LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014"

Transkript

1 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

2 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

3 Potenslagarna med reella exponenter Vi har följande räknelagar för a, b > 0 och x, y R: 1 a x a y = a x+y, 2 (a x ) y = a xy, 3 (ab) x = a x b x, 4 a x a = a x y, ( y 5 a ) x b = a x b. x Dessa måste du behärska! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

4 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

5 Exponentialfunktionen Med resultaten ovan är vi redo att definiera exponentialfunktionen f (x) = a x för a > 0 och x R. D f = R. V f = (0, ) = {y R : y > 0} = {x R : x > 0}, a 1. f (0) = 1 (a 0 = 1). f (1) = a (a 1 = a). f är strängt monoton om a 1. f är strängt växande om a > 1. f är strängt avtagande om 0 < a < 1. Om a < b så är a x < b x för x > 0 och a x > b x för x < 0 Hur blir det med a = 1? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

6 Exponentialfunktionernas grafer, olika baser 8 7 y=(1/2) x =1/(2 x )=2 x y=1 x y=2 x y=e x F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

7 Den naturliga exponentialfunktionen Definition Talet e är det tal som när vi har det som bas för exponentialfunktionen får en graf vars tangent i (0, 1) skär x-axeln i punkten ( 1, 0). Talet e = är irrationellt. Decimalutvecklingen fortsätter alltså i all oändliget utan att upprepa sig. Det gäller att den naturliga exponentialfunktionens, e x (= exp(x)), har en graf vars tangent i punkten (x, e x ) har en tangentlinje med lutningen e x (e 0 = 1 så det överrensstämmer med definitionen). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

8 Exponentialfunktionernas grafer, basen e och andra y=e x y=e x y=e 2x y=e x/ F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

9 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

10 Den naturliga logaritmfunktionen Eftersom den naturliga exponentialfunktionen är strängt växande finns till varje givet y > 0 ett x så att y = e x. Definition Låt y > 0 vara givet. Det tal x som löser y = e x kallar vi den naturliga logaritmen av y och vi skriver x = ln(y) (= e log(y)). Det gäller alltså att ln(x) = exp 1 (x), d.v.s. den naturliga logaritmen är den naturliga exponentialfunktionens invers. Annorlunda uttryckt har vi att ln(exp(x)) = x, x D exp = R eller exp(ln(x)) = x, x D ln = {x : x > 0}. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

11 Den naturliga logaritmfunktionens graf 3 y=ln(x) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

12 Logaritm- och exponentialfunktionernas grafer 7 6 y=ln(x) y=e x y=x F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

13 Logaritm- och exponentialfunktionernas grafer 3 y=exp(x) y=ln(x) y=x 2.5 (a,exp(a))=(a,b) (b,a)=(b,ln(b)) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

14 Egenskaper hos den naturliga logaritmfunktionen D ln = (0, ) V ln = R ln(x) är en strängt växande funktion. ln(1) = 0 ln(e) = 1 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

15 Räkneregler för logaritmer Theorem Låt x, y > 0 och p R. 1 ln(xy) = ln(x) + ln(y) ( ) 2 ln 1 y = ln(y) ( ) 3 ln x y = ln(x) ln(y) 4 ln(x p ) = p ln(x) Dessa regler bör du kunna bevisa och absoulut kunna! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

16 Ett vanligt fel Det gäller i allmänhet inte att ln(a + b) = ln(a) + ln(b). FEL!!! Ett sådant räknefel ger stora avdrag på tentan. På överbetygsdelen kan det ge noll poäng på uppgiften. Övning: Undersök för vilka kombinatoner av a och b likheten faktiskt gäller. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

