KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
|
|
- Ann Lundqvist
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KS övning 1 Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och AC i E. Man vet att AD = 6 cm. Beräkna CE. Problem 4. Bestäm vinklarna A, B, C, D och E i pentagrammen. Problem 5. Bestäm vinkeln v Problem 6. I koordinatsystemet ska man ta sig från punkten (1,2) till punkten (7,10), men måste på vägen passera, antingen (3, 2) eller (4,12). Bestäm längden av den kortaste vägen. Håkan Strömberg 1 KTH STH
2 KS övning 1 Lösningar Svar 1. Svar Svar 3. Antag att AE = x cm. Vi får ger x = 4.8 cm. CE = = 7.2 cm Svar: 7.2 cm Svar (x 1 3 y 1 3)(x 2 3 +x 1 3y 1 3 +y 2 3) x x 2 3y 1 3 +x 1 3y 2 3 x 2 3y 1 3 x 1 3y 2 3 y x y x 6 = Den violetta regelbundna pentagonen kan söderdelas i tre trianglar. Varje triangel har vinkelsumman180. Alltså har pentagonen då vinkelsumman3 180 = 540. Detta betyder i in tur att vinklarna i pentagonen = 108. De fem likbenta trianglarna har då basvinklarna = 72. Då har pentagrammens spetsar vinkeln = 36. Svar: 36 Svar 5. Svar: 38 Svar 6. tanv = v = arctan (1 3) 2 +(2 ( 2)) 2 + (3 7) 2 +(( 2) 10) (1 4) 2 +(2 12) 2 + (4 7) 2 +(12 10) Svar: Den kortaste vägen är 14 l.e. Håkan Strömberg 2 KTH STH
3 KS övning 2 Problem 7. Utveckla parenteserna (x 1 2 7)(x ) Problem 8. Två vaser har samma form men olika storlek. Den större vasen är 1.5 dm hög och har volymen 1.2 dm 3. Den mindre vasen är 1.0 dm hög. Bestäm den mindre vasens volym. Problem 9. I ABC är AB = AC = 6 cm och BC = 5 cm. En rät linje, parallell med BC skär AB i D och AC i E, så att DE = 3.5 cm. Beräkna sträckan BD. Problem 10. Bestäm ekvationen för linjen i figuren genom att läsa av lämpliga punkter. Problem 11. Lös ut a ur formeln Problem 12. x a+y a 5 = 3 Bestäm den stora triangelns vinklar Håkan Strömberg 3 KTH STH
4 KS övning 2 Lösningar Svar 7. Svar 8. Längdskalan är Volymskalan är Volymskalan = Längdskala 3. Svar: 0.36 dm 3 Svar 9. Antag att AD = x cm. Vi får ger x = 4.2 cm. BD = = 1.8 cm Svar: 1.8 cm (x 1 2 7)(x ) x+3 x 7 x 21 x 4 x 21 h liten hstor = V liten Vstor = V liten Vstor = ( ) V liten = x 3.5 = 6 5 Svar 10. Vi läser av punkterna (4,3) och ( 1, 2) och bestämmer k genom k = 3 ( 2) 4 ( 1) = 1 Vi har nu y = x + m och bestämmer m genom att sätta in en av punkterna 3 = 4 + m och får m = 1, vilket stämmer bra med figuren. Svar: y = x 1 Svar 11. Svar 12. Svar: 63,42,75 x a+y a 5 a(x+y) 5 arcsin arcsin = 3 = 3 15 a = x+y ( 15 a = x+y ) arcsin arcsin Håkan Strömberg 4 KTH STH
5 KS övning 3 Problem 13. Förenkla Problem 14. Lös ut c ur formeln ( a 2 ) 3 b a ( 3 b 2 a 3 b 4 ab 1 a = 2b cd ) 5 Problem 15. En likbent triangel har omkretsen 36 cm. Beräkna arean om höjden mot basen är 12 cm. Problem 16. En rät linje har k = 2 och går genom punkten ( 2, 3). Bestäm linjens ekvation. Problem 17. Summan av två tal är 5.6 och differensen är 1.8. Vilka är talen? Problem 18. Bestäm koefficienterna a och b så att, linjerna ax+by+2 = 0 och 3x 4y 5 = 0 sammanfaller. Håkan Strömberg 5 KTH STH
6 KS övning 3 Lösningar Svar 13. Svar 14. ( a 2 ) 3 b a ( 3 b 2 a 3 b 4 ab 1 a 6 b 3 a 9 b 12 a 15 b 10 a 5 b 5 a 15 b15 b15 a 20 a = 1 a 5 2b cd ) 5 a 2 = 4b2 cd Svar 15. c = 4b2 a 2 d Antag att triangelns ben är x. Då är basen 36 2x. Betrakta den rätvinkliga triangeln ABD där BD = 18 x. Pythagoras sats ger (18 x) 2 = x 2 som ger x = 13. Ger basen BC = = 10 cm. Arean blir då Svar: 60 cm 2 A = = 60 Svar 16. Vi har redan y = 2x+m. Återstår att bestämma m ger m = 7 Svar: y = 2x 7 3 = 2( 2)+m Svar 17. Antag att det ena talet är x och det andra y Vi får följande ekvationssystem: { x+y = 5.6 x y = 1.8 Genom att addera de två ekvationerna (additionsmetoden) får vi som till sist ger 3.7+y = 5.6, y = 1.9 Svar: 3.7 och 1.9 2x = 7.4 x = 3.7 Håkan Strömberg 6 KTH STH
7 Svar 18. Vi startar med att lösa ut y i de två ekvationerna och får och y = a b x 2 b y = 3 4 x 5 4 Vi vet nu att k- och m-värden ska vara lika. Detta leder till ekvationerna 2 b = 5 4 som ger b = 8 5 = 1.6. b insatt i ekvationen a b = 3 4 ger 5a 8 = 3 4 som ger a = 6 5 = 1.2 Svar: a = 1.2 och b = 1.6 Håkan Strömberg 7 KTH STH
8 KS övning 4 Problem 19. Förenkla ( ) 4( 5 a ) 2 2a 25 Problem 20. I vilka punkter skär den räta linjen y = 2x 3, x- och y-axlarna? Problem 21. I figuren är AD 16 cm längre än BD. Hur lång är CD? Problem 22. En bassäng har volymen 200 m 3. En annan bassäng har tre gånger så långa kantlängder (längd, bredd och djup). Beräkna den större bassängens djup om dess bottenarea är 600 m 2. Problem 23. Lös ekvationen med avseende på x a x+b = b x+1 Problem 24. Har funktionen y = x 2 4x 21 en max- eller minpunkt? Bestäm koordinaterna för denna punkt Håkan Strömberg 8 KTH STH
9 KS övning 4 Lösningar Svar 19. ( ) 4( 5 a ) 2 2a a 4 a a 2 Svar 20. Eftersom m = 3 skär den y-axeln i punkten (0, 3). Skärningen med x-axeln får vi genom att lösa ekvationen 0 = 2x 3 som har roten x = 3 2. Svar: (0, 3) respektive ( 3 2,0) Svar 21. Antag att BC = x. Pythagoras ger x 2 = 40 2 som i sin tur ger BC = 32 cm. Om BD = y är AD = y+16 och CD = 32 y. För triangel ADC ger Pythagoras (32 y) = (y+16) 2 som ger y = 14 Svar: 14 cm Svar 22. Längdskalan mellan de två bassängerna är 1 : 3. Detta betyder att areaskalan är ( ) 2 1 = Antag att den lilla bassängen har bottenarean y m 2. Vi får då y 600 = 1 9 som ger y = = Vi kan nu bestämma den lilla bassängens höjd som vi antar är z m. Vi tecknar volymen 200 z = som ger z = 3. Antag att den stora bassängens höjd är v. Genom längdskalan får vi som ger v = 9 m. Svar: 9 m Svar 23. v 3 = 3 1 a x+b = b x+1 a(x+1) = b(x+b) ax+a = bx+b 2 ax bx = b 2 a x = b2 a a b Håkan Strömberg 9 KTH STH
10 Svar 24. Funktionen har en minpunkt eftersom koefficienten framför x 2 (som är 1) är > 0. Genom att lösa ekvationen 0 = x 2 4x 21 får vi reda på funktionens nollställen. Vi får då x 1 = 3 och x 2 = 7. Vi vet att x-koordinaten för minpunkten ligger mitt emellan rötterna. Vi får = 2. Vi sätter in x = 2 i funktionen och får y-koordinaten till y = = 25 Svar: (2,25) Håkan Strömberg 10 KTH STH
11 KS övning 5 Problem 25. Förenkla xy3 1 x3 y Problem 26. Kvadratens sida är 16 cm. Hur långa är de med x markerade sträckorna? Problem 27. En linje går genom punkterna (0, 2) och (2, 8). En annan går genom punkterna (6, 0) och (12,6). Bestäm linjernas skärningspunkt. Problem 28. Bestäm den lilla skuggade triangelns area. Problem 29. Bestäm den efterfrågade sidan exakt. Problem 30. Lös ekvationen med avseende på a (a 3 +a 2 b) = 5a+3b 2a Håkan Strömberg 11 KTH STH
