Matematik 1. Maplelaboration 1.
|
|
- Siv Abrahamsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. Före laborationen: Bekanta Dig med innehållet på sid 3. Ögna igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd PoP (papper och penna) och gör en skiss av lösningarna av Dina Maple inlämningsuppgifter. Du behöver inte förbereda färdiga lösningar, utan det räcker med en plan där besvärliga beräkningar lämnas åt Maple. Under laborationen: Gå igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd den tidigare förberedda planen/skissen och begär hjälp av Maple. Maple kommer att hjälpa Dig om Du hjälper Maple, dvs om Du har en bra plan på hur uppgifterna skall lösas. Gör en datorutskrift av lösningarna. Efter laborationen: Om Du (mot förmodan) har blivit djupt förälskad i Maple, fortsätt med övningsuppgifterna 4 på sid 9.
2 . Konstanter, funktioner och kommandon i denna laboration: Pi, E, I, infinity talet π, talet e, imaginära enheten,. abs(x), sqrt(x) x, x. exp(x), ln(x) e x, ln x. sin(x), arcsin(x) sin x, arcsin x. cos(x), arccos(x) cos x, arccos x. tan(x), arctan(x) tan x, arctan x. cot(x), arccot(x) cot x, arccot x. expand(uttryck) simplify(uttryck) subs(x=a,uttryck) utvecklar uttrycket. T.ex. expand((x+)*(x-)^3); ger x 4-2x 3 + 2x -. förenklar uttrycket. T.ex. simplify((a^2-b^2)/(a+b)); ger a - b. substituerar x = a i uttrycket. T.ex. subs(x=3,x+); ger 4. var:='var' återger variabeln var dess symbolvärde. Se exempel 4. solve(ekv,x) löser ekvationen ekv m a p x. T.ex. solve(x^3-2*x+6=,x); ger -4, 2, 2. solve({ekv,ekv2},{x,y}) löser ekvationssystemet ekv ekv2 m a p x och y. T.ex. limit(f(x),x=a) solve({x-2*y=,3*x+y=7},{x,y}); ger {x=2, y=}. beräknar lim f(x). Skriv x=infinity om x. T.ex. x a limit(x/(x+),x=infinity); ger. f:=x->uttryck definierar funktionen f(x) = uttryck. För att få pilen -> skriv - och >. T.ex. f(x) = x 2 3 x + sin x fås genom f:=x->x^2-3*x+sin(x). plot(uttryck,x=a..b) ritar kurvan y = uttryck i intervallet a < x < b. T.ex. plot(x^2,x=..2); ritar kurvan y = x 2, < x < 2. plot(uttryck,x=a..b,c..d) ritar kurvan y = uttryck för a < x < b, c < y < d. plot({uttryck,uttryck2}) ritar kurvorna y = uttryck och y = uttryck2 i en bild. plot({[x,uttryck,x=a..b],[x,uttryck2,x=c..d]},x=s..t) ritar kurvan y = uttryck om a < x < b uttryck2 om c < x < d i intervallet s < x < t. 2
3 2. Exemplen. Exempel. Rita kurvan y = x 4 x x 2 5 x + 24 för < x < 5 och 2 < y < 3. Lös ekvationen y =. Lös olikheten y. y:=x^4-*x^3+35*x^2-5*x+24: plot(y,x=..5,-2..3); rot:=solve(y=,x); rot := 234,,, Ekvationen y = har fyra rötter:,2,3 och 4. (Jämför med figuren). olikhet:=solve(y<=,x); olikhet := RealRange ( 2, ), RealRange ( 34, ) Olikheten y satisfieras av sådana x att x 2 eller 3 x 4. (Jämför med figuren). Exempel 2. Rita grafen till funktionen f(x) = x + ln (2 sin x) ln (2 + sin x). Observera en viss symmetriegenskap hos grafen. Bevisa att grafen verkligen har denna egenskap. f:=x->x+ln(2-sin(x))-ln(2+sin(x)): plot(f(x),x=-2..2); Av bilden att döma är grafen symmetrisk med avseende på origo (åtminstone på intervallet 2 < x < 2), vilket innebär att likheten f(x) = f( x) äger rum för alla x (man säger då att f är en udda funktion). Låt Maple kontrollera detta f(x); -f(-x); x + ln ( 2 sin( x )) ln ( 2 + sin( x) ) x + ln ( 2 sin( x )) ln ( 2 + sin( x) ) Alltså f(x) = f( x) för alla x. 3