17 Allmänna logaritmer Mer generellt så vet vi att om a > 0, a 1 och y > 0 så finns det ett unikt x R så att y = a x. Det motiverar följande definition. Definition Låt a, y > 0. Det tal x som löser y = a x kallar vi a-logaritmen av y och vi skriver x = a log(y). De viktigaste logaritmerna är 2 log(x), e log(x) = ln(x) samt 10 log(x) = lg(x) (i boken, ibland är 10 log(x) = log(x).). Räknereglerna för den naturliga logaritmen gäller även för a-logaritmer. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

18 Egenskaper hos logaritmer Egenskaperna för den naturliga logaritmen gäller för a-logaritmer med lite modifikation. Da log = (0, ) Va log = R om a 1. a log är en strängt monoton funktion om a 1. a log är en strängt växande funktion om a > 1. a log är en strängt avtagande funktion om a < 1. a log(1) = 0 a log(a) = 1 Övning: Vilka motsvarande egenskaper gäller då 0 < a < 1? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

19 Konvertering mellan logaritmer med olika baser Theorem Med a, b > 0, a, b 1 gäller att a log(x) = b log(x) b log(a). Bevis. Om x = a y så gäller att a log(x) = y och b log(x) = b log(a y ) = y b log(a) = a log(x) b log(a) så satsen följer efter divison med b log(a). Studera vad detta innebär med a, b = 2, e, F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

20 Tillämpningar av logaritmer Viktiga tillämpningar av 10-logaritmer för självstudier: Decibel. Viktigt bl.a. vid studier av förstärkare. (Se Ex ) ph. (Se Ex ) Kan komma på tentan... F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

21 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

22 Gränsvärden Skapandet av differentialkalkylen är en av de största prestationerna i vetenskapens historia och och teorin bakom differentialkalkylen har haft ett stort inflytande på det vetenskapliga tänkandet 1 Differentialkalkylen är helt beroende av begreppet gränsvärde. 1 Håkan Blomqvist i Grundläggande analys för högskolestudenter. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

23 En liten motivering Betrakta den rationella funktionen R(x) = x2 1 x 1. D R = R \ {1} = (, 1) (1, ). Om x D R så är x2 1 x 1 = (x 1)(x+1) x 1 = x + 1. Funktionen h(x) = x + 1 har D h = R. Det gäller att h R ty D R D h. Men h(x) = R(x) för alla x D R (D R D h ). Om vi låter x D R närma sig talet 1 så kommer R(x) närma sig talet 2 = h(1). Om vi gör definitionen g(x) = så gäller att D h = R och h = g! { R(x), x 1 2, x = 1 Detta är möjligt då R har gränsvärdet 2 då x går mot 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

24 Grafen till R(x) = x 2 1 x (x 2 1)/(x 1) x= Figur: Funktionen är odefinierad i x = 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

25 Fler frågeställningar När x = 1 i föregående exempel fick vi att R(1) = 0 0. Vi kunde då utvidga definitionsmängden genom att sätta (Farligt!) 0 0 = 2. Det kan man absolut inte alltid göra! P.s.s. som innan så är 2(x2 1) x 1 funktionen blir 0 0 = 4. = 2x + 2 och om vi ska utvidga den Att betrakta det hela som att 0 0 har något värde är inte fruktsamt (det är dessutom farligt). Vi bör istället ställa oss frågan: Vilket värde närmar sig en funktion f (x) när x närmar sig a? Den frågan kan vi ställa oss även om f (a) är definierat. Om a D f men vi får uttryck på formen f (a) = 0/0, f (a) = ± / eller f (a) = ±( ) så kan gränsvärdet då x närmar sig a finnas. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

26 Informell definition av gränsvärde Vi säger att f (x) har gränsvärdet G då x går mot a om f (x) kan fås att anta ett värde godtyckligt nära G om x är tillräcklig nära a. Vi skriver lim f (x) = G x a eller f (x) G då x a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

