KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
|
|
- Johan Jonsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006
2 Håkan Strömberg KTH Syd
3 Innehåll Derivatans definition Uppgift Uppgift Standardderivator Utantill Derivata Kedjeregeln Uppgift Derivata Produktregeln Uppgift Uppgift Derivata Kvotregeln Uppgift Uppgift Implicit derivering Uppgift Uppgift Största och minsta värde hos en funktion Uppgift Uppgift Grafritning Uppgift Optimering Uppgift Uppgift Standardintegraler Utantill
4 INNEHÅLL Integraler Uppgift Uppgift Partiell integrering Uppgift Uppgift Integrering med substitution Uppgift Uppgift Uppgift Integrering med partialbråksuppdelning Uppgift Uppgift Bestämd integral Uppgift Uppgift Generaliserad integral Uppgift Uppgift Rotationsvolym Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Håkan Strömberg 4 KTH Syd
5 INNEHÅLL Derivatans definition Uppgift Bestäm med hjälp av derivatans definition derivatan till f(x) = x 3 + x + 4 Vi kan med enkla medel bestämma derivatan till detta polynom och vet att vi ska få resultatet f (x) = 3x +. Definitionen ger oss följande f(x + h) f(x) lim h 0 h Vi utvecklar täljaren och får = lim h 0 (x + h) 3 + (x + h) + 4 (x 3 + x + 4) h (x+h) 3 +(x+h)+4 (x 3 +x+4) (x 3 +3x h+3xh +h 3 )+(x+h)+4 (x 3 +x+4) 3x h + 3xh + h 3 + h h(3x + 3xh + h + ) Vårt gränsvärdesproblem får nu följande utseende Målet är nått! h(3x + 3xh + h + ) lim = lim 3x + 3xh + h + = 3x + h 0 h h 0 Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6 DERIVATANS DEFINITION Uppgift Bestäm med hjälp av derivatans definition derivatan till f(x) = sinx + cosx Vi kan enkelt bestämma, med hjälp standardderivator, derivatan till f (x) = cosx sinx Men nu är det derivatans definition som gäller: sin(x + h) sinx cos(x + h) cosx lim + lim h 0 h h 0 h Här gäller det att känna till de trigonometriska formlerna sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ cos(α + β) = cos α cosβ sin α sinβ Vi behandlar nu ett gränsvärde i taget och börjar med det första sinxcosh + cosxsinh sinx lim h 0 h som i sin tur sönderfaller i två gränsvärden och sinx cosh sinx lim h 0 h = lim h 0 sin x(cosh ) h cosxsinh lim h 0 h = sinx lim h 0 cosh h = cosx lim h 0 sinh h = cosx = sinx 0 Dessa två gränsvärden kan man klara med l Hospitals regel. Över till det andra gränsvärdet cosx cosh sinx sinh cosx lim h 0 h som även det sönderfaller i två och cosx(cosh ) cosh lim = cosx lim = cosx 0 h 0 h h 0 h sinx sin h sinh lim = sinx lim h 0 h h 0 h = sinx Även dessa med l Hospitals regel. Vi sammanställer svaret till det väntade f (x) = cosx sinx Håkan Strömberg 6 KTH Syd
7 INNEHÅLL Standardderivator Utantill Följande derivator bör du kunna utantill. Lita inte på att du kan härleda dem med hjälp av derivatans definition D[x a ] = a x a D[sinx] = cosx D[cosx] = sinx D[tanx] = D[e x ] = e x D[ln x ] = cos x x D[a x ] = a x lna D[arcsinx] = x D[ x] = x D[arctanx] = + x Håkan Strömberg 7 KTH Syd
8 DERIVATA KEDJEREGELN Derivata Kedjeregeln Uppgift Bestäm derivatan till f(x) f(x) = sin(ln(cos x)) f (x) = cos(ln(cosx)) ( sin(x)) = tan(x) cos(ln(cosx)) cos x Håkan Strömberg 8 KTH Syd
9 INNEHÅLL Derivata Produktregeln Uppgift Bestäm derivatan till f(x) = x sinx Med hjälp av produktregeln D[g(x) h(x)] = g (x)h(x) + g(x)h (x) får vi om vi väljer g(x) = x och h(x) = sinx f (x) = x sinx + x cosx Uppgift Bestäm derivatan till Här måste vi använda produktregeln f(x) = x sinx lnx D[g(x) h(x)] = g (x)h(x) + g(x)h (x) två gånger. Vi väljer g(x) = x och h(x) = sin x lnx och får f (x) = x sin x ln x+x D[sinx lnx] x sin x ln x+x ( cosx lnx + sinx ) x x( sinx lnx + x cosx lnx + sinx) Håkan Strömberg 9 KTH Syd
10 DERIVATA KVOTREGELN Derivata Kvotregeln Uppgift Bestäm derivatan till Med kvotregeln D f(x) = sinx cosx [ ] f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) får vi f cosx cosx (sinx ( sinx) (x) = cos x Vi har använt trigonometriska ettan sin α + cos α = = cos x Eftersom har vi alltså bestämt tanx = sinx cosx D[tanx] = cos x Uppgift Bestäm derivatan till lnx cosx f(x) = x Här måste vi kombinera kvotregeln med produktregeln f (x) = D[lnx cos x] x (lnx cosx) x x 4 ( x cosx + lnx( sinx)) x (lnx cosx) x x 4 x cosx + x lnx( sinx) x lnx cosx x 4 cosx x lnx sinx lnx cosx x 3 Håkan Strömberg 0 KTH Syd
11 INNEHÅLL Implicit derivering Uppgift Bestäm kurvans lutning i punkten (, ) för ekvationen y 3 + x 3 = xy Bekvämast är att derivera implicit och vi får Vi löser ut y och får Punkten (, ) ger oss 3y y + 3x = y + xy y = Svar: Tangentens k-värde är y = y 3x 3y x 3 ( 3 ( ) ) = Håkan Strömberg KTH Syd
12 IMPLICIT DERIVERING Uppgift När Konsum skulle designa sin logo kom de på att punkten ( till ekvationen (x + y ) (x y ) = 0 Bestäm linjens ekvation för kurvans tangent i den punkten. 3, 3 ) ligger på kurvan Vi har små möjligheter att uttrycka y som funktion av x och måste därför derivera implicit D[(x +y ) (x y )] = D[x 4 +y 4 +x y x +y ] = 4x 3 +4y 3 y +4xy +4x yy x+yy Vi löser nu ut y 4x 3 + 4y 3 y + 4xy + 4x yy x + yy = 0 4y 3 y + 4x yy + yy = x 4x 3 4xy y (y 3 + x y + y) = (x x 3 xy ) y = x x3 xy y 3 + x y + y Linjens lutning får vi nu genom att sätta in punkten i detta uttryck y = ( ) ) ( 3 + ( 3 3 ( 3) ) = 5 Utgår vi nu från punkten (, ) och k = kan vi bestämma m i y = kx + m till och få linjen 3 = y = m 5 x + 5 Håkan Strömberg KTH Syd
13 INNEHÅLL Största och minsta värde hos en funktion Uppgift Bestäm största och minsta värde av funktionen i intervallet x 0 Plan: f(x) = x 3 3x x + 6 Är funktionen kontinuerlig i intervallet? Har funktionen några singulära punkter? Punkter där derivatan inte är definierad. 3 Ta reda på funktionens stationära punkter genom att lösa f (x) = 0 4 Avgör om möjligt, genom f (x), om de stationära punkterna är maxpunkter eller minpunkter 5 Ta reda på f(x) för intervallets ändpunkter. 6 Bestäm nu funktionens största respektive minsta värde i intervallet. Genomförande: Funktionen är kontinuerlig för x från till, så då speciellt på intervallet x 0 Funktionen har inga singulära punkter 3 Funktionen har derivatan f (x) = 6x 6x f (x) = 0 då 6x 6x = 0, som har rötterna x = och x =. Eftersom x = ligger utanför aktuellt intervall finns endast en stationär punkt i intervallet (, f( )) = (, 3) 4 Vi tar fram andra derivatan f (x) = x 6 f ( ) = 8 < 0, medför att vi har att göra med en maxpunkt. 5 I intervallets ändpunkter har vi f( ) = och f(0) = 6 6 Det är endast bland de tre punkterna (, ), (, 3) och (0, 6) vi kan finna funktionens största respektive minsta värde på intervallet x 0. Håkan Strömberg 3 KTH Syd
14 STÖRSTA OCH MINSTA VÄRDE HOS EN FUNKTION Svar: Funktionens största värde är 3 och dess minsta är Håkan Strömberg 4 KTH Syd
15 INNEHÅLL Uppgift Bestäm största och minsta värde av funktionen f(x) = x 3 + x 70x på intervallet 7 x 3, samt funktionens nollställen. Plan: Är funktionen kontinuerlig i intervallet? Har funktionen några singulära punkter? Punkter där derivatan inte är definierad. 3 Ta reda på funktionens stationära punkter genom att lösa f (x) = 0 4 Avgör om möjligt, genom f (x), om de stationära punkterna är maxpunkter eller minpunkter 5 Ta reda på f(x) för intervallets ändpunkter. 6 Bestäm nu funktionens största respektive minsta värde i intervallet. 7 Lös ekvationen f(x) = 0 för att få funktionens nollställen. Genomförande: - Polynom är kontinuerliga på hela R. Dessutom saknar de singulära punkter. Derivatan är definierad på hela R. 3 Funktionen har derivatan f (x) = 6x + 4x 70 Vi löser så andragradsekvationen för att få funktionens stationära punkter 4 Funktionens andraderivata är 6x + 4x 70 = 0 x + 4x 45 = 0 x = ± x = ± 7 x = 9 x = 5 f (x) = x + 4 Eftersom f ( 9) < 0 är punkten ( 9, f( 9)) = ( 9, 944) en maxpunkt och eftersom f (5) > 0 är punkten (5, f(5)) = (5, 800) en minpunkt. 5 Vi bestämmer så och f( 7) = 768 f(3) = 9 Detta är det minst komplicerade tredjegradspolynom, där maxpunkter, minpunkter och nollställen alla är heltal. Trots det klarar vi knappast beräkningarna utan att miniräknare. Håkan Strömberg 5 KTH Syd
16 STÖRSTA OCH MINSTA VÄRDE HOS EN FUNKTION 6 Det största respektive det minsta värdet finns i intervallets ändpunkter. Största värdet är 9 och minsta värdet är Återstår att lösa ekvationen x 3 + x 70x = 0 Vi ser att en rot är x = 0. De andra två rötterna får vi genom att lösa Grafen bekräftar att vårt resultat är korrekt. x + x 70 = 0 x + 6x 35 = 0 x = 3 ± 9 35 x = 3 ± x = 9 x = 5 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
17 INNEHÅLL Grafritning Uppgift Skissa grafen till funktionen Plan: Vi ska nu i tur och ordning bestämma Funktionens nollställen Asymptoter 3 Extrempunkter 4 Värdetabell Genomförande: f(x) = x4 4 3x + x Funktionens nollställen, är kurvans skärning med x-axeln. Att lösa ekvationen x 4 4 3x + x = 0 är inte lätt. Det blir ofta så när man vill lösa ett problem med en intressantare derivata. En rot kan vi hitta x = 0. Återstår dock en tredjegradsekvation att lösa när vi förkortat bort ett x. x 3 4 3x + = 0 En rot får vi med hjälp av dator x = De andra två är inte reella (en fjärdegradsekvation har ju som bekant fyra rötter inklusive de icke reella). När x går f(x) och då x går åter f(x). Vi förstår av detta att kurvan kommer uppifrån skär x-axeln, vänder och försvinner uppåt igen. Av detta förstår vi att det måste finnas åtminstone en minpunkt. Däremot inga asymptoter. 3 Vi deriverar och f (x) = x 3 3x + och sätter f (x) = 0. Vi får åter en tredjegradsekvation att brottas med. Om det ska vara någon vits med denna uppgift måste vi kunna gissa en eller flera Håkan Strömberg 7 KTH Syd
18 GRAFRITNING rötter. x = är en rot. Företar vi nu en polynomdivision får vi x 3 3x + : x + = x x + x 3 +x x x 3x 4x x + x + Denna andragradsekvation löser vi 0 x x + = 0 med andra kvadreringsregeln till (x ) = 0, som ger dubbelroten x,3 =. Teckenstudium av derivatan ger oss nu x < x = < x < x = x > ց 0 ր 0 ր Vi sätter helt enkelt in något x-värde i f (x), för de olika intervallen och läser av om derivatan är > 0 eller < 0. Från tabellen kan vi avläsa att vi har att göra med en minpunkt och en terrasspunkt. f( ) = 6 ger oss maxpunkten (, 6) och f() = 3 ger oss terrasspunkten (, 3) Vi samlar till sist den information om grafen vi fått x 0 3 y typ Nollställe Minpunkt Terrass Med dessa punkter som stöd och vetskapen om hur funktionen beter sig då x ± kan vi skissa kurvan Håkan Strömberg 8 KTH Syd
19 INNEHÅLL Optimering Uppgift Bestäm den till arean största rektangel som kan skrivas in i den yta som begränsas av x-axeln, y-axeln och funktionen f(x) = 8 x Ett hörn kommer att ligga i origo, ett på x-axeln, ett på y-axeln och ett på kurvan till funktionen. Vi löser ekvationen 8 x 3 = 0 och får roten x =. Vi vet från detta att hörnet på x-axeln ligger i intervallet [0, ]. Om hörnet på x-axeln har koordinaten (x, 0) så har hörnet på kurvan koordinaterna (x, 8 x 3 ). Rektangeln har då en bas med längden x och en höjd som är 8 x 3. Rektangelns area A blir då A(x) = x(8 x 3 ) Det är denna funktion vi ska finna ett största värde för då x [0, ]. Vi startar med att derivera funktionen och får A (x) = 8 4x 3 När vi löser A (x) = 0 får vi roten x = 3. Då A ( 3 ) = ( 3 ) < 0 har vi funnit en maxpunkt. Vi ser genast att arean är 0 för x i intervallets ändpunkter. Alltså måste det sökta maxvärdet vara A( 3 ) = 3 (8 ( 3 ) 3 ) = 6 3 Håkan Strömberg 9 KTH Syd
20 OPTIMERING Uppgift Av en 0 meter lång ståltråd vill man skapa en liksidig triangel och en kvadrat. Var ska tråden klippas av, för att den största respektive den minsta möjliga sammanlagda arean ska erhållas? Till att börja med har vi två kända formler för triangeln respektive kvadratens area. A T = b h Speciellt för en liksidig triangel med sidan b gäller 3b A T = 4 A K = s som vi får genom att betrakta den halva liksidiga triangeln tillsammans med Pythagoras sats: ( ) b h = b = b 3 Antag att vi använder x meter till kvadraten då återstår 0 x meter till triangeln. Detta betyder att kvadratens sida s = x/4 och triangelns bas b = (0 x)/3. Vi kan nu teckna den totala arean som funktion av x A(x) = A T + A K = ( ( x 3 0 x + 3 4) 4 Nu är det dags att bestämma f (x) och lösa f (x) = 0 ) f (x) = ( 8 ) 3(x 0) + 8x 44 ( 8 ) 3(x 0) + 8x = (x 0) + 8x = 0 8 3x x = 0 8 3x + 8x = 80 3 x = = (4 ) 3(x 0) + 9x 44 Håkan Strömberg 0 KTH Syd
21 INNEHÅLL Är det ett minimum eller ett maximum vi har? Enklast ser vi detta genom att bestämma f(0) = 5/4 = 6.5 (allt till kvadraten) och f(0) = (allt till 3 triangeln). Vi har alltså ett minimum vid x 4.35 m, då den sammanlagda arean endast är.7 m. Största arean får vi då allt används till kvadraten, 6.5 m. Detta bekräftas av funktionens graf Håkan Strömberg KTH Syd
22 STANDARDINTEGRALER Standardintegraler Utantill Följande standardintegraler ska man kunna utantill: x a dx = xa+ + C då a a + sinxdx = cosx + C cosxdx = sinx + C dx sin x = tan x + C dx cos x = tanx + C e x dx = e x + C dx x = ln x + C dx x = arcsinx + C dx + x = arctanx + C Ännu bättre är det kanske, att med hjälp av satsen: Sats. Låt a 0 och b vara konstanter. Låt F(x) vara primitiv funktion till f(x). Då gäller f(ax + b) dx = a F(x) + C räkna fram denna tabell istället för att lära sig den utantill: (ax + b) n dx = (ax + b)n+ a(n + ) cos(ax + b)dx = sin(ax + b) a + C då a + C dx sin (ax + b) = a tan(ax + b) + C dx ln ax + b = + C ax + b a sin(ax + b)dx = cos(ax + b) a + C dx tan(ax + b) cos = + C (ax + b) a e (ax+b) dx = e(ax+b) a + C dx arcsin(ax + b) = + C (ax + b) a dx arctan(ax + b) = + C + (ax + b) a Håkan Strömberg KTH Syd
