) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

Transkript

1 ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y 2 = 2x, y 2 = x, x 2 = 2y och x 2 = y (x > ) A d y = x, y = 2x, x 2 = y och x 2 = 2y (x ) A e xy =, xy = 2, y 2 = x och y 2 = 2x (y > ) A f x 2 + y 2 = 2x, x 2 + y 2 = x, y = x och y = 0 (x, y 0) A g ( x 2 + y 2 ) 2 = x 2 + y 2 B h (a x + b y +c ) 2 + (a 2 x + b 2 y + c 2 ) 2 =, där a b 2 a 2 b 0 C i x a + y b = x 2 c 2 + y2 (x > 0, y > 0) d2 Volymer A 02 Beräkna volymen av den kropp som begränsas av a planen x 2y + z =, 2x y + z = 0, x = 0 och y = 0 b cylindern x 2 + y 2 =, paraboloiden z = x 2 + y 2 och planet z = 0 c cylindern y = z 2 samt planen x = 0, x = och y = d paraboloiden z = x 2 + y 2 och konen z 2 = x 2 + y 2 e paraboloiderna x = y 2 + z 2 och x = 2y 2 + 2z 2, cylindern y = z 2 och planet y = z f hyperboliska paraboloiden z = xy samt planen x = 0, y = 0, x + y = och z = x + y g cylindrarna z = y 2 och x 2 + y 2 = samt planet z = 0 h cylindrarna y = x och y = 2 x samt planen x + z = 6 och z = 0 i cylindern y 2 + z 2 =, planet x = 0 och ytan x = z (z 0) j cylindrarna x 2 + y 2 = a 2 och x 2 + z 2 = a 2 (a > 0) k cylindern x 2 + z 2 = samt planen y = x och y = 0

2 A 02 l ytan ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = x 2 + y 2 m konen z 2 = x 2 + y 2 och halvklotet x 2 + y 2 + z 2 = 2, z 0 n ytan x = y z, cylindern 9y 2 + z 2 = 9 och planet x = 0 o ytan y 2 + z 2 = x och planet x = 2 p paraboloiden x 2 + y 2 = 2z och planet z = x q paraboloiden z = x 2 + y 2, cylindern y = x 2 samt planen y = och z = 0 B 0 Beräkna volymen av den kropp som begränsas av a ellipsoiden x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = b elliptiska cylindern x 2 + y 2 = samt planen z = 2 x y och z = c ytan x + y = 2 samt planen 2x + y + z = 6 och x + y + z = 5 d hyperboliska paraboloiden z = y 2 x 2, planet z = 0 och cylindern x 2 + y 2 = x + y e cylindrarna xy =, xy =, yz =, yz = 9, xz = och xz = 9 f hyperboliska paraboloiden z = xy samt planen x + y + z = och z = 0 g ytorna z = cos x cos y, x + y = 2, x y = 2 och z = 0 h cylindrarna x 2 + y 2 = 2x och x 2 + y 2 = 2y samt planen z = 0 och z = x + 2y i ytorna z = 2 arctan y x, x 2 + y 2 = 8 arctan y x och z = 0, där y 0 j ytorna z = sin xy, xy =, y = x, y = 2x och z = 0 (x > 0) B 0 Beräkna volymen av den kropp som definieras genom a x x 2 + y 2 2x, z x 2 + y 2, x y x och z 0 b 2z 2 x 2 + y 2 z 2 c x 2 + y 2 + z 2 2z, x 2 + y 2 z 2 d x 2 + y 2 + z 2 6, x 2 + y 2 z 2 B 05 Linjen r(t) = ( t, 0, 2t ) roterar ett varv kring z-axeln och alstrar en konisk yta Beräkna volymen av den kropp som begränsas av denna yta och cylindern x 2 + y 2 = ax, där a > 0 2