12 KS övning 5 Lösningar Svar 25. Svar xy3 x3 y y 1 xy x xy y x ABC är en halv likbent triangel. AB = 16 x och BC = 8. Pythagoras sats ger som ger x = 10 cm Svar: 10 cm 8 2 +(16 x) 2 = x 2 Svar 27. Vi startar med att bestämma de två linjernas ekvationer. Linje 1. 2 = 3 0+m ger m = 2. y = 3x+2 Linje 2. k = = 3 k = = 1 0 = 1 6+m ger m = 6. y = x 6 Vi bilar så ekvationen genom att sätt de två linjernas ekvationer lika. 3x+2 = x 6 som ger x = 4. Insatt i en av linjernas ekvationer får vi y = 1 ( 4) 6 = 10 och vi har skärningspunkten ( 4, 10) Svar 28. Först bestämmer vi hypotenusan c, i den lilla triangeln c 17 = tan30 ger c = 17 tan Den skuggade triangelns katetrar a och b får vi genom att den skuggade triangeln är likformig med den stora. sin60 = a och cos60 = b som ger a = sin och b = sin Med hjälp av formeln Svar: a.e. A = bh 2 = Håkan Strömberg 12 KTH STH
13 Svar 29. Till höger har vi en halv kvadrat och till vänster en halv liksidig triangel. Antag att kvadraten har sidan y. Med hjälp av Pythagoras sats får vi y 2 +y 2 = 10 2 som ger y = 50. Höjden i den liksidiga triangeln är då också 50. Antag att sidan i den liksidiga triangeln är x (hypotenusan i triangeln). Basen i den vänstra triangeln är då x 2. Genom att åter använda Pythagoras får vi ( x ) 2 +( 50) 2 = x 2 2 som ger x = Svar: Svar a 3 +a 2 b = 5a+3b 2a a 2 (a+b) = 3(a+b) a 2 = 3 a = ± 3 Även a = b är en möjlighet, för då blir båda sidor 0. Svar: a = ± 3 och a = b Håkan Strömberg 13 KTH STH
14 KS övning 6 Problem 31. Beräkna utan miniräknare Problem 32. Linjen L 1 går genom origo och är vinkelrät mot linjen L 2 : y = x Bestäm ekvationen för L 1 Problem 33. I en ABC är AB = 4 cm, BC = 5 cm och AC = 6 cm. På sidan AB ligger punkten D, så att BD = 2.5 cm. På sidan BC punkten E, så att BE = 2 cm. Beräkna längden av sträckan DE. Problem 34. Lös ekvationen Problem 35. Lös ut a ur Vilka krav ska man ställa på c? Problem 36. x+2 = 0 a+b c = a b 2c ABD = 37, BD = 40 cm och AC = 39 cm. Bestäm CD Håkan Strömberg 14 KTH STH
15 KS övning 6 Lösningar Svar Svar 32. En linje som är vinkelrät mot en annan med k-värdet 1 3 har k-värdet 3, enligt formeln k 1 k 2 = 1. Eftersom den sökta linjen går genom origo är m = 0. Vi får då y = 3x. Svar 33. När man insett att de två trianglarna är likformiga är svaret nära. Till höger ser vi topptriangeln vänd och inpassad i den den större. Antag att DE = x. Vi får som ger x = 3. Svar: 3 cm Svar 34. x 6 = 2 4 Uttrycket inuti absolutbeloppstecknet = 0 då x + 2 = 0, ger x = 2 Nu är det ännu enklare! Vi ser direkt att x = 2 är en rot. x < 2 (x+2) = 0 x = 2 x 2 x+2 = 0 x = 2 Ska man nu vara riktigt noga så är inte roten till den första ekvationen äkta eftersom x = 2 inte ligger i intervallet x < 2. Men den andra är äkta eftersom x = 2 ligger i intervallet x 2. Svar: x = 2 Svar 35. a+b c ( ) a+b 2c c = a b 2c ( ) a b = 2c 2c 2a+2b = a b c 0 a = 3b Håkan Strömberg 15 KTH STH
16 Svar 36. Vi startar med att bestämma AD = x tan37 = x 40 ger x = AD Antag att CD = y. Med hjälp av Pythagoras får vi så som ger y Svar: 25 cm y 2 = 39 2 Håkan Strömberg 16 KTH STH
17 KS övning 7 Problem 37. En rät linje, L 1, skär y-axeln då y = 3 och x-axeln då x = 2. En annan linje, L 2, skär x-axeln då x = 6. Var skär L 2 y-axeln om de två linjerna skär varandra under rät vinkel? Problem 38. Ett åkerfält har formen av en ABC, där AB = 108 m, AC = 144 m och BC = 180 m. Från en punkt D på AB, belägen 48 m från B, vill man tvärs över fältet sätta en gärdesgård DE parallell med BC. Hur lång blir gärdesgården? Problem 39. Volymen hos en pyramid med kvadratisk basyta är 6.4 m 3. Sidan i kvadraten är 2 m. En skalenlig modell har volymen 100 cm 3. Vilken längd har sidan i modellens kvadrat? Problem 40. Lös ekvationen x+2 +x = 6 Problem 41. För vilka värden på a har ekvationen två lika rötter? x 2 +ax+a = 0 Problem 42. Lös ekvationssystemet { 2(x+y) = 3(x y) 2x+y = 22 Håkan Strömberg 17 KTH STH