4 Exempel 3. Bestäm a så att l i m ax 2 5x x (a 4)x 2 + = 3. lim:=limit((a*x^2-5*x)/((a-4)*x^2+),x=infinity); a lim := a 4 a:=solve(lim=3); a := 6 Svar: a = 6. Exempel 4. expand((a+b)^2); Ett vanligt fel: Vi vill utveckla (a + b) 2. Detta kan göras med hjälp av kommandon expand((a+b)^2) och vi förväntar oss svaret a 2 + 2ab + b b + b 2 Detta är något oväntad. Maple har utvecklat (6 + b) 2 i stället för (a + b) 2, alltså Maple uppfattar a som talet 6. Varför? I exempel 3 har vi genom lim:=limit((a*x^2-5*x)/((a-4)*x^2+),x=infinity): a:=solve(lim=3); a := 6 tillordnat a värdet 6. Om a skall betraktas som en variabel måste denna tillordning upphävas, vilket kan göras genom a:='a'; a := a Nu är a en vanlig variabel och vi får expand((a+b)^2); a ab+ b 2 Exempel 5. Låt f(x) = 2 (3x + 3 x ). Visa att f(x + y) + f(x y) = 2 f(x) f(y). f:=x->(3^x+3^(-x))/2: VL:=f(x+y)+f(x-y): HL:=2*f(x)*f(y): VL-HL; 4
5 2 3( 49 x+ x4 x x ) 2 3( 49 x x4 + x 3 35 x ) 2 3( 5 x x4 + x 3 35 x 2 24 ) 2 3( 5 x+ x4 x x ) x 2 3( x) + 2 3( x4 x x 2 5 x + 24 ) 2 3( x4 + x 3 35 x x Förenkla detta simplify(vl-hl); Alltså VL HL =. Exempel 6. Linjen y = ax + b sägs vara en sned asymptot till kurvan y = f(x) om lim (f(x) ax b) = eller/och x l a = lim f (x) x För kurvan f:=x->x^3-sqrt(+x^6)+3*sqrt(9+x^2)+: a:=limit(f(x)/x,x=infinity): b:=limit(f(x)-a*x,x=infinity): y:=a*x+b; y := 3 x + x i m (f(x) ax b) =. Då gäller det att och b = lim (f (x) ax) (gränsvärden då x eller x ). y = x 3 + x x 2 + gäller att alltså y = 3x + är en asymptot då x. Då x fås a:=limit(f(x)/x,x=-infinity); a := Inget reellt värde på a alltså ingen asymptot då x. Sammanfattning: kurvan har en asymptot y = 3x + då x. Vi kan rita kurvan och dess asymptot i en bild plot({f(x),3*x+},..2); Exempel 7. Lös ekvationen arcsin 2 x + arccos x = π 6. Illustrera lösningen med en figur. 5
6 Vi försöker med solve(arcsin(2*x)+arccos(x)=pi/6,x); men får inget svar. Detta innebär att antingen finns det ingen lösning eller att Maple inte kan lösa ekvationen trots att lösningen finns. Följande metod kan leda till framgång: VL:= arcsin(2*x) + arccos(x): HL:=Pi/6: ekvation:=vl=hl: nyekvation:=expand(sin(vl)=sin(hl)): eventuellrot:=solve(nyekvation,x); - eventuellrot :=, 2 2 kontroll(/2):=simplify(subs(x=/2,ekvation)); kontroll(-/2):=simplify(subs(x=-/2,ekvation)); kontroll := 2 5 = 6 π 6 π kontroll := - 2 = 6 π 6 π Svar: x = /2. plot((vl-hl)(x),x=-..); Exempel 8. Visa att man kan välja ett sådant värde på c att funktionen f given av f (x) = cx för x sin cx x för x > blir kontinuerlig i punkten x =. Rita grafen till f dels för detta c värde och dels för c = 2. Välj intervallet 3 < x < 3. Kontinuiteten innebär att f() = lim f(x) samt f () = lim f(x) och vi låter Maple x x + undersöka för vilka c detta kommer att inträffa fleft:=c*x/3+3: fright:=sin(c*x)/x: limminus:=limit(fleft,x=): limplus:=limit(fright,x=): f():=subs(x=,fleft): kontinuerligom:=solve({f()=limminus,f()=limplus},c); kontinuerligom := { c = 3} Det sökta värdet: c = 3. Vi sätter in detta värde i uttrycken för fleft och fright och ritar grafen till f för 3 < x < 3 6