27 Några exempel Det gäller att x 2 4 då x 2. Skriv x = 2 + h med 0 < h 1, dvs h nära noll. Då är x 2 = (2 + h) 2 = h + h = 4 då h 0 d.v.s. då x 2. sin(x) Det gäller att lim x 0 x = 1. Man kan (och vi ska, senare) visa att cos(x) < sin(x) x < 1 om 0 < x < π/2. Vi vet att cos(x) 1 då x 0 så instängningsregeln (se nedan) ger påståendet! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

28 cos(x) < sin(x) x < cos(x)<sin(x)/x< 1 for x close to 0 y=sin(x)/x y=1 y=cos(x) Figur: Funktionen sin(x) x är odefinierad i x = 0 men måste ha gränsvärdet 1 då funktionen är instängd mellan 1 och cos(x) 1 då x 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

29 Godtyckligt och tillräckligt nära Definition När vi säger att f (x) kan fås godtyckligt nära G så menar vi att vi kan välja vilket (litet) tal ɛ > 0 som helst och det finns ändå x D f så att f (x) G < ɛ. Definition När vi säger att x är tillräcklig nära a för att något påstående skall vara sant så menar vi att det finns ett δ > 0 så att påståendet är sant för alla x a som är närmare a än δ, dvs om 0 < x a < δ δ < x a < 0 0 < x a < δ a δ < x < a a < x < a + δ. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

30 Punkterad omgivning Definition En punkterad omgivning till talet a är en mängd Ḃ a,δ0 = {x : 0 < x a < δ 0 } där δ 0 > 0. Den punkterade omgivningen innehåller alltså inte a men alla andra tal tillräckligt nära a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

31 Formell definition av gränsvärde Definition Låt f vara en funktion och låt talet a ha en punkterad omgivning som tillhör D f. Om det för varje ɛ > 0 existerar ett tal δ > 0 sådant att om 0 < x a < δ så är f (x) G < ɛ, så säger vi att f (x) går mot G när x går mot a eller, alternativt, att f (x) har gränsvärdet G då x går mot a. Vi skriver lim x a f (x) = G eller f (x) G då x a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

32 Illustration av gränsvärde. 9 8 funktionen f(x)=x 2 a=2 lim x >a f(x)=g= y=4+ε 1 4 y=4 ε 2 y=4 ε 2 3 y=4 ε x=2 δ 2 x=2+δ 2 x=2 δ 1 x=2+δ Figur: Illustration av den formella definitionen av gränsvärde. Om x tillhör den punkterade omgivningen (2 δ 1, 2) (2, 2 + δ 1 ) så är x 2 4 < ɛ 1. Om x tillhör (2 δ 2, 2) (2, 2 + δ 2 ) så är x 2 4 < ɛ 2. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

33 Räkneregler för gränsvärden Låt f, g, h vara funktioner med definitonsmängder D f, D g och D h och anta att a har en punkterad omgivning Ḃ(a, δ 0 ) D f D g D h. Antag att lim x a f (x) = A och lim x a g(x) = B. Då gäller att 1 lim x a (f (x) + g(x)) = lim x a f (x) + lim x a g(x) = A + B. 2 lim x a (f (x) g(x)) = lim x a f (x) lim x a g(x) = A B. 3 lim x a (f (x) g(x)) = lim x a f (x) lim x a g(x) = AB. f (x) limx a f (x) 4 lim x a g(x) = lim x a g(x) = A B om B 0. 5 f (x) g(x) lim x a f (x) lim x a g(x) A B. 6 (f (x) h(x) g(x)) (A = B) lim x a h(x) = A. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

34 Gränsvärde då x ± Definition Antag att f är en funktion sådan att för något tal M gäller att (M, ) D f. Om det för varje ɛ > 0 finns ett tal ω sådant att f (x) G < ɛ om x > ω så säger vi att f (x) går mot G, eller att f (x) har gränsvärdet G, då x går mot oändligheten. Vi skriver lim f (x) = G x eller f (x) G då x. Övning: Definiera gränsvärde då x går mot! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