3 A 06 Låt vara en kropp och L en linje i rummet Beteckna avståndet från punkten (x,y,z) till L med r = r(x,y,z) och densiteten i (x,y,z) med ρ = ρ(x,y,z) Man definierar: Massan av = m() = ρ dxdydz, Tröghetsmoment för med avseende på L = Tyngdpunkten (x 0,y 0,z 0 ) av genom x 0 = m() xρ dxdydz, y 0 = m() yρ dxdydz, z 0 = m() zρ dxdydz ρ r 2 dxdydz, Låt vara enhetskuben 0 x, 0 y och 0 z Densiteten ges genom r(x,y,z) = xyz Bestäm a massan av b tyngdpunkten av c tröghetsmoment för med avseende på x-axeln Areor av buktiga ytor 07 Beräkna arean av den del av A a planet 2x + 2y + z = 2 som ligger inom paraboloiden z = x 2 + y 2 A b ytan z = + y 2 som svarar mot x y A c ytan z = y + 2 x vars projektion på xy planet ges av y 2 x A d ytstycket z = 2xy för vilket 0 x, 0 y x A e ytan z = x 2 y 2 som ligger inuti cylindern x 2 + y 2 och ovanför xy planet A f sfären x 2 + y 2 + z 2 = a 2 som ligger inom cylindern x 2 + y 2 = ax A g paraboloiden 2z = x2 a x 2 a 2 + y2 b 2 = + y2 b som ligger inom cylindern

4 A 007 h hyperboliska paraboloiden z = xy som ligger inom cylindern x 2 + y 2 = A i ytan z = 2 (x /2 + y /2 ) vars projektion på xy planet är triangeln med hörnen (0,0), (0,) och (,0) B j konen z 2 = x 2 + y 2 som ligger inom klotet x 2 2x + y 2 + z 2 = 0 B k ytan x 2 y 2 = 2az vars projektion i xy planet ges av olikheten (x 2 + y 2 ) 2 a 2 (x 2 y 2 ) B l cylindern x 2 + y 2 = a 2 som ligger mellan planen x + z = 0 och x z = 0 B m konen x 2 + y 2 = z 2 som ligger mellan planen x z = 0 och z = 0 B n ytan z = arctan y x som ligger mellan cylindrarna x2 + y 2 = och x 2 + y 2 = B 08 Området D begräsas i xy planet av parablerna y = (x 2) och y = x 2 och samt deras gemensamma tangent Beräkna arean av den del av planet x + y + z = som projiceras i xy planet på D B 09 Bestäm arean av den totala begränsningsyta till kroppen x 2 + z 2 a 2, y 2 + z 2 a 2 B 0 Bestäm arean av den totala begränsningsyta till den kropp som ges av x 2 + y 2 2az och x 2 + y 2 + z 2 a 2, där a > 0 B Beräkna arean av den del av planet x + y + z = b som skärs ut av ytan x 2 + y 2 + z 2 xy yz xz = a 2

5 Ledningar till uppgifterna 0 0 a Lös ut y som funktion av x Man får två sådana (kontinuerliga) funktioner Bestäm skärningspunkterna mellan deras grafer Integrera i y led Metod 2: substitutionen x y = u, x = v leder till en cirkel b Substituera xy = u, y x = v c Substituera x2 y2 = u, y x = v d Substituera y x = u, x 2 y = v e Substituera xy = u, y2 x = v f Inför polära koordinater g En cirkel h Substituera u = a x + b y + c, v = a 2 x + b 2 y + c 2 i Substituera x = ar cos 2 v, y = br sin 2 v 02 a Bestäm projektionen på xy planet och integrera i z led b Integrera i z led från z = 0 till z = x 2 + y 2 Inför polära koordinater c Projicera på yz planet Integrera i ordningen x, y, z led d Ytorna skär varandra längs en cirkel Integrera i z led Inför polära koordinater e Projicera på yz planet Integrera i x led f roppen projiceras på en triangel i xy planet Observera att skärningskurvan mellan z = xy och z = x + y projiceras på ett område utanför denna triangel g Integrera i z led Inför polära koordinater h Integrera i z led Utnyttja sedan symmetrin m a p x axeln i Integrera i x led Inför polära koordinater j Integrera i z led Inför polära koordinater k Symmetri m a p x och z axeln Integrera i y led l Inför sfäriska koordinater m Integrera i z led Inför polära koordinater 5

6 02 n Utnyttja symmetrin och beräkna volymen av den del av kroppen som projiceras på första kvadranten i yz planet Integrera i x led Substituera y = r cos v, z = r sin v o Integrera i x led Inför polära koordinater p Integrera i z led Substituera x = r cos v, y = r sin v q Integrera i z led 0 a Substituera x = ar sin u cos v, y = br sin u sin v och z = cr cos v b Verifiera att skärningslinjen mellan planen projiceras på ett område utanför cylinderns bas c Observera att planen skär varandra längs en linje vars projektion på xy planet har gemensamma punkter med kvadraten x + y 2 Undersök inbördes förhållande mellan planen och dela upp i två kroppar d Symmetri m a p linjen (t,t,0) Integrera i z led Substituera x + y = u, x y = v e Substituera xy = t, yz = u, xz = v f Integrera i x led Den hyperboliska paraboloiden utgör kroppens undre begränsning medan den övre begränsning utgörs av planet x + y + z = g Fyra symmetriska delar Beräkna volymen av den del av kroppen som projiceras på första kvadranten i xy planet h Integrera i z led Inför polära koordinater En annan lösning: V = basytans area höjden i bottenytans tyngdpunkt 2, 2 = = Detta tack vare det plana taket 2 i Av det andra villkoret följer det att x 0 Integrera i z led Inför polära koordinater j Integrera i z led Substituera u = xy, v = y x 0 a Integrera i z led Inför polära koordinater b (klotets volym) (ellipsoidens volym) Jämför med 02 a cd Inför sfäriska koordinater 05 Den koniska ytans ekvation är på formen z 2 = bx 2 + by 2 Linjens punkter satisfierar denna ekvation b = 6

7 06 a-c Använd definitionerna i texten 07 a Ytan projiceras på en cirkel i xy planet b Integrera i x led c Integrera i y led d Betrakta först a x, där a > 0 Beräkna arean Låt a 0 e Ytan består av två symmetriska delar Inför polära koordinater f Projicera på xy planet Ytan består av två kongruenta delar Inför polära koordinater g Substituera x = ar cos v, y = br sin v h Inför polära koordinater i Ingen ledning j Sök skärningskurvan mellan konen och klotet Inför polära koordinater k Inför polära koordinater l Projicera på xz planet Ytan består av två delar som är symmetriska m a p xz planet Dessa delar är grafer till funktioner y = y(x,z) m Projicera på xy planet vadratkomplettera n Inför polära koordinater 08 Låt (a,a 2 ) vara tangeringspunkten till parabeln y = x 2 Sök ekvationen för tangenten i denna punkt Låt (b, (b 2) 2 + 8) vara tangeringspunkten till den andra parabeln Sök ekvationen för tangenten Identifiera tangenternas ekvationer Man får a = 2 och b = 09 Ytan består av 6 kongruenta delar Projicera på xy planet Integrera över triangeln 0 x a, 0 y x 0 Projicera på xy planet Beräkna arean för den sfäriska delen för sig och för den paraboliska delen för sig x 2 + y 2 + z 2 xy yz xz = z 2 x 2 y 2 + (x y)2 Eliminera z Substituera u = b 2 (x + y), v = (x y) 2 7

8 Svar till uppgifterna 0 0 a a 2 b 2 ln 2 c d 7 2 e ln 2 f ( + 2) g h, där c = a b 2 a 2 b c i 02 a c e g i ab 6 ( a2 c 2 + b2 d 2 ) b 8 6 d 6 5 f 7 2 h j 6 a k l m ( 2 ) n o p q 0 a c abc b d 2 e 8 f g h i j 7 2 ln ln 2 8

9 0 a b 2 (2 2 ) c d 2 (2 2 ) 05 6a 9 06 a c 8 b 6 2, 2, 2 07 a 2 b c 2 2 d e g 6 (5 5 ) (5 5 ) f 2a 2 ( 2) 2ab (2 2 ) h i 5 ( + 2 ) j k 20 9 m 8 2 (2 2 ) 2 2 a 2 l 8a 2 n ( ln (2 + 5 ) ln ( + 2 ) a 2 0 a 2 ( + ) 2a 2 9