Sidor i boken Figur 1:

Transkript

1 Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan är lika med den liksidiga triangelns sida. Den korta kateten är förstås hälften av hypotenusan. Den längsta kateten är lika med höjden i den liksidiga triangeln. Dess längd kan vi bestämma med hjälp av Pythagoras sats. Vi antar att den är x s = ( s ) +x s s 4 = x x = s s ( 4 x = s 1 1 ) x = s x = s 4 x = s Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 Blandar vi nu in trigonometri får vi följande samband som alla är viktiga att kunna utantill: s cos60 = s = 1 s cos0 = = s s sin60 = = s s sin0 = s = 1 tan60 = tan0 = s s s s = s s = = s s = 1 Vänder vi oss nu mot triangeln till hö ser vi att det är en halv kvadrat. Alla trianglar med vinklarna 45,45,90 är just halva kvadrater. Om den ena kateten är s så måste förstås även den andra vara lika lång. Hypotenusan, lika med kvadratens diagonal, kan vi bestämma med Pythagoras sats. Vi antar att den är x: x = s +s x = s x = s x = s Blandar vi nu in trigonometri får vi följande samband som är viktiga att kunna utantill: cos45 = s s = 1 sin45 = s s = 1 tan45 = 1 1 = 1 Håkan Strömberg KTH STH

3 Problem 1. Hur högt är Eiffeltornet? Sträckan BC = 150 m. ABC = 6.4. Lösning: Vinkel och katet givna. Motstående katet efterfrågas. Antag motstående katet är x m. Svar: 00 m tan6.4 x = 150 x = 150 tan6.4 x 00 Problem. I takkonstruktionen är CM =.5 m och AB = 1.46 m Beräkna takvinkeln BAC. Lösning: Eftersom båda takvinklarna är v handlar det om en likbent triangel. Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar där motstående och katet är givna. Vinkeln v efterfrågas Svar: tanv = v = arctan v Problem. Beräkna vinkeln CAB Håkan Strömberg KTH STH

4 Lösning: CAB ska bestämmas. Vi startar med att bestämma ACD som vi antar är v. Vi kan nu bestämma tanv = v = arctan 1 v 6.57 ACB = 180 ACD = = 15.4 I nästa steg bestämmer vi ABD som vi antar är u CAB får vi nu genom Svar: tanu = u = arctan u CAB = = 10.6 Problem 4. För att en 9.0 m lång stege ska stå säkert när den reses mot en vägg får vinkeln med markplanet ej understiga 64 och ej överstiga 78. Bestäm stegens kortaste respektive längsta avstånd till väggen, då den är i säkert läge. Lösning: Vi har två trianglar där vi ska bestämma den katet. I ABC är ABC = 78. Den eftersökta kateten betecknad med x sin78 = x 9 x = 9 sin78 x 8.8 I DEF är DEF = 64 Den eftersökta kateten betecknad med y sin64 = x 9 x = 9 sin64 x 8.1 Svar: 8.1 respektive 8.8 m Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Problem 5. I en liggande halv cylinder finns vatten som figuren visar. Givet dessutom vinkeln BAD = 5. Beräkna höjden h Lösning: Vi startar med att dra radien BE vinkelrätt mot vattenytan. I BDA har vi hypotenusan given till 0 cm och BAD = 5. Vi kan då bestämma sträckan BD som vi betecknar med x och får sin5 = x 0 x = 0 sin5 x 17. Den efterfrågade sträckan h = = 1.8 cm Svar: 1.8 cm Problem 6. Beräkna exakt triangelns a) area och b) omkrets Lösning: För att kunna exakt bestämma area och omkrets till ABC måste man känna till följande: ACD är en halv kvadrat. Vinklarna är 45,45,90. Detta för med sig att sträckorna CD = AD = 1. Sträckan AC kan bestämmas med Pythagoras sats till. Dessutom är det så att sin45 = cos45 = 1 CBD är en halv liksidig triangel. Vinklarna är 0,60,90. Detta för med sig att sträckan CB = är dubbelt så lång som sträckan CD = 1. Dessutom är det så att sin0 = cos60 = 1 Genom Pythagoras sats kan man nu bestämma sträckan BD = 1 +BD som BD = Alla önskade sidor är kända och vi kan bestämma omkretsen till O = = + + Arean blir A = 1 (1+ ) Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 Svar: Omkretsen är + + l.e. och arean (1+ )/ a.e. Problem 7. Beräkna exakt längden av AD Lösning: ABC är en halv liksidig triangel. Efter samma resonemang som i föregående uppgift får vi då: BC = 1 och AB =. CBD är också en halv liksidig triangel. Det betyder att CDB = 60. Anta att sträckan DC är x. Vi får då ekvationen tan60 = 1 x 1 x = tan60 1 x = Detta betyder att sträckan AD = 1 =. Svar: Sträckan AD = Alla trianglar här är rätvinkliga Läxa 1. Bestäm x. Läxa. Bestäm x. Håkan Strömberg 6 KTH STH

7 Läxa. Bestäm x. Läxa 4. Bestäm x. Läxa 5. Bestäm v. Läxa 6. Bestäm v. Läxa 7. Bestäm v. Håkan Strömberg 7 KTH STH

8 Läxa 8. Bestäm v. Läxa Lösning 1. Rätvinklig triangel med vinkel och katet given. Motstående katet efterfrågas. Svar:.6 cm tan4 = x 5 x = 5 tan4 x.6 Läxa Lösning. Vinkel och hypotenusan given. Närliggande katet efterfrågas. cosv = hypotenusan cos40 = x 61 x = 61 cos40 x 46.7 Läxa Lösning. Vinkel och motstående katet givna. Närliggande katet efterfrågas. Svar: 9 cm tan56 = 4 x 4 x = tan56 x 9 Läxa Lösning 4. Vinkel och hypotenusa givna. Motstående katet efterfrågas. sinv = motstående hypotenusa Svar: 59.9 cm sin5 = x 75 x = 75 sin5 x 59.9 Håkan Strömberg 8 KTH STH

9 Läxa Lösning 5. De två kateterna givna. Vinkel efterfrågas. Svar: tanv = 7 4 v = arctan 7 4 v Läxa Lösning 6. Hypotenusan och katet givna. Vinkel efterfrågas. Svar: 5 cosv = hypotenusan sinv = v = arcsin v Läxa Lösning 7. Hypotenusan och motstående katet givna. Vinkel efterfrågas. sinv = motstående hypotenusa sinv = 50 7 v = arcsin 50 7 v 4 Svar: 4 Läxa Lösning 8. Närliggande och motstående katet givna. Vinkel efterfrågas. Svar: 7 tanv = 0 v = arctan 0 v 7.48 Håkan Strömberg 9 KTH STH