7 fleftc3:=subs(c=3,fleft): nyfrightc3:=subs(c=3,fright): plot({[x,fleftc3,x=..3],[x,frightc3,x=-3..]},-3..3); 3 Fallet c= fleftc2:=subs(c=2,fleft): frightc2:=subs(c=2,fright): plot({[x,fleftc2,x=..3],[x,frightc2,x=-3..]},-3..3); 3 Fallet c=
8 4. Övningsuppgifter.. Hur många reella rötter har ekvationen x 4 2x 3 + (5 a 2 ) x 2 + 2a 2 x 5a 2 =, där a är en reell konstant? Rita kurvan y = x 4 2x 3 + (5 a 2 ) x 2 + 2a 2 x 5a 2 då a = 3. Pröva med några intervall för x och y. 2. Rita i en bild kurvorna: y = x 2, y = 3 x 2, y = (x + 3) 2, y = x Pröva med några intervall för x och y och försök identifiera kurvorna i bilden. 3. Bestäm skärningspunkterna mellan kurvorna y = x 33x 2 2x 3 + x 4 och y = 2x x 2. Illustrera lösningen med en figur. 4. Låt f(x) = ax 2 + bx + c. Visa att f(x + 3) 3 f (x + 2) + 3 f (x + ) f (x) =. 5. Bestäm de sammansatta funktionerna f g, g f, f f och g g om f(x) = x3 x 2 + och g(x) = x 2 x. 6. Betrakta funktionen f(x) = ax 2 + bx + c. a. Bestäm konstanterna a,b och c så att f( + 5) =, f( + 6) = 2 och f ( + 7) = 3. b. Rita grafen till f. c. Bestäm skärningspunkterna mellan grafen till f och koordinataxlarna. d. Bestäm det minsta värdet som funktionen f antar. 7. Rita hyperbeln y 2 4x 2 = för 2 < x < Undersök om funktionen f(x) = ln + x är udda, jämn eller varken udda eller x 2 jämn. 9. Linjen y = ax + b går genom punkterna (,) och (2,4). Rita linjen.. Lös ekvationen 2 arccos x arcsin 2 x = arcsin x.. Rita kurvan y = 4 arctan (x ) 2x arctan e x och dess eventuella asymptoter. 8
9 2. Visa att funktionen f(x) = arccot (2x + ) arctan ( ) + x bestäm konstantens värde., x > är konstant och 3. Kan funktionen f(x) = (2 cos x) /x2 definieras i punkten x = så att f blir kontinuerlig i denna punkt? 4. Funktionen f(x) = 2 ex e x är inverterbar (varför?). Bestäm inversen f till f. Rita i en bild kurvorna y = f(x), y = f (x) och y = x. Kan man förvänta sig några symmetriegenskaper? Motivera. 9
10 5. Lösningsförslag.. a:='a': y:=x^4-2*x^3+(5-a^2)*x^2+2*a^2*x-5*a^2: solve(y=,x); + 2 I, 2 Ia a,, alltså två reella rötter x = ±a (och två icke reella x = ± 2 i). y:=subs(a=3,y): plot(y,-5..5,-..3); 2. plot({x^2,3*x^2,(x+3)^2,x^2+3},-4..,..4); 3. y:='y': y:=45+4*x-33*x^2-2*x^3+x^4: y2:=-2*x-*x^2: punkter:=solve({y=y,y=y2},{x,y}); punkter := { y = -29, x = -3},{ y = -29, x = -3},{ x = 4, y = -239},{ x = 4, y = -239} plot({y,y2},-4..5); 4. b:='b': f:=x->a*x^2+b*x+c: VL:=f(x+3)-3*f(x+2)+3*f(x+)-f(x): HL:=: simplify(vl=hl); = 5. f:=x->x^3-x^2+: g:=x->x^2-x-: sammansatta:=simplify([fg=f(g(x)),gf=g(f(x)),ff=f(f(x)),gg=g(g(x))]); sammansatta := [ fg = x 6 3 x x 3 5 x x 4 + x 2, gf = x 6 2 x 5 + x 3 + x 4 x 2, ff = x 9 3 x 8 + x x 7 4 x 5 + x x 4 x 2 +, gg = x 4 2 x 3 2 x x + ]
11 6. f:=x->a*x^2+b*x+c: ekv:=f(+sqrt(5))=: ekv2:=f(+sqrt(6))=2: ekv3:=f(+sqrt(7))=3: konstanter:=solve({ekv,ekv2,ekv3}); konstanter := { c = -3, a =, b = -2} f:=x->x^2-2*x-3: plot(f); xaxeln:=solve(f(x)=); yaxeln:=f(); xaxeln := -, 3 yaxeln := -3 minstaf(x):=f((-+3)/2); minstaf( x) := hyperbeln:=y^2-4*x^2=: dessgrenar:=solve(hyperbeln,{y}); dessgrenar := { y = + 4 x 2 }, { y = + 4 x 2 } plot({sqrt(4*x^2+),-sqrt(4*x^2+)},-2..2); 8. f:=x->ln((+x)/sqrt(-x^2)): summa:=simplify(f(x)+f(-x)); summa := x + ln + ( x ) ( x + ) ln x ( x ) ( x + ) vilket innebär att f är en udda funktion. 9. linjen:=y=a*x+b: ekv:=subs(x=,y=,linjen): ekv2:=subs(x=2,y=4,linjen): solve({ekv,ekv2}); { a = 3, b = -2} linjensekvation:=subs(a=3,b=-2,linjen); linjensekvation := y = 3 x 2 plot(3x-2);
12 . VL:=2*arccos(x)-arcsin(2*x): HL:=arcsin(x): ekv:=vl=hl: nyekv:=expand(sin(vl)=sin(hl)): eventuellrot:=solve(nyekv); eventuellrot :=,, 2 kontroll():=simplify(subs(x=,ekv)); kontroll(/2):=simplify(subs(x=/2,ekv)); kontroll(-/2):=simplify(subs(x=-/2,ekv)); kontroll( ):= π = kontroll := 2 = 6 π 6 π kontroll := - 2 = 6 π 6 π Svar: x = /2.. y:=4*arctan(x-)-2*x*arctan(exp(x)): a:=limit(y/x,x=infinity); b:=limit(y-a*x,x=infinity); A:=limit(y/x,x=-infinity); B:=limit(y-A*x,x=-infinity); a := π b := 2 π A := B := 2 π plot({y,a*x+b,a*x+b}); 2. f:=x->arccot(2*x+)-arctan(+/x): tangesavf(x):=simplify(expand(tan(f(x)))); tangesavf( x) := - Detta innebär att f(x) = π/4 + n(x)π där n(x) är ett heltal. Kontinuiteten av f medför att n(x) är en konstant, dvs f(x) = π/4 + nπ för något heltal n och för alla x >. Följaktligen är f en konstant funktion och i så fall är f(x):=limit(f(x),x=infinity); - 2 2
13 f( x) := 4 π 3. f:=x->(2-cos(x))^(/x^2): definieraf():=limit(f(x),x=); definieraf( ) 2 := e Svar: f blir kontinuerlig i punkten x = om man definierar f() = e /2. 4. Funktionerna 2 ex och e x är strängt växande f(x) = 2 ex e x är strängt växande f är inverterbar. Detta innebär att ekvationen y = f(x) x = x(y). f:=x->(/2)*exp(x)-exp(-x): y:='y': solve(y=f(x),x); Här får vi två lösningar till ekvationen lösning, ty och y byta plats: y = f (x) = ln(x + x 2 + 2). ln ( y + y ), ln ( y y ) y y <. Alltså inversen ges av inversen:=ln(x+sqrt(x^2+2)): plot({f(x),inversen,x},-..,-..); y = f(x), men ln(y y 2 + 2) har precis en reell lösning är en icke reell x = f (y) = ln(y + y 2 + 2). Låt x Som väntat är kurvorna y = f(x) och y = f (x) symmetriska med avseende på linjen y = x. 3
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Matematik 1. Maplelaboration 2.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. . Kommandon, funktioner och konstanter i denna laboration: expand(uttryck) simplify(uttryck) utvecklar uttrycket. T.ex. expand((x+)*(x-)^);
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merKapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner
Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.
Läs merTentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merAlgebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln
Bastermin HT, Matematik Högskolan i Halmstad Version 00-08-0/0-08-5 Bertil Nilsson/Mats Gunnarsson Häfte A Algebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln. Förenkla
Läs merNotera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.
SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merKap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merKap Dubbelintegraler.
Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs mer2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.06. 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merLABORATION I MAPLE MIKAEL STENLUND
LABORATION I MAPLE MIKAEL STENLUND. Introduktion I laborationen skall ett program som heter Maple användas för att lösa ett antal matematiska problem. Maple är ett symbolhanterande program som har ett
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merDugga 2 i Matematisk grundkurs
Linköpings tekniska högskola Matematiska institutionen Tillämpad matematik Kurskod: TATA68 Provkod: TEN Inga hjälpmedel är tillåtna. Dugga i Matematisk grundkurs 013 16 kl 8.00 1.00 Lösningarna skall vara
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Calmers tekniska ögskola Datum: 1015 kl. 0.0 12.0 Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 07 607040 LMA222a Matematik DAI1 oc EI1 Tentan rättas oc bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merBlock 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd
Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs merHär finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).
GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus av en funktion då går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition. Definition. ( Cauchy Vi säger att funktionen
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merSymboliska beräkningar i Matlab
CTH/GU LABORATION 6 MVE45-5/6 Matematiska vetenskaper Inledning Symboliska beräkningar i Matlab Verktygslådan Symbolic Math Toolbox i Matlab kan utföra symbolisk matematik. Vi skall se på ett antal exempel
Läs merMatematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Differential- och integralkalkyl, del 2. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Differential- och integralkalkyl, del. Maplelaboration 1. Exempel 1. Vart tog den lilla sträckan vägen? Maple är utrustad med ett avanserat ritprogram. Programet
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 31 Repetition Lekt 9 Bestäm största värdet av 5 sin v + 12 cos v. Staffan Lundberg M0038M
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merTMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.
TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merLektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.08.06 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merKOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK
KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merMatematisk analys, laboration II. Per Jönsson Teknik och Samhälle, Malmö Högskola
Matematisk analys, laboration II Per Jönsson Teknik och Samhälle, Malmö Högskola Viktig information om laborationerna I analyskursen ingår tre obligatoriska laborationer. Under laboration används Matlab/GNU
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM79 08-0-04 a Binomialsatsen medför att b Eftersom 5 = 3 + 4i 3 i 5 5 k 5 k k = 3 5 80 4 + 80 3 40 + 0 4i 3 = 3 + 4i3 + i 0 gäller att realdelen blir 9 4 + 3 = + i3 5 = 9 + i3, c Summan
Läs merf(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna
Läs merInstitutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)
Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b
Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:
Läs merIntervallhalveringsmetoden, GKN sid 73. Sekantmetoden, GKN sid 79
e x sin(x) = 2 Intervallhalveringsmetoden, GKN sid 73 f(x) = 0 = Roten finns x f(x) i intervallet Skrivs Intervallangd ----------------------------------------------------------------------------- 1.0-0.1232
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs mer