18 KS övning 7 Lösningar Svar 37. Först bestämmer vi k-värdet för L 1, som går genom de två punkterna (0,3) och (2,0) k 1 = = 3 2 Det är nu känt att k-värdena för två linjer som skär varandra under rät vinkel har sambandet k 1 k 2 = 1. Detta betyder att k 2 = 2 3. Vi vet nu följande om L 2 Sätter vi in de kända punkten (6,0) får vi y = 2 3 x+m 0 = m som ger m = 4, som också är y-koordinaten till skärningspunkten. Linjens ekvation är L 2 : y = 2 3 x 4 Svar: L 2 skär y-axeln i (0, 4) Svar 38. ED är en parallelltransversal. Topptriangelsatsen ger ger x = 100 Svar: 100 m x 180 = Svar 39. Vi använder oss av följande fakta: Längdskalan i kubik är lika med volymskalan ( l1 ) 3 = v 1 Detta ger l 2 ( x ) 2 = 200 x = v x 3 = x = x = 5 Svar: 5 cm Håkan Strömberg 18 KTH STH
19 Svar 40. Uttrycket inuti absolutbeloppstecknet = 0 då x+2 = 0, ger x = 2 Vi delar upp ekvationen i två ekvationer. En där x < 2 och en där x 2. Målet är nu ta bort absolutbeloppstecknet. För x i det intervall där absolutbeloppstecknet griper in och ändrar tecken, sätter man in ett minustecken framför uttrycket som stod innanför absolutbeloppstecknet. x < 2 (x+2)+x = 6 x 2+x = 6 2 = 6 x 2 x+2+x = 6 x+2+x = 6 2x = 4 x = 2 Nu måste vi kolla att roten x = 2 ligger i det intervall som vi studerar. x = 2 ligger i intervallet x 2. Den första ekvationen gav ingen lösning så Svar: x = 2 Svar 41. Vi löser ekvationen med avseende på x och betraktar a som en konstant. x 2 +ax+a = 0 x = a 2 ± (a 2) 2 a x = a 2 ± a 2 4a 4 För att ekvationen ska ge en dubbelrot måste uttrycket under rottecknet var = 0. Alltså med rötterna a 1 = 0 och a 2 = 4. Svar: a 1 = 0 och a 2 = 4 Svar 42. a 2 4a = 0 a(a 4) = 0 { 2x+2y = 3x 3y 2x+y = 22 { x = 5y 2x+y = 22 Den första ekvationen insatt i den andra ger 2(5y)+y = 22 med roten y = 2. För att få ut x sätter vi in y = 2 i ekvationen x = 5y som ger x = 10. Svar: x = 10 och y = 2 Håkan Strömberg 19 KTH STH
20 KS övning 8 Problem 43. En rektangel är inritad i ett koordinatsystem med sidorna parallella med axlarna. Två diametralt motstående hörn har koordinaterna ( 12,7) och ( 6, 15). Bestäm rektangelns area. Problem 44. En rät linje f(x) skär y-axeln för y = 4 och x-axeln för x = 3/2. En annan g(x) skär y-axeln i punkten y = 3. De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g(x) x-axeln? Problem 45. Lös ekvationen Problem 46. Lös olikheten x+2 = 5 (x 2)(x 10) > 0 Problem 47. I en rätvinklig triangel, vars kateter är 6 cm och 8 cm, är en kvadrat inskriven med en sida utefter triangelns hypotenusa. Hur stor är kvadratens sida? Problem 48. Lös ekvationssystemet x+2y x 2y = 9 5x 4 5 y = 7 Håkan Strömberg 20 KTH STH
21 KS övning 8 Lösningar Svar 43. Höjden är 7 ( 15) = 22 och bredden är 6 ( 12) = 6, som ger arean A = 22 6 = 132 Svar: 132 a.e. Svar 44. De två funktionerna g(x) = k g x+m g och f(x) = k f x+m f måste bestämmas för att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/2) = 0 ur detta kan vi bestämma k f k f = = 8 3 Vi vet redan att m f = 4 och kan nu skriva f(x) = 8 3 x + 4. Genom texten vet vi att k g = 3 8 eftersom k g k f = 1. Vi vet också att m g = 3 och kan skriva g(x) = 3 8 x 3. Då vi löser ekvationen g(x) = 0 får vi den efterfrågade roten. g(x) skär x-axeln i (8,0) Svar x 3 = 0 x = 8 Uttrycket inuti absolutbeloppstecknet = 0 då x+2 = 0, ger x = 2 Vi delar upp ekvationen i två ekvationer intervall x < 2 och x 2. När det inte finns något x utanför absolutbelopptecknet är uppgiften huvudräkning, men vi utför det enligt planen x < 2 (x+2) = 5 x 2 = 5 x = 7 x 2 x+2 = 5 x = 3 I den första ekvationen konstaterar vi att roten x = 7 ligger i det studerade intervallet. Även den andra roten ligger i intervallet. Alltså finns det två rötter. Svar: x = 7 och x = 3 Svar 46. Vi har inte använt oss av teckenstudium för lösandet av olikheter (kommer i senare kurser), därför ser vår lösning ut så här. Vi vet att (x 2)(x 10) = 0 har rötterna x 1 = 2 och x 2 = 10. Då har funktionen f(x) = (x 2)(x 10) x 2 12x + 20 dessa rötter som nollställen. Symmetrilinjen är x = behöver man inte känna till här. Eftersom f(x) har ett minimum (koefficienten till x 2 är 1) är f(x) < 0 i intervallet 2 < x < 10. Det betyder att f(x) > 0 då x < 2 eller x > 10. Svar: x < 2 eller x > 10 Håkan Strömberg 21 KTH STH
22 Svar 47. Vi kan direkt bestämma att AC = = 10. Antag att kvadratens sida är x och att DC = y. Figuren innehåller fyra likformiga trianglar. Då GC = x 2 +y 2 är BG = 8 x 2 +y 2. Genom likformighet får vi följande ekvationssystem { x 6 = y 8 x 10 = 8 x 2 +y 2 8 som har de positiva rötterna x = cm Svar: Svar 48. x+2y x 2y = 9 5x 4 5 y = 7 { 20y 8x = 0 7y+5x = 39 och { x+2y = 9(x 2y) 5x 4 = 7(5 y) { 5(20y 8x) = 5 0 8(7y+5x) = y = 312, y = 2 insatt i 100y 40x = 0 ger x = 5 Svar: x = 5 och y = 2 { x+2y = 9x 18y) 5x 4 = 35 7y) 100y 40x = 0 56y+40x = y = 312 Håkan Strömberg 22 KTH STH
23 KS övning 9 Problem 49. Förenkla ( ) np n p a Problem 50. Bestäm ekvationen för den linje som går genom skärningspunkten mellan L 1 och L 2 och som är parallell med L 3. L 1 : y = x 2 L 2 : y = 2x+3 L 3 : y = x+2 Problem 51. Bestäm a och b i ekvationssystemet { 4ax+3by = 25 4bx+3ay = 30 så att lösningen blir { x = 2 y = 1 Problem 52. En rät linje går genom origo och genom maxpunkten hos funktionen y = x 2 8x 12. Bestäm linjens ekvation. Problem 53. I den rätvinkliga ABC är hypotenusan AC 10 cm och kateten AB 8 cm. Normalen från hörnet B mot sidan AC träffar denna sida i punkten P. Normalen från P mot AB träffar denna sida i punkten Q. Bevisa först att PBQ är likformig med ABC. Beräkna därefter omkretsen av BPQ Problem 54. Bestäm fyrhörningens omkrets Håkan Strömberg 23 KTH STH
24 KS övning 9 Lösningar Svar 49. ( ) np ( n n p a a 1 p )np ( ( ) a 1 1) np ( n p p ap) 1 a Svar 50. Först bestämmer vi skärningspunkten mellan L 1 och L 2. { y = x 2 y = 2x+3 som ger x 2 = 2x = 2x x x = 5 x = 5 insatt i L 1 ger y = 7. Vi har skärningspunkten ( 5, 7). Den sökta linjen har k-värdet 1, samma som L 3 :s k-värde. Återstår att med hjälp av punkten ( 5, 7) bestämma m i y = x + m. Vi får 7 = ( 5) + m ger m = 12. Svar: y = x 12 Svar 51. Vi sätter helt enkelt in x = 2 och y = 1 och får { 4a 2+3b 1 = 25 4b 2+3a 1 = 30 eller { 8a+3b = 25 3a+8b = 30 Multiplicera den första ekvationen med 3 och den andra med 8 så får vi { 3(8a+3b) = (3a+8b) = 8 30 vidare { 24a+9b = 75 24a 64b = 240 Leder till 55b = 165 ger b = 3. b insatt ger 24a+9 3 = 75 med lösningen a = 2 Svar: a = 2 och b = 3 Svar 52. Vi startar med att bestämma andragradsfunktionens nollställen 0 = x 2 8x 12 som har rötterna x 1 = 2 och x 2 = 6. Vi vet nu att funktionen har en maxpunkt där x-koordinaten är 2+( 6) 2 = 4. x = 4 insatt i funktionen ger y = ( 4) 2 8( 4) 12 = = 4. Vi vet nu att maxpunkten ligger i ( 4,4). En punkt som linjen går igenom. Den sökta linjen har m = 0 eftersom den går genom origo och k-värde Svar: y = x k = = 1 Håkan Strömberg 24 KTH STH