35 y=g ε 2 x=ω1 x=ω 2 Illustration av gränsvärde i oändligheten 3 f(x)=exp( x) lim x f(x)= y=g+ε 1 y=g+ε y=g ε Figur: Funktionen exp( x) har gränsvärdet 0 då x. Om x > ω 1 så är exp( x) 0 < ɛ 1. Om x > ω 2 så är exp( x) 0 < ɛ 2 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

36 Höger- och vänstergränsvärde. Definition Antag att f är en funktion och att det finns ett δ 0 > 0 sådant att (a, a + δ 0 ) D f. Om det för varje ɛ > 0 existerar ett δ > 0 sådant att f (x) G < ɛ för alla x (a, δ) så säger vi att f har högergränsvärdet G i punkten a eller att f (x) går mot G då x går mot a uppifrån (från höger). Vi skriver lim x a + f (x) = G eller f (x) G då x a +. Ibland skrivs x a istället för x a +. Övning: Definiera begreppet vänstergränsvärde! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

37 Illustration av höger och vänstergränsvärde f(x) f:s hgergrnsvrde f:s vnstergrnsvrde Figur: Funktion som saknar gränsvärde då x 0 men har ett vänstergränsvärde (0) och ett högergränsvärde (0.2). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

38 Oegentliga gränsvärden (f (x) ± ) Vi vill ibland slå fast att en funktion f antar hur stora värden som helst när x a. Därför inför vi följande begrepp. Definition Om det för varje N > 0 existerar ett δ > 0 sådant att om 0 < x a < δ så är f (x) > N så säger vi att f (x) går mot oändligheten då x går mot a och skriver lim f (x) = eller f (x) då x a. x a Definition Om det för varje N > 0 existerar ett ω > 0 så att f (x) > N om x > ω så säger vi att f (x) går mot oändligheten då x går mot oändligheten och skriver lim f (x) = eller f (x) då x. x F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

39 Ytterligare oegentliga gränsvärden Övning: Definiera vad som borde menas med lim x a f (x) =, lim x a + f (x) = ( ) lim x a f (x) = ( ), lim x f (x) =, lim x f (x) = ( ). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

40 y=1/(x 1) y=1/ x+1 } y=e x y=x 3 x Figur: Funktioner med oegentliga gränsvärden. x 1 saknar oegentligt gränsvärde i 1 x = 1 men lim x 1 + x 1 =, lim x 1 1 x 1 =. Det gäller 1 attlim x 1 1+x =, lim x e x =. lim x x 3 x 2 = och lim x x 3 x 2 =. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

41 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

42 Kontinuitet Låt f (x) = x 2. Vi har sett att lim x 2 f (x) = 4 = f (2). Det gäller för varje a D f = R att lim f (x) = x a a2 = f (a). Denna egenskap är inte så självklar som man först kan tro, men viktig, vi kallar en sådan funktion kontinuerlig. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

43 Kontinuerlig funktion i en punkt Definition Antag att f är en funktion och att a D f samt att det finns punkter i D f godtyckligt nära a. Vi säger att f är kontinuerlig i a om lim f (x) = f (a). x a Definition Om I är ett intervall sådant att I D f och f är kontinuerlig i varje punkt x I, då säger vi att f är kontinuerlig på intervallet I Definition Om f är kontinuerlig i varje x D f, så säger vi att f är en kontinuerlig funktion F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

44 Illustrationer av begreppet kontinuitet f(x) g(x) Grafen till en kontinuerlig funktion f och en diskontinuerlig i x=1, g Figur: Funktionen f är kontinuerlig i varje punkt och varje intervall i sin definitionsmängd. Den är alltså kontinuerlig. Funktionen g är kontinuerlig i alla punkter utom x = 1. Den är således inte kontinuerlig, men väl kontinuerlig på varje intervall som inte innehåller x = 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

