LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
|
|
- Carina Nyström
- för 9 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
2 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
3 Potenslagarna med reella exponenter Vi har följande räknelagar för a, b > 0 och x, y R: 1 a x a y = a x+y, 2 (a x ) y = a xy, 3 (ab) x = a x b x, 4 a x a = a x y, ( y 5 a ) x b = a x b. x Dessa måste du behärska! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
4 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
5 Exponentialfunktionen Med resultaten ovan är vi redo att definiera exponentialfunktionen f (x) = a x för a > 0 och x R. D f = R. V f = (0, ) = {y R : y > 0} = {x R : x > 0}, a 1. f (0) = 1 (a 0 = 1). f (1) = a (a 1 = a). f är strängt monoton om a 1. f är strängt växande om a > 1. f är strängt avtagande om 0 < a < 1. Om a < b så är a x < b x för x > 0 och a x > b x för x < 0 Hur blir det med a = 1? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
6 Exponentialfunktionernas grafer, olika baser 8 7 y=(1/2) x =1/(2 x )=2 x y=1 x y=2 x y=e x F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
7 Den naturliga exponentialfunktionen Definition Talet e är det tal som när vi har det som bas för exponentialfunktionen får en graf vars tangent i (0, 1) skär x-axeln i punkten ( 1, 0). Talet e = är irrationellt. Decimalutvecklingen fortsätter alltså i all oändliget utan att upprepa sig. Det gäller att den naturliga exponentialfunktionens, e x (= exp(x)), har en graf vars tangent i punkten (x, e x ) har en tangentlinje med lutningen e x (e 0 = 1 så det överrensstämmer med definitionen). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
8 Exponentialfunktionernas grafer, basen e och andra y=e x y=e x y=e 2x y=e x/ F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
9 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
10 Den naturliga logaritmfunktionen Eftersom den naturliga exponentialfunktionen är strängt växande finns till varje givet y > 0 ett x så att y = e x. Definition Låt y > 0 vara givet. Det tal x som löser y = e x kallar vi den naturliga logaritmen av y och vi skriver x = ln(y) (= e log(y)). Det gäller alltså att ln(x) = exp 1 (x), d.v.s. den naturliga logaritmen är den naturliga exponentialfunktionens invers. Annorlunda uttryckt har vi att ln(exp(x)) = x, x D exp = R eller exp(ln(x)) = x, x D ln = {x : x > 0}. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
11 Den naturliga logaritmfunktionens graf 3 y=ln(x) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
12 Logaritm- och exponentialfunktionernas grafer 7 6 y=ln(x) y=e x y=x F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
13 Logaritm- och exponentialfunktionernas grafer 3 y=exp(x) y=ln(x) y=x 2.5 (a,exp(a))=(a,b) (b,a)=(b,ln(b)) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
14 Egenskaper hos den naturliga logaritmfunktionen D ln = (0, ) V ln = R ln(x) är en strängt växande funktion. ln(1) = 0 ln(e) = 1 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
15 Räkneregler för logaritmer Theorem Låt x, y > 0 och p R. 1 ln(xy) = ln(x) + ln(y) ( ) 2 ln 1 y = ln(y) ( ) 3 ln x y = ln(x) ln(y) 4 ln(x p ) = p ln(x) Dessa regler bör du kunna bevisa och absoulut kunna! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
16 Ett vanligt fel Det gäller i allmänhet inte att ln(a + b) = ln(a) + ln(b). FEL!!! Ett sådant räknefel ger stora avdrag på tentan. På överbetygsdelen kan det ge noll poäng på uppgiften. Övning: Undersök för vilka kombinatoner av a och b likheten faktiskt gäller. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
17 Allmänna logaritmer Mer generellt så vet vi att om a > 0, a 1 och y > 0 så finns det ett unikt x R så att y = a x. Det motiverar följande definition. Definition Låt a, y > 0. Det tal x som löser y = a x kallar vi a-logaritmen av y och vi skriver x = a log(y). De viktigaste logaritmerna är 2 log(x), e log(x) = ln(x) samt 10 log(x) = lg(x) (i boken, ibland är 10 log(x) = log(x).). Räknereglerna för den naturliga logaritmen gäller även för a-logaritmer. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
18 Egenskaper hos logaritmer Egenskaperna för den naturliga logaritmen gäller för a-logaritmer med lite modifikation. Da log = (0, ) Va log = R om a 1. a log är en strängt monoton funktion om a 1. a log är en strängt växande funktion om a > 1. a log är en strängt avtagande funktion om a < 1. a log(1) = 0 a log(a) = 1 Övning: Vilka motsvarande egenskaper gäller då 0 < a < 1? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