25 Svar 53. APQ = ACB. QPB och APQ är komplementvinklar. Även APQ och QAP är komplementvinklar. Alltså är QPB = QAP. QPB ABC eftersom de båda är rätvinkliga och har BAC gemensam. Antag att BC = x. Pythagoras sats ger x = 10 2, som i sin tur ger x = 6. Antag att QP = y och QB = z. Med likformighet får vi ekvationssystemet med lösningen y = QPB har då omkretsen Svar: cm 2 y 6 = 8 z 8 y 8 = z 6 96 och z = 25. Vi bestämmer så BP, som är hypotenusa i QPB. (72 25 ) 2 + ( ) Svar 54. När man inser att ABD och BCD båda är rätvinkliga, att A = C = 90, blir det enkelt. AD+AB+BC+CD = 20 sin cos sin cos Svar: 56 l.e. (längdenheter) Håkan Strömberg 25 KTH STH
26 KS övning 10 Problem 55. Bestäm talen b och c, så att grafen till funktionen går genom punkterna P 1 ( 1,6) och P 2 (2,3) y = x 2 +bx+c Problem 56. Förenkla Problem 57. x3 +3 x 3 3 x+ 3 x 4 Fyrhörningen ABCD är en rektangel. Beräkna sträckan EF Problem 58. Tillverkning av x liter öl per dag kostar y kr enligt följande formel y = 300+2x Hur många liter kan man producera under en dag för 570 kr? Problem 59. På var och en av triangelns tre sidor är placerad en halv cirkel. Bestäm hela figurens area. Problem 60. I figuren ser du fyra grafer A till D. Para ihop dem med följande funktioner 1 f(x) = x f(x) = x f(x) = 1 x 2 4 f(x) = 1 x 2 Lös sedan ekvationerna f(x) = 0 för de fyra funktionerna. Hjälper dig rötterna att se vilken graf som hör ihop med vilken funktion? Håkan Strömberg 26 KTH STH
27 KS övning 10 Lösningar Svar 55. Sätter vi in de två punkterna i funktionen får vi följande ekvationssystem: { 6 = ( 1) 2 +b( 1)+c 3 = 2 2 +b 2+c eller { c b = 5 c+2b = 1 Vi subtraherar den första ekvationen från den andra och får (c+2b) (c b) = 1 5 c+2b c+b = 6 3b = 6 b = 2 b = 2 insatt i första ekvationen ger c ( 2) = 5 eller c = 3 Svar: Funktionen får följande utseende: y = x 2 2x+3 Svar 56. x3 +3 x 3 3 x+ 3 x 4 x x+3 x 3 3 x+x 3 x x(x+3) 3 x(3+x) 6 x Svar 57. Antag att BD = x. Med Pythagoras får vi då x 2 = som ger x = 53. BEC BCD. Antag att BE = y. Vi får y 28 = som ger y Eftersom BE = DF får vi EF = 53 2 BE Svar: 23 cm Svar 58. Svar: 135 liter 570 = 300+2x = 2x x = 135 Håkan Strömberg 27 KTH STH
28 Svar 59. Den korta katetens längd är 40 tan Hypotenusans längd är 40 cos Med hjälp av formel för arean hos halva cirkeln med diametern d får vi Svar: 2573 a.e π π 8 A = πd π Svar 60. A 1, B 2, C 3 och D 4 Den som behärskar att plotta funktioner på miniräknaren kollar svaret på den! Håkan Strömberg 28 KTH STH
Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merRepetition inför tentamen
Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8
Läs merRepetition inför kontrollskrivning 2
Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merSidor i boken Figur 1:
Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merSidor i boken 8-9, 90-93
Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merKapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm
Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,
Läs merFöreläsning 1 5 = 10. alternativt
Föreläsning 1 101 a) Beräkna 5 + ( 8) = ( ) Kommentar: Vi använder parenteser för att förtydliga negativa tal, här ( 8) och ( ). 101 b) Beräkna 9 16 = 5 Kommentar: Egentligen borde man skriva 9 som ( 9),
Läs merMVE365, Geometriproblem
Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merTENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:
TENTAMEN Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I Moment: TEN1 Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: 2015-03-10 Tid: 13:15-17:15 Hjälpmedel:
Läs merRepetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner
Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Del B Utan miniräknare Endast svar krävs! 1. Lös ekvationen (x + 3)(x 2) = 0 Svar: (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 4(x 3)(x + 3) så långt
Läs merSKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merVektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)
1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)
Läs mergeometri ma B 2009-08-26
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 17, 1934 Första häftet 654. Lös ekvationen sin x + cos x + tan x + cot x = 2. (S. B.) 655. Tre av rötterna till ekvationen x 4 + ax 2 + bx + c = 0 äro x 1, x 2 och x 3. Beräkna x 2 1 + x2 2 + x2
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs mery º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32
6 Trigonometri 6. Dagens Teori Vi startar med att repetera lite av det som ingått i tidigare kurser angående trigonometri. Här följer en och samma rätvinkliga triangel tre gånger. Med en sida och en vinkel
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merEnklare uppgifter, avsedda för skolstadiet
Elementa Årgång 1, 198 Årgång 1, 198 Första häftet 97. Ett helt tal består av 6n siffror. I var och en av de på varandra följande grupperna av 6 siffror angiva de 3 första siffrorna samma tresiffriga tal
Läs merc) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC.
Lösningar till några övningar i geometri Kapitel 2 1. Formuleringen av övningen är tyvärr inte helt lyckad (jag ska ändra den till nästa upplaga, som borde ha kommit för länge sedan). Man måste tolka frågan
Läs merMatematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x 23.6. cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61.
Föreläning 8 Problem hämtade från boken idan 15 A 510 a) Rätvinklig triangel med vinkel och katet given. Mottående katet efterfråga. tan4 = x 5 x = 5tan 4 Svar:.6 cm x.6 A 510 b) Vinkel och hypotenuan
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merDel A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.
NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merAntagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006
Antagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006 (Enligt "nytt format" : fler och lättare uppgifter jämfört med hittills rådande tradition se sid.5. Alla uppgifter värda lika mycket.) 1. Lös
Läs merTENTAMEN. Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I. Rättande lärare: Niclas Hjelm Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid:
TENTAEN Kursnummer: HF00 atematik för basår I oment: TENA / TEN Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Niclas Hjelm Eaminator: Niclas Hjelm Datum: Tid: 07--8 08:00-:00 Hjälpmedel: Formelsamling: ISBN
Läs merFinaltävling i Umeå den 18 november 2017
KOLORNA MATEMATIKTÄVLING venska matematikersamfundet Finaltävling i Umeå den 18 november 017 1. Ett visst spel för två spelare går till på följande sätt: Ett mynt placeras på den första rutan i en rad
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 44, 1961 Årgång 44, 1961 Första häftet 2298. Beräkna för en triangel (med vanliga beteckningar) ( (b 2 + c 2 )sin2a) : T (V. Thébault.) 2299. I den vid A rätvinkliga triangeln OAB är OA
Läs merRöd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA
Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra
Läs mer2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt.