45 Mer diskontinuitet 20 f(x) Figur: Funktionen är diskontinuerlig i varje heltalspunkt. Den är kontinuerlig på varje intervall som inte innehåller något heltal. Särskilt är den kontinuerlig på varje intervall på formen (n, n + 1) där n Z. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

46 Höger- och vänsterkontinuitet Definition Om a D f och det finns punkter x < a : x D f som ligger godtyckligt nära a och lim f (x) = f (a) x a så säger vi att f är vänsterkontinuerlig i a. Definition Om a D f och det finns punkter x > a : x D f som ligger godtyckligt nära a och lim f (x) = f (a) x a + så säger vi att f är högerkontinuerlig i a. Övning: Definiera höger-, respektive vänsterkontinuitet i ett intervall och höger- respektive vänsterkontinuerlig funktion! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

47 Illustration av höger- och vänsterkontinuitet Hgerkontinuerlig Vnsterkontinuerlig Varken h. eller v. kont Figur: Tre funktioner med diskontinuitet. Den blå är höger- och den röda vänsterkontinuerlig. Den svarta är varken höger- eller vänsterkontinuerlig. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

48 Kontinuitet på slutna intervall Om f är en funktion med D f = [a, b] så säger vi att f är kontinuerlig på D f om den är (egentligt med vår definition) kontinuerlig på (a, b), högerkontinuerlig i a och vänsterkontinuerlig i b. Med bokens definition av kontinuitet behöver man inte göra denna omdefinition. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

49 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

50 Sekant 9 8 y=f(x) En sekant till f En annan sekant till f 7 (x+h 1,f(x+h 1 )) (x+h 2,f(x+h 2 )) (x,f(x)) Figur: En sekant är en linje som skär en graf i två punkter säg (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

51 Derivata 30 y=f(x) tangent Sekant till f Figur: Derivatan till f (x) är gränsvärdet av lutningen hos sekanten som skär (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)) få h 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

52 Derivata 30 y=f(x) Sekant till f f(x+h) f(x) 5 h Figur: Lutningen hos sekanten som skär (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)) är f (x+h) f (x) h. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

53 Derivatans definition Definition En funktion f säges ha derivatan f (x) i punkten x som ges av f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h om gränsvärdet existerar. Om så är fallet säger vi att f är deriverbar i punkten x. En funktion som är deriberbar i varje punkt i ett intervall I säges vara deriverbar på I och om den dessutom är deriverbar i hela sin definitionsmängd så är den en deriverbar funktion. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

54 En deriverbar funktion är kontinuerlig Theorem Om en funktion f är deriverbar i en punkt x så är f kontinuerlig i x. Det innebär att om en funtkion är diskontinuerlig i någon punkt så är den inte deriverbar där. Det finns kontinuerliga funktioner som inte är deriverbara t.e.x. f (x) = x. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

55 Theorem Det gäller att Dx k = kx k 1 för alla reella tal k. Notera att Dx 0 = 0 och att det inte finns någon funktion på formen ax k som har derivatan x 1! Notera också att det är flera tryckfel i boken där detta behandlas! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

56 Kurvtangent och derivata Om en kurva är grafen till en deriverbar funktion f så ges dess tangent i punkten (x 0, f (x 0 )) av y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). (Genom varje punkt går en och endast en linje med en bestämd lutning. Den givna linjen går genom den givna punkten och har rätt lutning! Se kapitel 7.3!) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

57 Höger- och vänsterderivator Med hjälp av höger- och vänstergränsvärden så kan vi definiera höger- och vänsterderivator. Definition Högerderivatan av en funktion f i en punkt x betecknas med f +(x) och ges av f +(x) f (x + h) f (x) = lim. h 0 + h Definition Vänsterderivatan av en funktion f i en punkt x betecknas med f (x) och ges av f (x) f (x + h) f (x) = lim. h 0 h F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