19 Konvertering mellan logaritmer med olika baser Theorem Med a, b > 0, a, b 1 gäller att a log(x) = b log(x) b log(a). Bevis. Om x = a y så gäller att a log(x) = y och b log(x) = b log(a y ) = y b log(a) = a log(x) b log(a) så satsen följer efter divison med b log(a). Studera vad detta innebär med a, b = 2, e, F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
20 Tillämpningar av logaritmer Viktiga tillämpningar av 10-logaritmer för självstudier: Decibel. Viktigt bl.a. vid studier av förstärkare. (Se Ex ) ph. (Se Ex ) Kan komma på tentan... F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
21 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
22 Gränsvärden Skapandet av differentialkalkylen är en av de största prestationerna i vetenskapens historia och och teorin bakom differentialkalkylen har haft ett stort inflytande på det vetenskapliga tänkandet 1 Differentialkalkylen är helt beroende av begreppet gränsvärde. 1 Håkan Blomqvist i Grundläggande analys för högskolestudenter. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
23 En liten motivering Betrakta den rationella funktionen R(x) = x2 1 x 1. D R = R \ {1} = (, 1) (1, ). Om x D R så är x2 1 x 1 = (x 1)(x+1) x 1 = x + 1. Funktionen h(x) = x + 1 har D h = R. Det gäller att h R ty D R D h. Men h(x) = R(x) för alla x D R (D R D h ). Om vi låter x D R närma sig talet 1 så kommer R(x) närma sig talet 2 = h(1). Om vi gör definitionen g(x) = så gäller att D h = R och h = g! { R(x), x 1 2, x = 1 Detta är möjligt då R har gränsvärdet 2 då x går mot 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
24 Grafen till R(x) = x 2 1 x (x 2 1)/(x 1) x= Figur: Funktionen är odefinierad i x = 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
25 Fler frågeställningar När x = 1 i föregående exempel fick vi att R(1) = 0 0. Vi kunde då utvidga definitionsmängden genom att sätta (Farligt!) 0 0 = 2. Det kan man absolut inte alltid göra! P.s.s. som innan så är 2(x2 1) x 1 funktionen blir 0 0 = 4. = 2x + 2 och om vi ska utvidga den Att betrakta det hela som att 0 0 har något värde är inte fruktsamt (det är dessutom farligt). Vi bör istället ställa oss frågan: Vilket värde närmar sig en funktion f (x) när x närmar sig a? Den frågan kan vi ställa oss även om f (a) är definierat. Om a D f men vi får uttryck på formen f (a) = 0/0, f (a) = ± / eller f (a) = ±( ) så kan gränsvärdet då x närmar sig a finnas. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
26 Informell definition av gränsvärde Vi säger att f (x) har gränsvärdet G då x går mot a om f (x) kan fås att anta ett värde godtyckligt nära G om x är tillräcklig nära a. Vi skriver lim f (x) = G x a eller f (x) G då x a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
27 Några exempel Det gäller att x 2 4 då x 2. Skriv x = 2 + h med 0 < h 1, dvs h nära noll. Då är x 2 = (2 + h) 2 = h + h = 4 då h 0 d.v.s. då x 2. sin(x) Det gäller att lim x 0 x = 1. Man kan (och vi ska, senare) visa att cos(x) < sin(x) x < 1 om 0 < x < π/2. Vi vet att cos(x) 1 då x 0 så instängningsregeln (se nedan) ger påståendet! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
28 cos(x) < sin(x) x < cos(x)<sin(x)/x< 1 for x close to 0 y=sin(x)/x y=1 y=cos(x) Figur: Funktionen sin(x) x är odefinierad i x = 0 men måste ha gränsvärdet 1 då funktionen är instängd mellan 1 och cos(x) 1 då x 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
29 Godtyckligt och tillräckligt nära Definition När vi säger att f (x) kan fås godtyckligt nära G så menar vi att vi kan välja vilket (litet) tal ɛ > 0 som helst och det finns ändå x D f så att f (x) G < ɛ. Definition När vi säger att x är tillräcklig nära a för att något påstående skall vara sant så menar vi att det finns ett δ > 0 så att påståendet är sant för alla x a som är närmare a än δ, dvs om 0 < x a < δ δ < x a < 0 0 < x a < δ a δ < x < a a < x < a + δ. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
30 Punkterad omgivning Definition En punkterad omgivning till talet a är en mängd Ḃ a,δ0 = {x : 0 < x a < δ 0 } där δ 0 > 0. Den punkterade omgivningen innehåller alltså inte a men alla andra tal tillräckligt nära a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