23 INNEHÅLL Integraler Uppgift Bestäm t 6 t dx t 6 t ( ) t 6 dx = t 4 t t dx = t dx 4 t 4 Uppgift t 4 t3 dx = t 3 + t + C Bestäm tan xdx Här utnyttjar vi den förträffliga satsen f (x) dx = ln f(x) + C f(x) Eftersom och D[cosx] = sinx får vi tanxdx = sinx cosx dx = tanx = sinx cosx sinx cosx dx = ln(cosx) + C Håkan Strömberg 3 KTH Syd
24 PARTIELL INTEGRERING Partiell integrering Uppgift Bestäm integralen Vi har formeln x e x dx f(x)g(x) = F(x)g(x) F(x)g (x) Vi väljer g(x) = x. Det kommer att ta en stund, men för varje gång vi deriverar g(x) kommer gradtalet att avta. Till sist har vi bara e x kvar att integrera och då är det lätt ( ) e x x dx = e x x e x xdx = e x x e x x e x dx = e x x (e x x e x ) = e x( x x + ) + C Håkan Strömberg 4 KTH Syd
25 INNEHÅLL Uppgift Bestäm integralen sinx cosxdx I: Vi löser problemet med partiell integration och väljer f(x) = sinx. sinx cos xdx = cosx cosx ( cosx)( sinx) dx = cos x cos x sinxdx Vi har fått tillbaka samma integral igen och kan skriva sin x cosxdx = cos x sinx cosxdx = cos x II: Vi löser problemet med substitution och väljer t = cosx, som leder till dt = sinxdx eller dt = sinxdx och vi får t dt = t = x cos + C + C III: Vi löser problemet med följande trigonometriska samband. sinα = sinα cosα och ersätter vår integral med sinx cosxdx = sinxdx = cosx + C För att komma till samma utseende på vårt svar, som ovan, måste vi även blanda in cosα = cos α som vi skriver om till och substituerar i vårt resultat cosx cosα + C = cos x = cos α + C = cos x + C = cos x + C plus ett tal C vilket som helst måste förstås vara ett tal C vilket som helst! Tre olika metoder som leder till samma mål. Håkan Strömberg 5 KTH Syd
26 INTEGRERING MED SUBSTITUTION Integrering med substitution Uppgift Bestäm dx (3 5x) En uppgift som gjord för substitution. Vi väljer Integralen övergår nu i t = 3 5x x = 3 t 5 dx = 5 dt dt 5 = dt t 5 t = 5 t + C = 5(3 5x) + C Uppgift Bestäm integralen + x dx Sätt t = x och vi får x = t och dx = t dt + x dx = Återställ nu substitutionen ( t + t dt = + t x log + x + C ) dt = t log + t = Håkan Strömberg 6 KTH Syd
27 INNEHÅLL Uppgift 3 Beräkna 3x cosx 3 dx Funktionen t = x 3 är ett lämpligt val. Vi bestämmer inversen x = t 3 Vi deriverar och får dx dt = 3t 3 omskrivet till dx = dt 3t 3 Nu vet vi vad vi ska ersätta dx och x med i integralen. ( ) cost 3 t dt 3 3t 3 3t 3 cost dt 3t 3 = costdt = sint + C = sinx 3 + C Egentligen är det i detta skede ganska lätt att se att 3x är innerderivatan när vi bestämmer D[cosx 3 ] Håkan Strömberg 7 KTH Syd
28 INTEGRERING MED PARTIALBRÅKSUPPDELNING Integrering med partialbråksuppdelning Uppgift Faktorisera nämnaren. Ekvationen x x + x 6 dx x + x 6 = 0 har rötterna x = och x = 3 och integralen övergår nu till ansatsen där vi nu söker A och B. A x + B x + 3 A x + B x + 3 = A(x + 3) + B(x ) (x )(x + 3) = (A + B)x + (3A B) (x )(x + 3) Som leder till ekvationssystemet { A + B = 3A B = 0 med lösningen A = och B = 3. Till sist har vi nu att integrera 5 5 ) ( x x + x 6 dx = 5(x ) + 3 5(x + 3) dx = 5 5 ln x + 3 ln x C 5 dx x dx dx x + 3 dx = Håkan Strömberg 8 KTH Syd
29 INNEHÅLL Uppgift Bestäm integralen x 3 3x Partialbråksuppdelning är den metod som ska användas här. Först startar vi med att faktorisera nämnaren genom att lösa ekvationen: x 3 3x = 0 En tredjegradsekvation där det är enkelt att gissa att en rot är x =. Genom polynomdivisionen x 3 3x x kommer vi att få ett polynom av andra graden, vars motsvarande andragradsekvation kommer att ge de andra två rötterna. x 3 3x : x = x +x + x 3 x x x 3x 4x x x 0 Det uttryck vi fått kan vi faktorisera direkt med första kvadreringsregeln x + x + = (x + )(x + ) Vi kan nu skriva om vår integral till (x + )(x + )(x ) dx Vi gör en ansats (x + )(x + )(x ) = A x + + B (x + ) + C x Observera alltså hur man hanterar en partialbråksuppdelning där samma faktor, (x+) förekommer två gånger. Med hjälp av identifiering ska vi nu ta reda på A, B och C. Vi gör liknämnigt A(x + )(x ) (x + ) (x ) + B(x ) C(x + ) + (x + ) (x ) (x + ) (x ) = Håkan Strömberg 9 KTH Syd
30 INTEGRERING MED PARTIALBRÅKSUPPDELNING (Ax Ax A) + (Bx B) + (Cx + Cx + C) (x + ) (x ) (A + C)x + (B A + C)x + (C A B) (x + ) (x ) Detta leder fram till följande ekvationssystem A + C = 0 A + B + C = 0 C A B = Med lösningen A =, B = 9 och C =. Detta leder till att integralen kan 3 9 skrivas: (x + )(x + )(x ) dx = 9 x + dx 3 = = (x + ) dx ln x + + 3(x + ) + ln x + C 9 x dx Håkan Strömberg 30 KTH Syd
31 INNEHÅLL Bestämd integral Uppgift Bestäm π 0 x sinxdx Vi tar till partiell integrering för att finna den primitiva funktionen. f(x) = sinx och g(x) = x. f(x)g(x) dx = F(x)g(x) F(x)g (x) dx ger π 0 sinx xdx = [ cosx x] π 0 cosx dx = [ cosx x] π 0 + [sin x]π 0 = π ( 0) + (0 0) = π Uppgift Bestäm b b ln xdx = Vi har här alltså en ekvation där vi ska bestämma b så att den bestämda integralen får värdet. Först tar vi itu med att finna den primitiva funktionen till: lnxdx = lnxdx = x ln x x dx = x ln x x + C x Vi ordnar det alltså med partiell integrering, där vi sätter f(x) =. Återstår så att lösa ekvationen b ln xdx = [x lnx x] b = b lnb b ( ln ) = b(lnb ) + = b(lnb ) = 0 ln b = b = e Svar: b = e Håkan Strömberg 3 KTH Syd
32 GENERALISERAD INTEGRAL Generaliserad integral Uppgift Bestäm 0 dx + x T dx lim T 0 + x = lim T [arctanx]t 0 = lim arctant arctan0 = π T Vilken kurva är vilken? Svar: π Håkan Strömberg 3 KTH Syd
33 INNEHÅLL Uppgift Bestäm Vi skriver om integralen T [ dx lim T (x ) = lim 3 T (x ) dx (x ) 3 ] T ( ) = lim T ( ) + = (T ) Håkan Strömberg 33 KTH Syd
34 ROTATIONSVOLYM Rotationsvolym Uppgift En del av arean under kurvan till funktionen f(x) = x + 3 roteras kring x-axeln. Bestäm denna kropps volym Med hjälp av formeln får vi π b a (f(x)) dx π 3 ( x + 3 ) dx = π 3 [ ] x x 4 + 6x dx = π 5 + x3 + 9x dx = ) ( 3 5 π = 59π 5 Håkan Strömberg 34 KTH Syd
35 INNEHÅLL Uppgift Det område som innesluts av f(x) = x 3 och g(x) = x och x = ska roteras kring x-axeln. Med hjälp av formeln π b a (f(x)) (g(x)) dx kan vi bestämma denna volym. Först måste vi lösa den enkla ekvationen f(x) = g(x) x 3 = x som har roten x =. Vi vet dessutom att x 3 > x då x >, så nu kan vi teckna vår integral ( π ) x 3 ( ) [ ] x x dx = π x 6 x 4 7 dx = π = ( ) 7 π = 48π 35 7 x5 5 Håkan Strömberg 35 KTH Syd
36 ROTATIONSVOLYM Uppgift Rotera den skuggade ytan mellan funktionen och x-axeln kring y-axeln. Med hjälp av formeln -3 f(x) = 4x x 3 V = π b a xf(x) dx får vi den önskade volymen. Genom att lösa ekvationen 4x x 3 = 0 som har rötterna x = och x = 3 får vi gränserna och vår integral blir V = π 3 x(4x x 3) dx = π 3 [ ] 4x 4x x xdx = π 3 x4 4 3x = )) ( π ( = 6π 3 Håkan Strömberg 36 KTH Syd
37 INNEHÅLL Uppgift 4 Den cirkulära badringen i figuren har en innerdiameter på 30 cm. Tvärsnittsarean är också en cirkel med diametern 8 cm. Bestäm badringens volym. En cirkel med radien r har ekvationen x + y = r så länge den är placerad med centrum i origo. En cirkel som har sitt centrum i punkten (x, 0), alltså någonstans på x-axeln har ekvationen (x x ) + y = r I vårt fall är radien 9 och x = om vi placerar badringen som i figuren ovan med sitt stora centrum i origo. Vi får då cirkelns ekvation till (x 4) + y = 8 Som en kontroll, då y = 0 är x = 5 och x = 33. Om vi löser ut y ur ekvationen får vi y = ± 8 (x 4) Med hjälp av formeln Får vi V = π V = π 33 5 b a xf(x) dx x 8 (x ) dx Håkan Strömberg 37 KTH Syd
38 ROTATIONSVOLYM Gränserna kommer från 5 = 4 9 och 33 = Detta är tyvärr en svår integral som vi inte klarar i den här kursen. Datorn ger oss den den här primitiva funktionen (( x x 369 ) ( ) 8 (x 4) ) x 4 π + 97 arcsin + C 3 9 Med gränserna insatta ger detta volymen 944π. Eftersom detta är halva badringens volym, vi har ju bara roterat den övre halvan av cirkeln, är hela volymen 3888π Håkan Strömberg 38 KTH Syd
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0
Onsdag oktober kl :5, Sal 09, Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Variabelsubstitution Sats. Antag att funktionen f(x) har en primitiv funktion F(x) och att funktionen t(x) är deriverbar. Då gäller:
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merMoment 10.1,10.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T10.1,T10.2,T10.3a,b,c,e,Ö10.1a-f,Ö10.3b-e
Moment 0.,0. Viktiga exempel 0.-0.5 Övningsuppgifter T0.,T0.,T0.3a,b,c,e,Ö0.a-f,Ö0.3b-e Integraler Definition. F(x) sägs vara primitiv funktion till f(x) på intervallet I om F (x) = f(x) Anmärkning. Det
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs mer2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs mercos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merIngen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.
Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merKapitel 5: Primitiva funktioner
Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till
Läs merx 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7
TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
TM-Matematik Mikael Forsberg ovntenta Envariabelanalys ma3a Skrivtid: ::. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa på de uppgifter som kräver lösning. Frågorna till 6 ska
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs mer7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter
TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013
SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera
Läs merAllt du behöver veta om exponentialfunktioner
Allt du behöver veta om exponentialfunktioner Problem 1. Funktionerna a) a(x) = e x b) b(x) = e x c) c(x) = 4 x e x ln4 d) d(x) = 3 10 x 3 e x ln10 e) e(x) = ex 3 avbildas i figuren. Vilken är vilken?
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merMATEMATISK FORMELSAMLING
Avdelningen för ämnesdidaktik och matematik (DMA) Avdelningen för kvalitetsteknik, maskinteknik och matematik (KMM) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA (Utkast aug, 0) Innehåll Notation, mängdlära och logik........................
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merEgentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.
Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merf(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merx 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merLedtrå dår till lektionsuppgifter
Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs mer