58 Deriverbarhet på slutna intervall När vi säger att en funktion är deriverbar på ett slutet intervall [a, b] så menar vi att den är deriverbar i varje inre punkt ( i varje x (a, b)) och högerderiverbar i a och vänstrederiverbar i b. Övning: Med bokens definition av gränsvärde behövs inte den här anmärkningen. Varför? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

59 Deriveringsregler Theorem Om f och g är deriverbara i punkten x och C är ett givet reelt tal så gäller följande. 1 D (f (x) + g(x)) = Df (x) + Dg(x) ( summaregeln ) 2 D (f (x) g(x)) = Df (x) Dg(x) ( differensregeln ). 3 D (Cf (x)) = CDf (x). 4 D (f (x) g(x)) = (Df (x)) g(x) + f (x) (Dg(x)) ( produktregeln ). ( ) 5 D f (x) g(x) = om g(x) 0 ( kvotregeln ). (Df (x))g(x) f (x)(dg(x)) g(x) 2 6 D (f (g(x))) = f (g(x))g (x) ( kedjeregeln ). 7 Df 1 1 (x) = om f är inverterbar i en omgivning av f (f 1 )(x) y = f 1 (x). (Se nedan för en precisare behandling.) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

60 Derivata och inverterbarhet, inversens derivata Theorem Om f är en deriverbar funktion på ett intervall I och f (y) 0 om y I så är f inverterbar på I och dess invers f 1 är deriverbar. Om I är ett öppet intervall ges inversens derivata av Df 1 = 1 f (f 1 (x)) om x är bilden av något y I under f (y = f (x), x I ). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

61 Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

62 Potensfunktioner! Vi har sett att d C = 0, (1) dx d dx Cx n = ncx n 1 n Z. (2) Dessa resultat är specialfall av d 1 x = dx 2 x (3) d dx Cx α = αcx α 1 α R. (4) Vi skall visa detta med hjälp av derivator för exponetialfunktionen och den naturliga logaritmen! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

63 Exponentialfunktioner och logaritmer Det gäller att d dx ex = e x, (5) d dx ax = ln(a)a x, a > 0, (6) d dx ln x = 1, x 0, (7) x d a log x = 1, x 0, (8) dx x ln a F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

64 Trigonometriska funktioner Det gäller att d sin x = cos x, (9) dx d cos x = sin x, (10) dx d dx tan x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x, (11) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

65 Arcusfunktioner Det gäller att d dx arcsin x = 1, (12) 1 x 2 d dx arccos x = 1, (13) 1 x 2 d dx arctan x = x 2, (14) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

66 Logaritmisk derivering Det gäller att Om d dx ln f (x) = f (x), f (x) 0, (15) f (x) f (x) = g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) så är ln f (x) = ln g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) = ln g 1 (x) + ln g 2 (x) ln g k (x). forts. på nästa sida. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

67 Det följer att f (x) f (x) = g 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) g k (x) g k (x) varvid ( g f (x) = f (x) 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) g k (x) ) g k (x) ( g = g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) g k (x) ) g k (x) = g 1(x) g 2 (x)... g k (x) + g 1 (x) g 2(x)... g k (x) g 1 (x) g 2 (x)... g k (x). Detta är en generalisering av produktregeln. Tekniken med logaritmisk derivering är användbar även i tillämpningar! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

68 Implicit derivering Beräkna lutningen för tangenterna till kurvan x 2 + y 2 = 1 i de punkter där y = 1 2. Sätt y = y(x) lokalt. Det måste gälla att d dx y 2 + x 2 = d dx 1 = 0 2yy + 2x = 0 y = x y. Det finns två x värden där y = 1 2 nämligen x = ± 1 2. I punkten ( 1 2, 1 2 ) har tangenten således lutningen 1 och i punkten ( 1 2, 1 2 ) har den lutningen 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari / 68

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys

MA2001 Envariabelanalys MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018 Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59 Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

Meningslöst nonsens. December 14, 2014 December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002

R AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002 RÄKNEÖVNING VECKA 2 David Heintz, 3 november 22 Innehåll Uppgift 29.4 2 Uppgift 29. 3 3 Uppgift 29.2 5 4 Uppgift 3. 7 5 Uppgift 3. 9 6 Uppgift 3.2 Uppgift 29.4 Prove that ln( + x) x for x >, and that ln(

Läs mer

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6 Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Några viktiga satser om deriverbara funktioner. Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner. Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.

Läs mer

Några saker att tänka på inför dugga 2

Några saker att tänka på inför dugga 2 LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades

Läs mer

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018 Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Anteckningar för kursen Analys i en Variabel Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa

Läs mer

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int. Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 31 Repetition Lekt 9 Bestäm största värdet av 5 sin v + 12 cos v. Staffan Lundberg M0038M

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.06. 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.

Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a. SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6825 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Carl Lundholm 5325 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XII Mikael P. Sundqvist Vad handlar gränsvärden om? Det är en kamp mellan epsilon (ε) och delta (δ) analystens främsta verktyg! Klicka här för bild på Barry Simon Gränsvärde av f (x) då x +

Läs mer

Kap Implicit givna funktioner

Kap Implicit givna funktioner Kap 12.8. Implicit givna funktioner A 701. Betrakta ekvationen x 2 y 2 = 0 och funktioner y = y(x). a. Hur många funktioner satisfierar ekvationen? b. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen?

Läs mer

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för istanskursen Matematik A - analyselen vi Uppsala universitet höstterminen 2006. 1. Derivata I grunläggane analys

Läs mer

Kontinuitet och gränsvärden

Kontinuitet och gränsvärden Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika

Läs mer

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013.

Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013. Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013. Reela tal. Rationella tal. Irrationella tal. Slutna intervall. Öppna interlvall. s.5 Koordinater i plan. a(b+c)=ab+ac; Bråkräkning:

Läs mer

4 Fler deriveringsregler

4 Fler deriveringsregler 4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x. Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

6. Samband mellan derivata och monotonitet

6. Samband mellan derivata och monotonitet 34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för

Läs mer

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf. TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk

Läs mer

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 31 augusti 2016 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Funktion Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde

Läs mer

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2. Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till

Läs mer

Föreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.

Föreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd. Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www.math.uu.se/ rikardo/ envariabelanalys/huvudsidor/index.html Funktioner En funktion f, från mängden

Läs mer

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:

Läs mer

Matematik 1. Maplelaboration 1.

Matematik 1. Maplelaboration 1. Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. Före laborationen: Bekanta Dig med innehållet på sid 3. Ögna igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd PoP (papper och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata Kapitel 8 Derivata 8.1 Inledning till derivata Vi vill nu bestämma riktningskoefficienten för tangenten 1 till en given kurva i punkten x. För att få en approximation av tangenten ritas en linje genom

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Modul 2 Mål och Sammanfattning

Modul 2 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Moul 2 Mål och Sammanfattning Derivata. 1. MÅL FÖR MODUL 2 Förstå och använa erivatans efinition Förstå och använa erivata

Läs mer

Lösningsförslag TATM

Lösningsförslag TATM Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Sidor i boken KB 6, 66

Sidor i boken KB 6, 66 Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och

Läs mer

Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).

Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition). GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus av en funktion då går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition. Definition. ( Cauchy Vi säger att funktionen

Läs mer

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2. Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4

Läs mer

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Gränsvärden och L Hôspitals regel Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Gränsvärden och L Hôspitals regel 1 (11) Introduktion Gränsvärdesöverläggningar

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys

MA2001 Envariabelanalys MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och

Läs mer

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING Institutionen för naturvetenska, teknik och matematik (NAT) Institutionen för teknik och hållbar utveckling (THU) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 2 Innehåll Notation, mängdlära och logik........................

Läs mer

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer