Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Transkript

1 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 3 poäng. 0 3 poäng: U. 3 poäng: G. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.. Här är grafen för en funktion f, definierad på [, 6] Rita kurvorna (och se till att det framgår vilken bild som är vilken) (a) y= f (x) (b) y= f (x) (a) Grafen komprimerad med en faktor i x-led (röd). (b) Grafen uttöjd med en faktor i y-led (blå) Rättningsnorm: Kan bara bli rätt eller fel. Bestäm (enbart svar erfordras) (c) f () (fyllda bluppen). (d) lim x f (x)

2 MAA Lösning Sida (av 5) 3 (det värde man landar på då man kommer från vänster). (e) lim f (x) x + (det värde man landar på då man kommer från höger). Rättningsnorm: Gäller (c) (e): Kan bara bli rätt eller fel. (Motivering fordras alltså inte, men finns med här för den som vill ha en förklaring.) (f) lim f (x) x Rättningsnorm: Om man gav samma svar på (d) och (e) får man poäng om man även ger det svaret här. Odefinierad (eftersom höger- och vänstergränsvärdena var olika). (g) Är f kontinuerlig i x=? Motivera ditt svar med hjälp av den formella definitionen av kontinuitet. Nej, ty kontinuitet fordrar att både funktionsvärde och gränsvärde existerar i punkten, och enligt (f) finns inget gränsvärde för x =. Rättningsnorm: p för svaret, p för motivation baserad på formella definitionen. Om man i tidigare uppgifter kommit fram till att värdena finns och är lika ges totalt p för ett motiverat ja.. Bestäm följande gränsvärden: x 6x+5 (a) lim x 5 x 5 Noll-genom-noll -problem, prova att faktorisera: x 6x+5 lim x 5 x 5 (x 5)(x) = lim (x 5)(x+5) = lim x 5 x 5 x x+5 = = 0 = 5 Rättningsnorm: p om man faktoriserat, p till om man kommer till svaret. x 6x+9 (b) lim x 3 x 3 Inga konstigheter här; det är bara att direkt stoppa in x-värdet: x 6x+9 lim = = 0 x 3 x = 0 Rättningsnorm: p om man ser att det är noll genom icke-noll och påstår att detta är odefinierat. cos x (c) lim x x Tips: använd inkapslingssatsen (squeeze theorem). (p) cos x, och /x > 0 då vi går mot oändligheten (som kan ses som positiva ändan av tallinjen). Då har vi att x cos x x x

3 MAA Lösning Sida 3 (av 5) Vidare gäller lim x = 0 och lim x x x = 0 En funktion som ligger mellan två funktioner som båda går mot noll måste (enligt inkapslingssatsen) även den gå mot noll. Så cos x lim = 0 x x Rättningsnorm: Olikheten: p. De två gränsvärdena: p. Svaret: p. 3. Vi har funktionen f, där f (x)=arcsin x. (a) Vad har f för definitionsmängd? Motivera. arcsin t är definierat för tal mellan och. /x går utanför det intervallet om x <. Så definitionsmängden blir x tillsammans med x (eller med andra beteckningar: (,] [, )). Rättningsnorm: p om man klart och tydligt visar att man kan definitionsmängden för arcsin x (men inte lyckats gå vidare till arcsin(/x)). Inga avdrag för missar av typ < istället för eller [ istället för (. (b) Bestäm f (). f ()=arcsin = arcsin()= π. Rättningsnorm: Rätt svar krävs för poäng. (c) Bestäm lim f (x). x Både yttre och inre funktionen i denna sammansatta funktion är kontinuerliga, så lim f (x)= lim arcsin = arcsin lim = arcsin 0=0 x x x x x Rättningsnorm: Om man kommer till att det blir arcsin 0 men inte fixar det värdet ges p. (d) Vad har f för värdemängd? Motivera. Derivataresonemang får ej användas. Vi kan titta på en halva i taget. arcsin t är en strängt växande kontinuerlig funktion. För positiva tal är /x strängt avtagande. I så fall är sammansättningen strängt avtagande. Då kan vi kontrollera värdena i ändarna: f ()=arcsin = arcsin =π Mot oändligheten fann vi redan i förra deluppgiften att värdena går mot noll. För x och uppåt är värdemängden 0<y π/. Symmetri (en sammansättning av två udda funktioner är udda) ger att värdemängden för andra halvan är π/ y<0. Rättningsnorm: p för svaret, p för resonemanget. Felaktigheter i svaret som är följdfel från (b) och (c) ger ej avdrag.

4 MAA Lösning Sida (av 5). (a) En funktion som är strängt monoton (dvs. strängt växande increasing eller strängt avtagande decreasing) är alltid inverterbar. Men kan en funktions som inte är strängt monoton vara inverterbar? Om svaret är Nej, förklara varför. Om svaret är Ja, ge ett exempel på en funktion som är inverterbar men inte strängt monoton. (Formel, graf eller beskrivning i ord går lika bra.) Ja. Exempelvis är f (x) = /x inverterbar men inte monoton. (Båda halvorna av grafen är strängt avtagande, men högerhalvan ligger ovanför vänsterhalvan). Ett annat exempel är den här avbildade sågtandsfunktionen : (Däremot är det sant att en kontinuerlig funktion definierad på ett intervall måste vara strängt monoton för att vara inverterbar. Om den först går uppåt och sedan byter till att gå neråt kommer den att komma tillbaka till funktionsvärden som den redan haft, och då passerar den inte horisontallinjetestet. /x är inte definierad på ett intervall, och sågtandsfunktionen är inte kontinuerlig; det är därför dessa kan vara inverterbara utan att vara monotona.) Rättningsnorm: p för rätt svar, p för begripligt exempel. Om man säger nej och ger en begriplig förklaring som gäller kontinuerliga funktioner på intervall så ges p totalt. Vi studerar funktionen f, där f (x)=3e x+. (b) Ta fram en formel för inversen f till f. Lös ut x ur y= f (x): y=3e x+ y 3 = ex+ ln y 3 = x+ så ln y 3 =x ln(y/3) = x f (x)= ln(x/3) Rättningsnorm: p om det är uppenbart att man försöker göra rätt sak (lösa ut x), sedan poäng efter hur stor del av uträkningen man utfört. (c) Lös ekvationen f (x) = 3. Förenkla svaret maximalt.

5 MAA Lösning Sida 5 (av 5) Frågan kan omformuleras till beräkna f (3), vilket är lätt gjort med hjälp av förra uppgiften: f (3)= ln(3/3) = ln = 0 = Annars kan ekvationen 3e x+ = 3 lösas med huvudräkning: För att 3e x+ ska bli 3 måste e x+ vara, och då måste x+ vara 0. Ger x=/. Rättningsnorm: Inget avdrag om den formel från (b) som man utnyttjar är fel, men värdet ska vara så förenklat som möjligt.