31 Formell definition av gränsvärde Definition Låt f vara en funktion och låt talet a ha en punkterad omgivning som tillhör D f. Om det för varje ɛ > 0 existerar ett tal δ > 0 sådant att om 0 < x a < δ så är f (x) G < ɛ, så säger vi att f (x) går mot G när x går mot a eller, alternativt, att f (x) har gränsvärdet G då x går mot a. Vi skriver lim x a f (x) = G eller f (x) G då x a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
32 Illustration av gränsvärde. 9 8 funktionen f(x)=x 2 a=2 lim x >a f(x)=g= y=4+ε 1 4 y=4 ε 2 y=4 ε 2 3 y=4 ε x=2 δ 2 x=2+δ 2 x=2 δ 1 x=2+δ Figur: Illustration av den formella definitionen av gränsvärde. Om x tillhör den punkterade omgivningen (2 δ 1, 2) (2, 2 + δ 1 ) så är x 2 4 < ɛ 1. Om x tillhör (2 δ 2, 2) (2, 2 + δ 2 ) så är x 2 4 < ɛ 2. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
33 Räkneregler för gränsvärden Låt f, g, h vara funktioner med definitonsmängder D f, D g och D h och anta att a har en punkterad omgivning Ḃ(a, δ 0 ) D f D g D h. Antag att lim x a f (x) = A och lim x a g(x) = B. Då gäller att 1 lim x a (f (x) + g(x)) = lim x a f (x) + lim x a g(x) = A + B. 2 lim x a (f (x) g(x)) = lim x a f (x) lim x a g(x) = A B. 3 lim x a (f (x) g(x)) = lim x a f (x) lim x a g(x) = AB. f (x) limx a f (x) 4 lim x a g(x) = lim x a g(x) = A B om B 0. 5 f (x) g(x) lim x a f (x) lim x a g(x) A B. 6 (f (x) h(x) g(x)) (A = B) lim x a h(x) = A. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
34 Gränsvärde då x ± Definition Antag att f är en funktion sådan att för något tal M gäller att (M, ) D f. Om det för varje ɛ > 0 finns ett tal ω sådant att f (x) G < ɛ om x > ω så säger vi att f (x) går mot G, eller att f (x) har gränsvärdet G, då x går mot oändligheten. Vi skriver lim f (x) = G x eller f (x) G då x. Övning: Definiera gränsvärde då x går mot! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
35 y=g ε 2 x=ω1 x=ω 2 Illustration av gränsvärde i oändligheten 3 f(x)=exp( x) lim x f(x)= y=g+ε 1 y=g+ε y=g ε Figur: Funktionen exp( x) har gränsvärdet 0 då x. Om x > ω 1 så är exp( x) 0 < ɛ 1. Om x > ω 2 så är exp( x) 0 < ɛ 2 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
36 Höger- och vänstergränsvärde. Definition Antag att f är en funktion och att det finns ett δ 0 > 0 sådant att (a, a + δ 0 ) D f. Om det för varje ɛ > 0 existerar ett δ > 0 sådant att f (x) G < ɛ för alla x (a, δ) så säger vi att f har högergränsvärdet G i punkten a eller att f (x) går mot G då x går mot a uppifrån (från höger). Vi skriver lim x a + f (x) = G eller f (x) G då x a +. Ibland skrivs x a istället för x a +. Övning: Definiera begreppet vänstergränsvärde! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
37 Illustration av höger och vänstergränsvärde f(x) f:s hgergrnsvrde f:s vnstergrnsvrde Figur: Funktion som saknar gränsvärde då x 0 men har ett vänstergränsvärde (0) och ett högergränsvärde (0.2). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
38 Oegentliga gränsvärden (f (x) ± ) Vi vill ibland slå fast att en funktion f antar hur stora värden som helst när x a. Därför inför vi följande begrepp. Definition Om det för varje N > 0 existerar ett δ > 0 sådant att om 0 < x a < δ så är f (x) > N så säger vi att f (x) går mot oändligheten då x går mot a och skriver lim f (x) = eller f (x) då x a. x a Definition Om det för varje N > 0 existerar ett ω > 0 så att f (x) > N om x > ω så säger vi att f (x) går mot oändligheten då x går mot oändligheten och skriver lim f (x) = eller f (x) då x. x F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
39 Ytterligare oegentliga gränsvärden Övning: Definiera vad som borde menas med lim x a f (x) =, lim x a + f (x) = ( ) lim x a f (x) = ( ), lim x f (x) =, lim x f (x) = ( ). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
40 y=1/(x 1) y=1/ x+1 } y=e x y=x 3 x Figur: Funktioner med oegentliga gränsvärden. x 1 saknar oegentligt gränsvärde i 1 x = 1 men lim x 1 + x 1 =, lim x 1 1 x 1 =. Det gäller 1 attlim x 1 1+x =, lim x e x =. lim x x 3 x 2 = och lim x x 3 x 2 =. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
41 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
42 Kontinuitet Låt f (x) = x 2. Vi har sett att lim x 2 f (x) = 4 = f (2). Det gäller för varje a D f = R att lim f (x) = x a a2 = f (a). Denna egenskap är inte så självklar som man först kan tro, men viktig, vi kallar en sådan funktion kontinuerlig. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
