Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Trigonometri. Sidor i boken 26-34"

Maria Sandberg
för 7 år sedan
Visningar:

1 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor och vinklar i en triangel när vissa av dessa är kända. Det handlar då om plan trigonometri. Här ska vi hålla oss till rätvinkliga trianglar. I senare kurser kommer trigonometrin att innefatta godtyckliga trianglar. Ibland kommer det trots allt att dyka upp icke rätvinkliga trianglar. Då är lösningen, att med hjälp av en konstruktion, till exempel genom att dra en höjd åstadkomma två rätvinkliga trianglar. Närliggande och Motstående står i relation till vinkeln v, som är given eller efterfrågad. tanv = sinv = cosv = motstående katet närliggande katet motstående katet hypotenusan närliggande katet hypotenusan tanv = a b sinv = a c cosv = b c Innan vi sätter igång att solvera rätvinkliga trianglar ska du se till att din räknare är inställd på räkning i grader. Kontrollera att 45 TAN ger resultatet 1. Vinklar mäts i allmänhet i grader (360 på ett varv) eller i radianer (π på ett varv). Här ska vi hålla oss till grader. Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 Känner man två storheter i formlerna ovan, kan man enkelt bestämma den tredje. Nr Känt Sökt Formel I v, a b b = a tanv II v, b a a = b tanv III a, b v v = arctan a b IV v, a c c = a sinv V v, c a a = c sinv VI a, c v v = arcsin a c VII v, b c c = b cosv VIII v, c b b = c cosv IX b, c v v = arccos b c I formlerna III, VI och IX ska man bestämma en vinkel. till exempel v = arcsin På dosan trycker man då SIN 1 1/ och motsvarande COS 1 för arccos och TAN 1 för arctan. Problem 1. Vad kallas triangeln i figuren. Bestäm h och b. Lösning: En triangel med vinklarna kallas en halv liksidig. h = 0 sin b = 0 cos60 = 10 Den korta kateten är då häften så lång som hypotenusan. Antag att hypotenusan är a, sidan b = a. Med hjälp av Pythagoras sats kan vi så räkna ut sidan h (a) = a +h 4a = a +h 3a = h h = 3a h = a 3 Av detta får vi att höjden i en liksidig triangel med sidan a är h = a 3. Håkan Strömberg KTH STH

3 Problem. Beräkna triangelns area. Lösning: Med hjälp av formeln Först bestämmer vi höjden genom AD = h A = b h h = 46 sin sedan BD = b 1 b 1 = 46 cos och så DC = b b tan Till sist kan vi bestämma arean Svar: 831 cm A = ( ) Problem 3. Beräkna den rätvinkliga triangelns area. Lösning: Basen BC = 50. Höjden mot BC = h får vi genom Arean blir då h = 39 sin A = Vi kunde likväl bestämt oss för att beräkna höjden mot AB = h, som ger h = 50 sin Arean blir då A = Samma resultat! Hur överraskande var det? Längre fram i era matematikstudier (närmare bestämt nästa kurs), kommer ni att stifta bekantskap med areasatsen, som efter denna uppgift är lätt att inse A = a b sinγ Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 där γ är vinkeln mellan a och b. Problem 4. I en likbent triangel är höjden hälften av basens längd. Arean är 400 cm. Bestäm triangelns omkrets. Lösning: Antag att höjden är AD = x. Då är basen BC = x. Vi kan då teckna en ekvation med hjälp av formeln b h. x x = 400 x = 800 x = 400 x = 400 x = 0 Höjden är alltså AD = 0 och basen BC = 40. Återstår att bestämma längden hos de två lika långa benen AB och AC. Höjden delar basen mitt itu i en likbent triangel. Med hjälp av Pythagoras sats kan vi nu bestämma AC = y i ADC. y = 0 +0 y = 0 y = 0 Triangeln ADC är en halv kvadrat. Vi finner att diagonalen idenna kvadrat, AC är 0. Det vill säga kvadratens sida. Så är det alltid. Bra att veta. Vi får omkretsen cm. Svar: 96.6 cm Problem 5. Beräkna figurens omkrets Lösning: AD = x kan vi få fram direkt genom sin49 = 34 x som ger x = AD Vi kan också bestämma ED = y med hjälp av tan49 = 34 y som ger y = ED Turen har nu kommit till BE = z. Vi får tan53 = z 34 Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 som ger z = BE Vi vet nu att BD = = Nu kan vi gå på BCD. Först BC = u. Vi får cos4 = u som ger u I nästa steg bestämmer vi DC = v genom tan4 = v med resultatet v = DC Återstår så AB = w. Vi får cos53 = 34 w som ger w = Nu kan vi bestämma omkretsen = Svar: Omkretsen är 17 cm Nedan följer först 9 uppgifter, alla med rätvinkliga trianglar och med en obekant. Ibland efterfrågas sidan x och ibland vinkeln v. Tillsammans kommer de 9 olika situationerna från tabellen ovan att tillämpas exakt en gång! Läxa 1. Bestäm v Läxa. Läxa 3. Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 Läxa 4. Bestäm v Läxa 5. Läxa 6. Bestäm v Läxa 7. Läxa 8. Håkan Strömberg 6 KTH STH

7 Läxa 9. Läxa 10. Bestäm rektangelns omkrets Läxa 11. Bestäm figurens omkrets Läxa 1. Givet ABC där sidan BC är dubbelt så lång som sidan AC. Höjden CD = 63 cm mot sidan AB och BAC = 44. Bestäm triangelns area. Läxa Lösning 1. Formel III v = arctan Läxa Lösning. Formel V Läxa Lösning 3. Formel I Läxa Lösning 4. Formel IX Läxa Lösning 5. Formel VII x = 11.4 sin38 7 x = 5 tan v = arccos v = 7 cos Håkan Strömberg 7 KTH STH

8 Läxa Lösning 6. Formel VI Läxa Lösning 7. Formel VIII Läxa Lösning 8. Formel II v = arcsin x = 9. cos40 7 x = 7 tan45 7 Läxa Lösning 9. Formel IV 9 x = sin Läxa Lösning 10. Vi bestämmer höjden h och basen b genom och Omkretsen blir då b = 60 cos h = 60 sin30 30 h+b Observera att höjden ska man kunna se direkt eftersom diagonalen delar rektangeln i två halva liksidingar Svar: 164 cm. Läxa Lösning 11. För att kunna bestämma AB och AD behöver vi BD. BD = x är hypotenusa i BCD. Pythagoras sats ger x = 3 +4 x = 5 x = 5 BCD är ofta förkommande, eftersom alla sidor är heltal, och kallas för den egyptiska triangeln. När vi betraktar ABD ser vi att den är en halv kvadrat eftersom den har vinklarna Det betyder att AB = BD = 5. Återstår så att bestämma AD = y. Vi kan använda trigonometri eller Pythagoras sats, vilket som. sin45 = 5 y 5 y = sin45 y 7.07 Det är bra att känna till att för en given sida s i en kvadrat är diagonalen s. I vår uppgift y = Vi får så omkretsen Svar: 19 cm = Läxa Lösning 1. Du måste rita figur! Antag att CA = x och CD = x. Med hjälp av sin44 = 63 x får vi x = CA Vi vet nu att CB = x Vi beräknar nu AD = y tan44 = 63 y ger y = AD Sedan över till DB = z som vi får genom Pythagoras sats = 63 +z z = z Håkan Strömberg 8 KTH STH

9 Nu har vi basen AB = = och kan därmed bestämma arean A = Svar: 7413 cm Håkan Strömberg 9 KTH STH

10 Tuff vecka Trigonometri Föreläsning 14. Uppgifter: Läxa Föreläsning 15: Uppgifter: Läxa 1-8. Boken sid a och b uppgifter. Räta linjen Föreläsning 16. Uppgifter: Läxa Föreläsning 17: Uppgifter: Läxa Boken sid a och b uppgifter. Linjära ekvationssystem Föreläsning 19. Uppgifter: Läxa Boken sid a och b uppgifter. Kursbunten sid 5 1. Repetition Kursbunten -5, Area och Volymskala Repetition Föreläsning 18 I KS ingår Potenser Rötter Likformighet Trigonometri Räta linjen Linjära ekvationssystem Det är rimligt att förvänta sig poäng inom varje område. Håkan Strömberg 1 KTH STH

Relevanta dokument

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan