Uppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.

Transkript

1 Uppgifter inför KS4 den 11 april 011. Matematik II för CL. SF En humla flyger längs kurvan (given på parameterform) x = t,y = t 3, t " 0. Då t = 1 upptäcker humlan en blomma i punkten (5,3) och flyger istället iväg längs tangenten. Kommer humlan fram till blomman? (t= tiden).. Låt F(t) = (lnt, t, t ). Bestäm längden av F(t) mellan t = 1 och t = e. 3. Bestäm tangenterna till F(t) i uppgift då t = 1 och t = e samt bestäm vinkeln mellan dessa. 4. Bestäm ekvationen för a) tangentplanet b) normalen till ytan x yz + 3y = xz " 8z i punkten (1,,-1). 5. Ytorna x + y + z = 3 och x " y + z = skär varandra längs en rymdkurva. Bestäm normalplanet och tangenten till kurvan i punkten (1,1,1) 6. Ytorna x " yz + y 3 = 4 och x +1 = ( - 4a)y + az skär varandra i punkten (1,-1,). För vilka värden på a skär de varandra vinkelrätt? 7. Bestäm riktningsderivatan för f(x,y,z) =(y + sin z)e "x i punkten (0,," ) i riktning mot punkten (1,1,0). 8. Bestäm riktningsderivatan till F = x yz längs kurvan x = e "u,y = sin u +1,z = u " cosu i punkten P då u = Temperaturen i en punkt på xy-planet är T= 100xy x + y. a) Bestäm riktningsderivatan i punkten (,1) i den riktning som bildar 60 graders vinkel med positiva x-axeln. b) I vilken riktning tagen från (,1) är derivatan maximal? c) Vilket är max.värdet? 10. En bit metall upptar området 0<x<1, 0<y<1 i xy-planet. Metallens temperatur är känd som T = xy(1" x)(1" y). I vilken riktning skall en insekt som befinner sig i punkten ( 1 4, 1 ) flyga för att svalna så snabbt som möjligt. 3

2 11. En bergsklättrare befinner sig i punkten (1,1,) på berget z = 4 " x " y och bestämmer sig för att gå i nordostlig riktning. Går hon uppför eller nedför berget? 1. Bestäm genom att införa variablerna differentialekvationen y f x " + x f y " + f z " = 0. u = (x + y)e "z $ v = (x " y)e z & w = z den allmänna lösningen till 13. Transformera "z "x då z = z(x, y) och x = u + v, y = 1 (u " v ). 14. Transformera " z "x"y då a) " u = x + y $ v = x + 3y b) x = v + ln u $ y = "v + ln u. 15. Transformera följande uttryck med angivet variabelbyte: a) " z "x + " z "y då u = ax " by $ v = bx + ay b) " z "x " z "y "z "x + "z "y = 0 då x = u + v $ y = u " v c) " z "x + y " z "x"y = 0 då " x = u + e v $ y = e u. 16. Bestäm MacLaurinpolynomet av andra graden till funktionen e a) ln(1+ x + y ) b) e xy cos(x + y) c) x +y cos(x " y) 17. Taylorutveckla f(x,y) = ln(x + y )" y + omkring punkten (0,1) t o m andra graden. 18. MacLaurinutveckla f(x,y) = sin(x + y)+ e xy t o m tredjegradstermerna. 19. Bestäm MacLaurinutvecklingen av ordning 3 med ordorestterm av funktionerna a) xy " x + xy 3 b) ln(x + cos y)

3 sin 0. Beräkna gränsvärdet a) x + sin y lim b) lim (x,y)"(0,0) x + y (x,y)"(0,0) x + y 1 cos x cos y. 1. Vilka av följande kvadratiska former "(h,k,l) är definita, indefinita eller semidefinita? a) (h + k) b) h + k + kl c) h + k + l + hk d) h + k + l + hk + hl. Bestäm lokala extremvärden till följande funktioner då f(x,y) är given av a) x 3 + y " 6xy b) x 3 " y 3 " 3xy c) x 3 + y " xy " y 3. Avgör om följande funktioner är linjära. Ange i sådana fall funktionens matris. a) f (x, y) = (x + y, x + y, y) T b) f (x, y) = x + y!1 4. Bestäm Jacobimatrisen till : a) " x = 1 (u! v ) & $ y = uv ' b) f (x,y,z) = (x + yz,y " x ln z) u = x + e 5. Visa att funktionen f : v = y e x x y y,,, u v u v y x är lokalt inverterbar och beräkna de partiella derivatorna svarande mot punkten (x,y)=(0,0). Beräkna även inversens Jacobimatris svarnade mot denna punkt. 6. En yta definieras genom ekvationen 3xyz z 3 = 10. Visa att det finns en omgivning av punkten (1,3,) där ytan kan uppfattas som en graf till en ' kontinuerligt deriverbar funktion z = z(x,y). Bestäm z x och z 'y i punkten (1,3).

4 7. Beräkna '' z xy för den funktion z=z(x,y) som i någon omgivning av punkten (1,1,1) definieras medelst ekvationen x + y + z + x + y + z = 6. x + y = 0 8. Visa att ekvationssystemet 3 x + y + z = 0 definierar i en omgivning av punkten (-,1,1) precis två kontinuerligt deriverbara funktioner y=y(x) och z=z(x). Beräkna y (-). 9. Kan summan av tre positiva tal vara 5 om deras produkt är 8? 30. Bestäm största och minsta värdet av funktionen f given av f ( x, y) = x xy + y y i den slutna triangeln med hörnen i punkterna (,-), (,3) och (-3,-). 31. Samma uppgift som i 30 men med f given av f ( x, y) = xy + 3x 5y i mängden x y x. + z 3

5 Svar: 1 1. nej. + e 1 3. Tangenten då t = 1 är (x,y,z) =(t, +t, + t ) och tangenten då t = e är (x,y,z) = (1+ 1 e t, e + 1 e t,e + t ). Vinkeln mellan tangenterna är arccos(4 + 4 e + e ) 3( + e). 4. a) 6x -11y - 14z + = 0 b) (x,y,z) = (1,,-1) +t(-6,11,14) 5. 3x-y-z = 0 och (x,y,z) = (1,1,1) + t(3,-1,-) 6. För alla a-värden 7. " 8" + 8. " 6 9. a) 1 3 " 6 b) (-1,) c) (" 1 9," 1 16 ) = "(1 9, 1 16 ) 11. nedför berget ( 1. f (x, y,z) = g((x + y)e"z,(x " y)e z ) a) " z "u + 7 " z "u"v + 6 " z "v. b) u " z "u " z "v + u "z "u. df de = " ) v "z v + u "u + u "z v + u "v 15. a) (a + b )( " z "u + " z "v ) b) " z "u"v "z "v = 0 c) " z "u"v = a) x " 1 x + y b) 1" 1 x " 1 y c) 1+ x + y + x + y 17. f(x,y) = x " (y "1) + R

6 18. f(x,y) = 1+ y + x + xy " y3 6 + R 3 19a) xy " x + O(r 4 ) b) x " 1 x " 1 y x xy + O(r 4 ) 0a) 1 b) 1. a) Positivt semidefinit b) Indefinit c) Positivt semidefinit d) Positivt definit ty: 1 a) "(h,k,l) " 0 för alla h,k,l och =0 om h=-k b) "(h,k,l) = h + (k + l ) l antar både positiva och negativa värden: 4 "(h,0,0) > o, om h " o, "(0,k,k) < 0 om k " 0. c) "(h,k,l) = (h + k) + l d) "(h,k,l) = (h + k) + (h + 1 l) l. a) Min =-108 i (6,18) b) Min= -1 i (1,1) c) Min = " 7 16 i(1, 3 4 ) 3a) linjär! 1 1$ 1 & " 0 1 b) ej linjär " 4. a) J = $ u!v v u & b) x z y & ( $ "ln z y "x /z' 1 1 xu = yu = yv `= x v = 5.,, J f 1 = z ' 6, ' = x z. = y 7..-3/ 8. -1/5 9. nej ; ; 13/7

7