43 Kontinuerlig funktion i en punkt Definition Antag att f är en funktion och att a D f samt att det finns punkter i D f godtyckligt nära a. Vi säger att f är kontinuerlig i a om lim f (x) = f (a). x a Definition Om I är ett intervall sådant att I D f och f är kontinuerlig i varje punkt x I, då säger vi att f är kontinuerlig på intervallet I Definition Om f är kontinuerlig i varje x D f, så säger vi att f är en kontinuerlig funktion F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
44 Illustrationer av begreppet kontinuitet f(x) g(x) Grafen till en kontinuerlig funktion f och en diskontinuerlig i x=1, g Figur: Funktionen f är kontinuerlig i varje punkt och varje intervall i sin definitionsmängd. Den är alltså kontinuerlig. Funktionen g är kontinuerlig i alla punkter utom x = 1. Den är således inte kontinuerlig, men väl kontinuerlig på varje intervall som inte innehåller x = 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
45 Mer diskontinuitet 20 f(x) Figur: Funktionen är diskontinuerlig i varje heltalspunkt. Den är kontinuerlig på varje intervall som inte innehåller något heltal. Särskilt är den kontinuerlig på varje intervall på formen (n, n + 1) där n Z. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
46 Höger- och vänsterkontinuitet Definition Om a D f och det finns punkter x < a : x D f som ligger godtyckligt nära a och lim f (x) = f (a) x a så säger vi att f är vänsterkontinuerlig i a. Definition Om a D f och det finns punkter x > a : x D f som ligger godtyckligt nära a och lim f (x) = f (a) x a + så säger vi att f är högerkontinuerlig i a. Övning: Definiera höger-, respektive vänsterkontinuitet i ett intervall och höger- respektive vänsterkontinuerlig funktion! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
47 Illustration av höger- och vänsterkontinuitet Hgerkontinuerlig Vnsterkontinuerlig Varken h. eller v. kont Figur: Tre funktioner med diskontinuitet. Den blå är höger- och den röda vänsterkontinuerlig. Den svarta är varken höger- eller vänsterkontinuerlig. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
48 Kontinuitet på slutna intervall Om f är en funktion med D f = [a, b] så säger vi att f är kontinuerlig på D f om den är (egentligt med vår definition) kontinuerlig på (a, b), högerkontinuerlig i a och vänsterkontinuerlig i b. Med bokens definition av kontinuitet behöver man inte göra denna omdefinition. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
49 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
50 Sekant 9 8 y=f(x) En sekant till f En annan sekant till f 7 (x+h 1,f(x+h 1 )) (x+h 2,f(x+h 2 )) (x,f(x)) Figur: En sekant är en linje som skär en graf i två punkter säg (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
51 Derivata 30 y=f(x) tangent Sekant till f Figur: Derivatan till f (x) är gränsvärdet av lutningen hos sekanten som skär (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)) få h 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
52 Derivata 30 y=f(x) Sekant till f f(x+h) f(x) 5 h Figur: Lutningen hos sekanten som skär (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)) är f (x+h) f (x) h. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
53 Derivatans definition Definition En funktion f säges ha derivatan f (x) i punkten x som ges av f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h om gränsvärdet existerar. Om så är fallet säger vi att f är deriverbar i punkten x. En funktion som är deriberbar i varje punkt i ett intervall I säges vara deriverbar på I och om den dessutom är deriverbar i hela sin definitionsmängd så är den en deriverbar funktion. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
54 En deriverbar funktion är kontinuerlig Theorem Om en funktion f är deriverbar i en punkt x så är f kontinuerlig i x. Det innebär att om en funtkion är diskontinuerlig i någon punkt så är den inte deriverbar där. Det finns kontinuerliga funktioner som inte är deriverbara t.e.x. f (x) = x. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
55 Theorem Det gäller att Dx k = kx k 1 för alla reella tal k. Notera att Dx 0 = 0 och att det inte finns någon funktion på formen ax k som har derivatan x 1! Notera också att det är flera tryckfel i boken där detta behandlas! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
56 Kurvtangent och derivata Om en kurva är grafen till en deriverbar funktion f så ges dess tangent i punkten (x 0, f (x 0 )) av y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). (Genom varje punkt går en och endast en linje med en bestämd lutning. Den givna linjen går genom den givna punkten och har rätt lutning! Se kapitel 7.3!) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