Kängurutävlingen 018 Cadet svar och kommentarer Facit Cadet 1: C 19 0 + 18 = 8 = 19 : E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 39, 1956 Årgång 39, 1956 Första häftet 2028. En regelbunden dodekaeder och en regelbunden ikosaeder äro omskrivna kring samma klot (eller inskrivna i samma klot). Bestäm förhållandet mellan
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs merFacit åk 6 Prima Formula
Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 1 Omkrets och area Sidan 7 1 A och C 2 D och E 3 a G, H och J b I och J c J Sidan 8 4 a 1 b 1 c 1 d 4 5 A = 0 B = 2 C = 4 D = 2 6 a 8 0 8 b 1 0 1 c 3 8 3 d 1 3 8 F7 A B
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merGeometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data
Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,
Läs mer9 Geometriska begrepp
9 Geometriska begrepp Rita figurer som visar vad vi menar med... 261 a) 4 cm och 4 cm 2 b) 5 cm och 5 cm 2 262 Rita två olika figurer som båda har arean 8 cm 2 263 Rita tre olika figurer som alla har arean
Läs mermarkera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart
PLANERING MATEMATIK - ÅR 9 Bok: Z (fjärde upplagan) Kapitel : 3 Geometri Kapitel : 4 Samband och förändring Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merSidor i boken Figur 1: Sträckor
Sidor i boken 37-39 Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar
Läs merSammanfattningar Matematikboken Z
Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform
Läs merLinjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.
Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merDel I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merRepetitionsuppgifter. Geometri
Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna
Läs merx+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2
Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merHögstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag
Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Vi börjar med att notera att delbarhet med 6 betyder att N är delbart med 2 och 3. Om N är delbart
Läs merLathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)
Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Det som står i den här lathunden ska du kunna till provet. Du ska kunna ställa upp och räkna ut liknande tal som de nedan: a) 39,8 + 2,62 b) 16,42 5,8
Läs merArkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK
Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.
Läs merPRELIMINÄRPROV Kort matematik
PRELIMINÄRPROV Kort matematik 80 Lösningar och poängförslag Lös ekvationerna x 0 x 4 x,0 a) 0x b) c) a) Multiplikation med 0; x 00x, p 0 99 b) Division med ; : 4 9 9 x ( = =,5 ) p 4 8 8 8-99 x = 0, x 0
Läs merLösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson
, MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8
Läs mer4 Sätt in punkternas koordinater i linjens ekvation och se om V.L. = H.L. 5 Räkna först ut nya längden och bredden.
Läxor Läxa 7 En sådan timme skulle ha 00 00 s = 0 000 s. 8 a) O = π d och A = π r r. 0 Beräkna differensen mellan hela triangelns area och arean av den vita triangeln i toppen. Läxa 9 Hur stor andel målar
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merGeometri och Trigonometri
Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner
Läs merREPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.
REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merEnklare matematiska uppgifter. Årgång 21, Första häftet
Elementa Årgång 21, 1938 Årgång 21, 1938 Första häftet 957. En cirkel, en punkt A på cirkeln och en punkt B på tangenten i A äro givna. Att konstruera den punkt P på cirkeln, för vilken AP + BP är maximum.
Läs mer4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..
Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman
Läs merKängurutävlingen Matematikens hopp
Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt
Läs merPangea Matematiktävling FRÅGEKATALOG. Finalomgång 2016 Årskurs 9
FRÅGEKATALOG Finalomgång 2016 Årskurs 9 Pangea Regler & Instruktioner Svarsblankett -Vänligen fyll i förnamn, efternamn och årskurs på svarsblanketten. -Vi rekommenderar deltagarna att använda en blyertspenna
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 27, 1944 Första häftet 1316. I vilka serier äro t1 3 +t3 2 +t3 3 + +t3 n = (t 1 +t 2 +t 3 + +t n ) 2 för alla positiva heltalsvärden på n? 1317. Huru stora äro toppvinklarna i en regelbunden n-sidig
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs mer3. Trigonometri. A c. Inledning
3. Trigonometri Inledning Trigonometri betyder triangelmätning. De grundläggande storheterna som vi kan mäta i en triangel är dess sidor och vinklar. Ett bra sätt att beteckna en triangels sidor och hörn
Läs mer8-6 Andragradsekvationer. Namn:..
8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,
Läs merf(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merDel I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.
Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 46, 1963 Årgång 46, 1963 Första häftet 2405. På fokalaxeln till en hyperbel, vars ena brännpunkt är F, finns en punkt K så belägen, att PK 2 : PF PF har ett konstant värde, när P genomlöper
Läs merNpMa2c vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 20 C- och 17 A-poäng.
NpMac vt 015 Delprov B Delprov C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-17. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Formelblad och linjal.
Läs merIntromatte för optikerstudenter
Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson (2013). Ändringar av Jakob Larsson och Emelie Fogelqvist (2014). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merIntromatte för optikerstudenter
Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist och Simon Winter (2013 2016). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik
Läs merTENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan
Läs mer