med att förbättra varandras presentationer. För redovisningsuppgifterna belönas du med maximalt 2 bonuspoäng: Om du kryssat minst en uppgift på varje lektion får du en bonuspoäng. Om du kryssat minst 75% av redovisningsuppgifterna (till exempel 12 av 16 om det är två uppgifter per lektion) får du en bonuspoäng. Om du är frånvarande från en lektion på grund av sjukdom kommer du, efter uppvisande av sjukintyg från läkare, att få tillfälle att senare redovisa uppgifterna. Om du är frånvarande från en lektion av annat skäl kan du be en kurskamrat (ej läraren!) att kryssa de problem du förberett, så att du deltar i lottningen. Om du råkar bli utlottad så får du redovisa senare. Observera att du då inte kan göra om detta, d.v.s du får inte en gång till låta någon kryssa i ditt ställe. Bonuspoängen adderas till skrivningspoängen vid ordinarie tentamen i maj 2010 men detta sker ej vid andra tentamenstillfällen. 1

2 Uppgifter till lektion nr 1: 1. Grafen till ekvationen 4x 2 + y 2 = 4 utgör en ellips i planet. En likbent triangel har ett hörn i origo och de båda andra hörnen på ellipsen. Bestäm maximala arean av en sådan triangel. 2. Beräkna integralerna (a) (b) 3 0 ln x x dx, x 2(x + 1) dx. 2

3 Uppgifter till lektion nr 2: 1. Låt L vara skärningslinjen mellan planen 2x y z = 1 och y 3z = 1. Låt Γ vara kurvan med parametriseringen r(t) = (3 t 2, t 2 + 3t, t 2 + 4t + 3), < t <. Visa att kurvorna skär varandra och bestäm, i varje förekommande fall, skärningsvinkeln. Avgör om Γ är en plan kurva (alltså om det finns ett plan som Γ ligger i). 2. Låt Γ vara (den slutna) skärningskurvan mellan paraboloiden z = x 2 + 5y 2 och planet 2y z + 3 = 0. Låt Γ p beteckna projektionen av Γ på xy-planet. Parametrisera Γ och Γ p. Bestäm omkretsen av Γ. Visa att Γ är en cirkel och bestäm dess radie och medelpunkt. 3

4 Uppgifter till lektion nr 3: 1. (a) Bestäm alla punkter P 0 = (a, b, c) på paraboloiden z = 3 + x2 + y 2, 2 som är sådana att tangentplanet, till paraboloiden, i P 0 går genom punkten (1, 0, 0). Visa att mängden av alla sådana punkter P 0 bildar en ellips E och bestäm en ekvation för planet som E ligger i. (b) (extrauppgift, som ej behöver redovisas) Bestäm E:s halvaxlar och area. Om alla räta linjestycken, från en punkt på E till punkten (1, 0, 0), dras ut så bildas en (sned, elliptisk) kon. Bestäm volymen av denna kon. 2. (a) Beräkna, om det existerar, gränsvärdet x 2 y + xy 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2. (b) Beräkna alla första- och andraderivator av funktionen z = f(x, y) = y x 2 + y 2 Avgör även om funktionen är harmonisk, alltså om den satisfierar differentialekvationen z xx + z yy = 0. 4

5 Uppgifter till lektion nr 4: 1. Lös den partiella differentialekvationen 2 z x 2 y2 2 z y 2 y z y = 4y2 genom att transformera den till variablerna u = y e x, v = y e x. 2. För en C 1 -funktion f(x, y) gäller att f(1, 1) = 1, D u f(1, 1) = 3 5 och D v f(1, 1) = 3 2, där u = 1 ( 2, 1) och v = 1 (1, 1). 5 2 (a) I vilken riktning och med vilken hastighet avtar f(x, y) snabbast i punkten (1, 1)? (b) Bestäm ekvationer för tangent- och normallinjerna till nivåkurvan f(x, y) = 1 i punkten (1, 1). (c) Bestäm en ekvation för tangentplanet och en ekvation för normallinjen till ytan z = f(x, y) i punkten (1, 1, 1). (d) Bestäm alla enhetsvektorer w sådana att D w f(1, 1) = 5. Bestäm för varje sådan vektor även vinkeln mellan w och gradientvektorn till f i punkten (1, 1). (e) Ange minst tre olika polynom i x, y, av grad högst två, som har egenskaperna hos f ovan. Det betyder att f ska ha formen där c, a, b, α, β, γ är konstanter. f(x, y) = c + ax + by + αx 2 + βxy + γy 2, 5

6 Uppgifter till lektion nr 5: 1. (a) Visa att ekvationen e y x + tan(x + y) = 1 definierar y som en oändligt deriverbar funktion y = y(x) i en omgivning av (0, 0). Beräkna även y(0), y (0), y (0) och y (0). Vi påminner här om att (b) Visa att ekvationen D tan x = 1 + tan 2 x. 2x y + z e 2x y z = 1, för (x, y, z) i en omgivning av (1, 1, 1), definierar z som en oändligt differentierbar funktion, z = z(x, y), av (x, y). Avgör även om (1, 1) är en stationär punkt för z(x, y). (c) Visa att (det olinjära) ekvationssystemet 2 = xy + z 3 = x + y + e z2 x för (x, y, z) i en omgivning av (1, 1, 1), definierar y, z som oändligt deriverbara funktioner, y = y(x), z = z(x), av x. Bestäm även en tangentvektor till kurvan i den punkt där x = Låt f(x, y) = x 3 + 4x 2 3x 2xy + y 2 6y. r(x) = (x, y(x), z(x)) (a) Bestäm Taylorpolynomet av ordning två (i variablerna h = x a, k = y b) i punkten (a, b), då (a, b) = (0, 0) och då (a, b) = ( 1, 1). (b) Bestäm alla stationära punkter till f(x, y) och avgör deras karaktär (alltså om det är frågan om en lokal max-, min- eller sadelpunkt). 6

7 Uppgifter till lektion nr 6: 1. Bestäm största och minsta värdet av funktionen då x 2 xy + y 2 3. f(x, y) = x3 3 + y3 3 x + y 4 2. Bestäm, om de existerar, maximum och minimum av funktionen f(x, y, z) = 4xy z 2 på skärningscirkeln mellan sfären x 2 + y 2 + z 2 = 1 och planet x + y + z = 0. 7

8 Uppgifter till lektion nr 7: 1. Beräkna integralen I = D 1 xy dx dy där D är kvadraten med hörn i punkterna (0, 0), (2, 0), (2, 2) och (0, 2). Ledning: Dela upp D i två områden, där funktionen 1 xy är positiv respektive negativ. 2. (a) Visa att cirkeln, med centrum i (1, 0) och radien 1, i polära koordinater har ekvationen r = 2 cos θ, π 2 θ π 2. (b) Beräkna, genom övergång till polära koordinater, x = r cos θ, y = r sin θ, integralen x I = dx dy, D x 2 + y2 där D är cirkelskivan med centrum i (1, 0) och radien 1. 8

9 Uppgifter till lektion nr 8: 1. Beräkna volymen av den ändliga kropp K som begränsas av ytorna z = 4x 2 + y 2 och z = 4 3y Beräkna I = D (3x + y) 10 dx dy där D är fyrhörningen med hörn i punkterna (0, 0), (2, 1), (1, 2) och ( 1, 3). Ledning: Inför nya variabler u, v sådana att u = 3x + y och D avbildas på en axelparallell rektangel. 9