57 Höger- och vänsterderivator Med hjälp av höger- och vänstergränsvärden så kan vi definiera höger- och vänsterderivator. Definition Högerderivatan av en funktion f i en punkt x betecknas med f +(x) och ges av f +(x) f (x + h) f (x) = lim. h 0 + h Definition Vänsterderivatan av en funktion f i en punkt x betecknas med f (x) och ges av f (x) f (x + h) f (x) = lim. h 0 h F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
58 Deriverbarhet på slutna intervall När vi säger att en funktion är deriverbar på ett slutet intervall [a, b] så menar vi att den är deriverbar i varje inre punkt ( i varje x (a, b)) och högerderiverbar i a och vänstrederiverbar i b. Övning: Med bokens definition av gränsvärde behövs inte den här anmärkningen. Varför? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
59 Deriveringsregler Theorem Om f och g är deriverbara i punkten x och C är ett givet reelt tal så gäller följande. 1 D (f (x) + g(x)) = Df (x) + Dg(x) ( summaregeln ) 2 D (f (x) g(x)) = Df (x) Dg(x) ( differensregeln ). 3 D (Cf (x)) = CDf (x). 4 D (f (x) g(x)) = (Df (x)) g(x) + f (x) (Dg(x)) ( produktregeln ). ( ) 5 D f (x) g(x) = om g(x) 0 ( kvotregeln ). (Df (x))g(x) f (x)(dg(x)) g(x) 2 6 D (f (g(x))) = f (g(x))g (x) ( kedjeregeln ). 7 Df 1 1 (x) = om f är inverterbar i en omgivning av f (f 1 )(x) y = f 1 (x). (Se nedan för en precisare behandling.) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
60 Derivata och inverterbarhet, inversens derivata Theorem Om f är en deriverbar funktion på ett intervall I och f (y) 0 om y I så är f inverterbar på I och dess invers f 1 är deriverbar. Om I är ett öppet intervall ges inversens derivata av Df 1 = 1 f (f 1 (x)) om x är bilden av något y I under f (y = f (x), x I ). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
61 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
62 Potensfunktioner! Vi har sett att d C = 0, (1) dx d dx Cx n = ncx n 1 n Z. (2) Dessa resultat är specialfall av d 1 x = dx 2 x (3) d dx Cx α = αcx α 1 α R. (4) Vi skall visa detta med hjälp av derivator för exponetialfunktionen och den naturliga logaritmen! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
63 Exponentialfunktioner och logaritmer Det gäller att d dx ex = e x, (5) d dx ax = ln(a)a x, a > 0, (6) d dx ln x = 1, x 0, (7) x d a log x = 1, x 0, (8) dx x ln a F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
64 Trigonometriska funktioner Det gäller att d sin x = cos x, (9) dx d cos x = sin x, (10) dx d dx tan x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x, (11) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
65 Arcusfunktioner Det gäller att d dx arcsin x = 1, (12) 1 x 2 d dx arccos x = 1, (13) 1 x 2 d dx arctan x = x 2, (14) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
66 Logaritmisk derivering Det gäller att Om d dx ln f (x) = f (x), f (x) 0, (15) f (x) f (x) = g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) så är ln f (x) = ln g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) = ln g 1 (x) + ln g 2 (x) ln g k (x). forts. på nästa sida. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
67 Det följer att f (x) f (x) = g 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) g k (x) g k (x) varvid ( g f (x) = f (x) 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) g k (x) ) g k (x) ( g = g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) g k (x) ) g k (x) = g 1(x) g 2 (x)... g k (x) + g 1 (x) g 2(x)... g k (x) g 1 (x) g 2 (x)... g k (x). Detta är en generalisering av produktregeln. Tekniken med logaritmisk derivering är användbar även i tillämpningar! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
68 Implicit derivering Beräkna lutningen för tangenterna till kurvan x 2 + y 2 = 1 i de punkter där y = 1 2. Sätt y = y(x) lokalt. Det måste gälla att d dx y 2 + x 2 = d dx 1 = 0 2yy + 2x = 0 y = x y. Det finns två x värden där y = 1 2 nämligen x = ± 1 2. I punkten ( 1 2, 1 2 ) har tangenten således lutningen 1 och i punkten ( 1 2, 1 2 ) har den lutningen 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68
SF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och
Läs merFöreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merKapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner
Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.
Läs merBlock 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd
Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merR AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002
RÄKNEÖVNING VECKA 2 David Heintz, 3 november 22 Innehåll Uppgift 29.4 2 Uppgift 29. 3 3 Uppgift 29.2 5 4 Uppgift 3. 7 5 Uppgift 3. 9 6 Uppgift 3.2 Uppgift 29.4 Prove that ln( + x) x for x >, and that ln(
Läs merEnvariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs merTeorifrå gor kåp
Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013
SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merKapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner
Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 31 Repetition Lekt 9 Bestäm största värdet av 5 sin v + 12 cos v. Staffan Lundberg M0038M
Läs merTMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.
TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella
Läs merViktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.06. 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merNotera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.
SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+
Läs merMatematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6825 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Carl Lundholm 5325 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning XII Mikael P. Sundqvist Vad handlar gränsvärden om? Det är en kamp mellan epsilon (ε) och delta (δ) analystens främsta verktyg! Klicka här för bild på Barry Simon Gränsvärde av f (x) då x +
Läs merKap Implicit givna funktioner
Kap 12.8. Implicit givna funktioner A 701. Betrakta ekvationen x 2 y 2 = 0 och funktioner y = y(x). a. Hur många funktioner satisfierar ekvationen? b. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen?
Läs merFÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för istanskursen Matematik A - analyselen vi Uppsala universitet höstterminen 2006. 1. Derivata I grunläggane analys
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merLogaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos
Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merViktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013.
Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013. Reela tal. Rationella tal. Irrationella tal. Slutna intervall. Öppna interlvall. s.5 Koordinater i plan. a(b+c)=ab+ac; Bråkräkning:
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merTentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 31 augusti 2016 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Funktion Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde
Läs merLektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Läs merFöreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www.math.uu.se/ rikardo/ envariabelanalys/huvudsidor/index.html Funktioner En funktion f, från mängden
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b
Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:
Läs merMatematik 1. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. Före laborationen: Bekanta Dig med innehållet på sid 3. Ögna igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd PoP (papper och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merKapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata
Kapitel 8 Derivata 8.1 Inledning till derivata Vi vill nu bestämma riktningskoefficienten för tangenten 1 till en given kurva i punkten x. För att få en approximation av tangenten ritas en linje genom
Läs merVälkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1
Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs mer2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner
Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter
Läs mer2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
Läs merModul 2 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Moul 2 Mål och Sammanfattning Derivata. 1. MÅL FÖR MODUL 2 Förstå och använa erivatans efinition Förstå och använa erivata
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merBlock 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd
Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs merVäxande och avtagande
Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merHär finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).
GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus av en funktion då går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition. Definition. ( Cauchy Vi säger att funktionen
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merKOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK
KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Gränsvärden och L Hôspitals regel Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Gränsvärden och L Hôspitals regel 1 (11) Introduktion Gränsvärdesöverläggningar
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och
Läs merMATEMATISK FORMELSAMLING
Institutionen för naturvetenska, teknik och matematik (NAT) Institutionen för teknik och hållbar utveckling (THU) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 2 Innehåll Notation, mängdlära och logik........................
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs mer