Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Transkript

1 Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 30 augusti 01 Innehåll 3 Geometri och trigonometri Euklidisk geometri Kongruens och likformighet Längd, area och vinkelmätning Pythagoras sats Övningar Analytisk geometri Koordinatsystem Räta linjer Cirkelns ekvation Cirklar och räta linjer Övningar Trigonometri De trigonometriska funktionerna i rätvinkliga trianglar Trigonometriska funktionerna för allmänna vinklar Allmänna trianglar, areasatsen, sinus- och cosinussatserna Trigonometriska additionsformler Trigonometriska ekvationer Övningar

2 3 Geometri och trigonometri Detta kapitel handlar främst om analytisk geometri, speciellt räta linjens och cirkelns ekvationer, samt trigonometri. Grunden till den analytiska geometri som behandlas här är euklidisk geometri, vi inleder därför med att påminna om vissa begrepp och formulera några viktiga satser inom den euklidiska geometrin. 3.1 Euklidisk geometri Att diskutera geometri på ett sätt som är logiskt oantastligt är inte helt enkelt och kräver en axiomatisk grund som vi inte ska beröra. Vi nöjer oss med en intuitiv uppfattning och utgår från att alla har en gemensam inre bild av ett plan som har sin utbredning i två dimensioner och saknar begränsningar, räta linjer i detta plan vilka har sin utbredning i en dimension och är obegränsade samt punkter som fyller planet men inte har någon utbredning alls. Det är praktiskt att ha vissa konventioner/överenskommelser om hur olika begrepp betecknas. I detta kapitel betecknas punkter med stora bokstäver A, B, C o s v. Med linjen AB menas linjen genom punkterna A och B. strålen CD menas den del av linjen CD som börjar i C, genomlöper D och fortsätter obegränsat åt det hållet. sträckan EF menas den del av linjen EF som ligger mellan E och F. A B C D E F Om inget annat sägs så avses med AB sträckan AB. Längden av sträckan AB betecknas AB. Om vi behöver enkla- Figur 1: Linjen AB, strålen CD och sträckan EF. re beteckningar för längder så betecknas dessa med små bokstäver, a, b, c o s v. Konventionen för trianglar är att x betecknar längden av sidan som står mot hörnet X, d v sa = BC etc. Två strålar eller sträckor AB och AC bildar en vinkel med spets vid A. Denna betecknas A eller BAC. Strålarna kallas vinkelns ben. Egentligen ger de två strålarna upphov till två vinklar, oftast en som är mindre än ett halvt varv och en som är större. Om inget särskilt påpekas så avses den mindre av de två. 8 A α C B Figur : Vinkeln A eller BAC.

3 Storleken, mätetalet, för A betecknas oftast också med A eller, om detta är opraktiskt, med små bokstäver, u, v, α, β, o s v. Vi återkommer till vinkelmätning senare. Då två linjer skär varandra i en punkt bildas fyra vinklar. Två vinklar som då har ett vinkelben gemensamt kallas supplementvinklar eller sidovinklar, och två som inte har ett gemensamt ben kallas vertikalvinklar. Vi får supplementvinklar också om vi låter en stråle utgå från en punkt på en linje. Om en vinkel är lika stor som sin supplementvinkel så säger vi att vinkeln är rät. En rät vinkel är en fjärdedels varv. Beroende på hur man anger vinklars storlek är den räta vinkeln π radianer eller 90 (90 grader). En vinkel som tillsammans med en given vinkel bildar en rät vinkel kallas komplementvinkel till den givna. En vinkel som är mindre än en rät är spetsig. En vinkel som är mindre än ett halvt varv men större än en rät är trubbig. β α γ α δ α (a) Supplementvinklar (b) Vertikalvinklar (c) Komplementvinklar Figur 3: Olika typer av par av vinklar. Vinkeln α är spetsig, medan β är trubbig. En av de första geometrisatser man får lära sig i skolan är följande sats. Sats: Vinkelsumman i en triangel är alltid Kongruens och likformighet För alla resonemang om geometri är kongruens- och likformighetsbegreppen viktiga. Två figurer i planet är kongruenta om man genom att flytta, vrida och eventuellt vända (spegla) den ena figuren kan få den att sammanfalla med den andra. Två vinklar, BAC och B A C, är lika stora, BAC = B A C, om de är kongruenta. T.ex. är vertikalvinklar lika stora. Två sträckor AB och A B är lika långa precis när de är kongruenta. En triangel med hörn A, B och C betecknar vi med ABC. Två trianglar ABC och A B C är kongruenta precis när och AB = A B, BC = B C, AC = A C A = A, B = B, C = C Notera att ordningen på hörnen är väsentlig när man använder detta beteckningssätt för trianglar i kombination med begreppet kongruens. Det är väl ingen överraskning att om vissa av de sex villkoren ovan gäller, så kommer de andra också att göra det. Närmare bestämt gäller de tre så kallade kongruensfallen: 83

4 Kongruensfallen 1. Sida vinkel sida: Om AB = A B, B = B och BC = B C så är trianglarna ABC och A B C kongruenta.. Sida sida sida: Om AB = A B, BC = B C och AC = A C så är trianglarna ABC och A B C kongruenta. 3. Vinkel sida vinkel: Om A = A, AB = A B och B = B så trianglarna ABC och A B C kongruenta. B A A B A C B C C (a) 1:a fallet B B AA C A (b) :a fallet C C B (c) 3:e fallet Figur 4: De olika kongruensfallen. Exempel. Att basvinklarna i en likbent triangel är lika visas med hjälp av kongruens. Om triangeln ABC är likbent med BC = AC, så är trianglarna ABC och BAC kongruenta, enligt andra kongruensfallet (sida-sida-sida). Det betyder att motsvarande vinklar i trianglarna är lika stora, d v s A = B. (Det omvända påståendet är också sant: om två vinklar i en triangel är lika stora, så är motstående sidor lika långa; beviset är dock inte lika enkelt.) Det finns faktiskt ett fjärde kongruensfall, men man får se upp med formuleringen av det. Fallet Vinkel Sida Sida ger inte alltid kongruenta trianglar. För att se detta kan man dra en sträcka AB och slå en cirkel med medelpunkt i B och radie mindre än AB. Drag sedan en linje genom A som skär cirkeln i två nya punkter, först i C sedan i 84 Α C B D Figur 5: Ett falskt fall.

5 D. För trianglarna ABC och ABD gäller då att A = A, AB = AB och BC = BD (= cirkelns radie), men trianglarna är uppenbarligen inte kongruenta. Men om man kräver att den vinkel som är lika i de två trianglarna ska stå mot den längsta sidan gäller kongruens: 4. Om A = A, AB = A B, BC = B C och sidorna BC och B C är längst i trianglarna ABC respektive A B C, så är de båda trianglarna kongruenta. Löst talat betyder begreppet kongruens mellan trianglar att de har samma form och samma storlek. Två trianglar som har samma form men inte nödvändigtvis samma storlek sägs vara likformiga. Mer precist är två trianglar ABC och A B C likformiga om A = A, B = B, C = C och AB A B = AC A C = BC B C. C A A B C B Figur 6: Exempel på två likformiga (men inte kongruenta) trianglar. Den viktigaste satsen om likformiga trianglar är topptriangelsatsen. I figur 7 är DE parallell med BC. Triangeln ADE är då en topptriangel i den större triangeln ABC. Topptriangelsatsen säger då att de två trianglarna ADE och ABC är likformiga. A B D E C Figur 7: Triangeln ADE är en topptriangel i den större triangeln ABC De olika kongruensfallen har sina motsvarande likformighetsfall som bevisas genom att man visar att den mindre av de två trianglarna är kongruent med en topptriangel i den större. 85

6 Likformighetsfallen 1. Sida vinkel sida: Om det för trianglarna ABC och A B C gäller att B = B och c c = a så är trianglarna likformiga. a. Sida sida sida: Om det för trianglarna ABC och A B C gäller att a a = b b = c så är trianglarna likformiga.. c 3. Vinkel (sida) vinkel: Om det för trianglarna ABC och A B C gäller att A = A och B = B så är trianglarna likformiga. A c b B C a B A c a b C b A A C b c a c B a B C (a) 1:a fallet (b) :a fallet A c b B C C b a A a c B (c) 3:e fallet Figur 8: De olika likformighetsfallen. Exempel. I figur 9 är ABC och ADB räta vinklar. Eftersom A är gemensam för trianglarna ABC och ADB är dessa två trianglar likformiga enligt tredje likformighetsfallet. På samma sätt visas att trianglarna ABC och BDC är likformiga. A D C B 3.1. Längd, area och vinkelmätning Figur 9: Tre rätvinkliga trianglar. Att ge mätetal åt sträckors längd och figurers area är inte så okomplicerat som man kan tro. 86

7 När det gäller sträckors längd är idén att man utgår från en fastställd enhetssträcka och ger den mätetalet 1. Tanken är sedan att man ger en annan given sträckas längd ett mätetal genom att se hur många gånger den fastlagda enhetssträckan går i denna. Problemet är förstås att detta i allmänhet inte går jämnt ut. För att lösa det kan man dela in enhetssträckan i ett visst antal lika stora delar och se hur många av dessa som ytterligare krävs för att mäta den givna sträckan. Samma svårighet dyker emellertid upp igen: inte heller detta går i allmänhet jämnt ut, oavsett hur man indelar enhetssträckan i lika stora delar. Detta insåg enligt en legend Hippasos, en av Pythagoras lärjungar, för i runda svängar 500 år sedan. Vi ska naturligtvis inte göra en stor affär av detta utan utgår från att man med hjälp av de reella talen kan mäta sträckors längd, på ett sådant sätt att två sträckors längd har samma mätetal precis när de är kongruenta. Det reella tal som mäter längden av sträckan AB betecknas AB. Detta tal kallas också avståndet mellan punkterna A och B. För att mäta längden av en kurva som inte är en sträcka måste vi approximera kurvan med ett antal korta sträckor mellan punkter på kurvan. Ju fler punkter dess bättre approximation. Kurvans längd är gränsvärdet för dessa approximationer. En cirkel består av alla punkter som har samma avstånd till en viss given punkt. Avstådet i fråga kallas cirkelns radie och den givna punkten kallas cirkelns medelpunkt. En cirkelskiva består av alla punkter vars avstånd till en given punkt är mindre än eller lika med (eventuellt strikt mindre än) ett givet positivt tal. Om likhet tillåts sägs cirkelskivan vara sluten; om man kräver sträng olikhet kallas den öppen. Då det gäller att beräkna cirkelns längd är det enklast att utgå från regelbundna n-hörningar med hörn på cirkeln. Så gjorde redan Arkimedes. Man delar in n-hörningen i trianglar med spets i cirkelns medelpunkt och beräknar basens längd. Om man börjar med en inskriven regelbunden sexhörning, har den sidlängd lika med cirkelns radie (sexhörningen kan ses som bildad av sex liksidiga trianglar). En deltriangels baslängd blir då precis R. Sedan fördubblar man antalet hörn gång på gång, och man kan beräkna basens längd med Pythagoras sats (se nedan). Detaljerna i detta lämnas till läsaren. R L R Figur 10: Cirkelskiva delad i lika stora sektorer. Av detta sätt att mäta cirkelns omkrets följer det att förhållandet mellan denna och cirkelns radie, eller för den delen cirkelns diameter, är samma för alla cirklar. Kvoten mellan en godtycklig cirkels omkrets och dess diameter är alltså en och samma konstant som betecknas med den grekiska bokstaven π. Det betyder att en cirkel med radien R har omkretsen πr. Om cirkelns radie är 1 så har den inskrivna 6-hörningen omkretsen 6. Eftersom cirkelns omkrets är π så får man närmevärdet 3 till π. Inte så bra, men det behövs inte så 87

8 många fördubblingar av antalet hörn för att man skall få ett riktigt bra närmevärde för π. För att få de miljontals decimaler som nu är bestämda krävs emellertid helt annan teknik. Också areabegreppet är som sagt komplicerat, men vi ska inte heller göra någon stor sak av det. Arean av en rektangel med sidlängder a och b är lika med b ab. Arean av en parallellogram med bas av längd a och a höjd av längd h är ah. (Man kan kapa av en rätvinklig triangel och flytta den till andra sidan parallellogrammen för att komplettera till en rektangel med sidlängder a och b h.) a Drar man en diagonal i en rektangel får man två rätvinkliga trianglar med bas a och höjd b. Arean av en sådan Figur 11: Rektangel har area ab, triangel ab/. triangel måste därför vara ab/. Härifrån är inte svårt att övertyga sig om att arean av en triangel, vilken som helst, är hälften av produkten av basen och höjden. En intressant observation man kan göra i figur 10 ovan är att trianglarna också delar in cirkelskivan i delar vars area vi kan beräkna. Om basen i varje triangel är L och höjden h så är arean L h/. Höjden är, för stort n, i det närmaste samma som cirkelns radie. Då vi summerar alla triangelareorna får vi ungefär cirkelns omkrets multiplicerad med R/. Eftersom omkretsen är R π får vi arean till πr R = π R. En cirkelskiva med radie R har alltså arean πr. Det är alltså samma förhållande mellan cirkelns omkrets och diameter som det är mellan cirkelskivans area och arean av en kvadrat med radien som sida. Detta upptäckte också Arkimedes. Om vi vill mäta en vinkel kan vi börja med tänka oss att den är medelpunktsvinkel i en cirkel, d v s att vi ritat en cirkel med medelpunkt i vinkelns spets. Eftersom alla cirklar är likformiga torde förhållandet mellan längden av bågen som vinkelns ben kapar av cirkeln och cirkelns radie vara ett mått på vinkelns storlek. Vi definierar alltså mätetalet för en vinkel A i radianer som s R, där s är längden av en cirkelbåge BC med medelpunkt i A och radien R som i figur 1. C R s α A R B Figur 1: Cirkelbågen BC. Man kan alternativt välja att definiera vinkelns mått som längden av cirkelbågen BC då radien R = 1. Om man vänder på det hela kan man säga att en cirkelbåge på en cirkel med radie R har längden αr, där α är måttet, i radianer, på vinkeln vid medelpunkten som bågen ger. 88

9 Mäter man istället denna vinkel i grader, låt oss säga att den då har måttet a, så blir cirkelbågens längd a a πr = πr. I huvudsak använder man radianer som enhet vid vinkelmätning i matematiken. Just inom geometri är det dock vanligare med grader. I förra avsnittet påminde vi om att vinkelsumman i en triangel är π (radianer) eller 180 och att en rät vinkel är π eller 90. De spetsiga vinklarna i en likbent rätvinklig triangel är π 4 eller 45. En liksidig triangel har vinklarna π 3 eller 60. Sambandet mellan de två sätten att ange en vinkels storlek ges av 1 = π 180 0,017 radianer och 1 radian = 180 π 57, Pythagoras sats Geometrins förmodligen mest kända sats är Pythagoras sats. Den beskriver ett samband mellan den längsta sidan, hypotenusan, i en rätvinklig triangel och de två kortare, kateterna 1. Få resultat om något inom matematiken har en längre historia. Det är dokumenterat att satsen var känd redan av babylonierna för 3500 år sedan även om den fått sitt namn efter en grekisk matematiker, Pythagoras, som verkade för ca 500 år sedan. Sats: Om längderna av kateterna i en rätvinklig triangel är a respektive b och hypotenusans längd är c, så är a + b = c. Det finns ett otal mer eller mindre olika bevis för denna sats. En del bygger på areabegreppet och går till så att man på olika sätt pusslar ihop figurer. Vi ska emellertid återge ett bevis som bygger på likformighet. Bevis. Låt den rätvinkliga triangeln vara ABC med C rät. Drag, som i figur 13, höjden DC. Vi har då fått två mindre trianglar CBD och ACD som båda är likformiga med den ursprungliga triangeln ABC, eftersom de har två vinklar gemensamma med den ( B och en rät, respektive A och en rät). Sätter vi c 1 = BD och c = AD har vi att c 1 +c = c och av likformigheten mellan CBD och ABC samt 1 Observera att det heter en katet, flera kateter. B c 1 c a D c A b C Figur 13: Tre likformiga rätvinkliga trianglar. 89

10 ACD och ABC följer att a c 1 = c a respektive b c = c b och vi får då Addition ger nu a = c c 1 respektive b = c c. a + b = c(c 1 + c ) = c. Omvändningen till Pythagoras sats är också sann: Om a, b, c är sidlängder i en triangel och a + b = c, så är triangeln rätvinklig med rät vinkel vid C Övningar Hur många grader och radianer är a) 1/ varv b) 1/8 varv c) 1/3 varv d) 1/6 varv e) 3/4 varv f) 7/6 varv 3.1. Omvandla till radianer: a) 90 b) 30 c) 45 d) 70 e) 18 f) 150 g) Omvandla till grader: a) 3π b) π/ c) 3π/4 d) 5π/ Beräkna längden av cirkelbågen i en cirkelsektor med a) centrumvinkeln v = 60 och radien R = (längdenheter) b) v = 150 och R = 5 c) v = 300 och R = 4/ Bestäm vinkeln mellan två (närliggande) sidor i en regelbunden a) 6-hörning b) 5-hörning c) n-hörning. Ledning: Vinkelsumman i en triangel är 180 = π (radianer). 90

11 3.1.6 Triangeln ABC är likbent, med baslängd 5 l.e. och benlängd 4 l.e. Beräkna a) längden av höjden mot basen; b) triangelns area; c) längden av höjderna mot benen Triangeln ABC är rätvinklig med rät vinkel vid C. Punkten M är en punkt på sidan AB. Om AB = 4 l.e. och AM = CM, beräkna AM. 3. Analytisk geometri Analytisk geometri handlar om att ange punkter med hjälp av koordinater och sedan, med hjälp av dessa, beskriva geometriska objekt genom ekvationer. Här skall vi enbart studera räta linjens ekvation och cirkelns ekvation. Grunden till det hela är koordinatsystem Koordinatsystem Ett rätvinkligt koordinatsystem består av två riktade linjer som skär varandra under rät vinkel i en punkt. Oftast ritar man ena linjen horisontellt, den kallas x-axeln, och den andra linjen som kallas y-axeln ritas vertikalt. Deras skärningspunkt kallas origo. Givetvis kan koordinatsystem vridas om man så önskar, men i detta kapitel håller vi oss till horisontell x-axel. x axel b y axel a (a,b) De två koordinataxlarna är tallinjer. Origo motsvarar talet 0 på både x- och y-axeln, punkterna Figur 14: Rätvinkligt koordinatsystem. till höger på x-axeln och uppåt på y-axeln motsvarar positiva tal, de till vänster och nedåt motsvarar negativa tal. Om punkten P ligger på en av axlarna och motsvarar talet a så är a = avståndet mellan origo och punkten P. Varje punkt i planet kan nu tilldelas koordinater (a, b) på följande sätt. Vi drar först genom punkten en linje parallell med y-axeln. Denna linje skär x-axeln i en punkt som motsvarat ett tal a. Drag också en linje parallell med x-axeln. Denna skär y-axeln i en punkt som motsvarar ett tal b. Punkter i planet och ordnade par av reella tal svarar på så vis precis mot varandra. Vi säger därför att planet är R = {(x,y) : x R och y R}. 91

12 De två koordinataxlarna delar in planet i fyra delar, kvadranter. Dessa numreras moturs med början i första kvadranten där både x- och y-koordinaten är positiva. I andra kvadranten är x < 0 och y > 0. I tredje är båda negativa och i fjärde är x > 0 och y < 0. y (x, y ) (x 1,y 1 ) (x,y 1 ) x Betrakta nu två punkter i planet (x 1,y 1 ) och (x,y ). Dessa är hörn i en rätvinklig triangel med (x 1,y ) som det tredje hörnet. De två kateternas längder är då x 1 x och y 1 y. Pythagoras sats ger oss nu att hypotenusans längd är x 1 x + y 1 y. Figur 15: Avståndet d mellan punkterna Eftersom avståndet från en punkt till en annan är längden av sträckan mellan punkterna kan avståndet, d, mellan (x 1,y 1 ) och (x,y ) beräknas med avståndsformeln: d = (x x 1 ) +(y y 1 ) 3.. Räta linjer y Betrakta först en linje parallell med x-axeln i ett koordinatsystem i R. Eftersom alla punkter på denna linje har samma y-koordinat och alla punkter med denna y-koordinat ligger på linjen, kan vi beskriva linjen som y=b b x=a a x {(x,y) : y = b}, Figur 16: Axelparallella linjer. dvs som mängden av punkter i planet vars andra koordinat är b. Vi säger att ekvationen y = b är ekvationen för en rät linje parallell med y-axeln. På samma sätt är x = a ekvationen för en rät linje parallell med x-axeln. Vi skall nu bestämma ekvationer för linjer som inte är parallella med någon av koordinataxlarna och börjar med en linje L som går genom origo och någon punkt (a,b) i första kvadranten. y (a,b) (x,y) Låt (x,y) vara en godtycklig punkt på L med x > 0 (och y > 0). Vi har då två rätvinkliga trianglar med ett hörn i origo och ett på L. Dessa två trianglar är likformiga eftersom de har lika v a x x 9 Figur 17: Sned linje.

13 vinklar. Då följer det att b a = y vilket ger x y = kx där k = b a. Konstanten k kallas riktningskoefficient för linjen. Om punkten (x,y) ligger på linjen men x < 0 och y < 0, så gäller som ovan att b a = y x vilket också ger y = kx. Med ett liknande resonemang ser man att linjer genom origo och en punkt i andra och fjärde kvadranten har en ekvation y = kx, där k < 0. (Riktningskoefficienten k är lika med tanv, där v är vinkeln mellan linjen och positiva x-axeln.) y m (x,y) (x,y m) Betrakta nu en rät linje som skär y-axeln där y = m. Denna är parallell med en linje genom origo och riktningskoefficient k. För punkten (x,y m) gäller då att y m = kx. Linjen genom (0,m) har alltså ekvationen x x y = kx+m. Figur 18: Linje som inte går genom origo. ENPUNKTSFORMELN. Vi skall visa den s k enpunktsformeln. Denna säger att ekvationen för en rät linje, som är parallell med linjen y = kx och går genom en given punkt (x 0,y 0 ) är y y 0 = k(x x 0 ). Bevis. Ekvationen y y 0 = k(x x 0 ) kan skrivas om till y = kx+m där m = y 0 kx 0. Alltså är det ekvationen för en rät linje parallell med linjen y = kx. Dessutom gäller det att insättning av x = x 0 och y = y 0 ger 0 i både vänster och höger led av ekvationen. Därför är y y 0 = k(x x 0 ) också ekvationen för en linje genom (x 0,y 0 ). TVÅPUNKTSFORMELN. En rät linje, som går genom två givna punkter (x 1,y 1 ) och (x,y ) med x 1 x, har ekvationen y y 1 = y y 1 x x 1 (x x 1 ). Detta är den s k tvåpunktsformeln för räta linjen. 93

14 Bevis. Eftersom linjen går genom (x 1,y 1 ) och (x,y ), där x 1 x, så kan riktningskoefficienten beräknas: k = y y 1 x x 1 Tillämpa nu enpunktsformeln med (x 0,y 0 ) = (x 1,y 1 ) så erhålls den sökta ekvationen. ( x 1, y ) 1 y x x 1 ( x, y ) Vi har härlett tre typer av ekvationer för räta linjer. Lodräta linjer har ekvationen x = a, Figur 19: Linje med två punkter. vågräta linjer har ekvationen y = b och övriga linjer y = kx+m med k 0. Alla dessa kan skrivas på formen Ax+By+C = 0, där minst en av koefficienterna A och B är 0. Detta är den allmänna formen för räta linjens ekvation. Om A = 0, men B 0 så fås en vågrät linje y = C/B, om B = 0, A 0 får en lodrät linje x = C/A och om A 0 och B 0 en rät linje som skär båda axlarna. y = A B x C B, Till skillnad från de andra skrivsätten är inte ekvationen Ax + By + C = 0 entydigt bestämd av linjen, d v s en och samma linje kan beskrivas av flera ekvationer. Både x+y+3 = 0 och x+4y+6 = 0 är ekvationer för samma linje. Du ser detta genom att skriva om ekvationerna på formen y = kx+m. Man talar därför hellre om en ekvation (obestämd form) för den räta linjen i stället för ekvationen (bestämd form) för linjen. Två linjer A 1 x+b 1 y+c 1 = 0 och A x+b y+c = 0 är parallella om och endast om riktningskoefficienterna är lika d v s om k 1 = A 1 /B 1 och k = A /B är lika eller om B 1 = B = 0. Exempel. Bestäm en ekvation för räta linjen genom punkterna (,4) och ( 1,3). Lösning. Riktningskoefficienten blir som i härledningen av tvåpunktsformeln k = y y 1 x x 1 = = 1 3 = 1 3. Med enpunktsformeln får vi att linjens ekvation blir y y 1 x y 4 = 1 3 (x ) y = x x 3y+10 = 0. Alternativt kan man förstås ta den andra punkten y 3 = 1 3 (x+1). 94

15 Svar: x 3y+10 = 0. Observera att det är en god vana att kontrollera räkningarna genom att visa att de givna punkterna satisfierar den erhållna ekvationen. I det fallet kontrollerar vi och får = 0 respektive = 0, som båda stämmer. Exempel. Sök skärningspunkten mellan linjerna 3x+4y 6 = 0 och x+y 5 = 0. Lösning. Rita först en figur som åtminstone ger en approximation till skärningspunkten. En punkt ligger på en linje om punktens koordinater satisfierar linjens ekvation. Punkten ligger på båda linjerna om punktens koordinater satisfierar båda ekvationerna, alltså om koordinaterna är en lösning till ekvationssystemet med de två linjernas ekvationer (vi påminner om att frågan diskuterades i avsnittet om linjära ekvationssystem). Vi vill lösa ekvationssystemet { 3x+4y = 6 x+y = 5 { { 3x+4y = 6 3x+4y = 6 8x+4y = 0 5x = 14, som ger x = x och y = = = = 3 5. Alternativt kan man lösa ut y ur den andra ekvationen vilket ger y = 5 x, som insatt i den första ekvationen ger 3x+4(5 x) = 6 o s v. Svar: Skärningspunkten är (14/5, 3/5). En rät linje, som skär en given rät linje vinkelrätt, kallas normal till den givna linjen. y Figuren bredvid illustrerar att om man vrider linjen y = kx en rät vinkel moturs, så kommer punkten (a,b) att hamna på ( b,a). Av detta följer att ( b,a) a normalen genom origo till linjen y = kx har riktningskoefficienten a b b (a,b) b. Eftersom k = b har vi att a x a a b = 1 k. Figur 0: Linje med två punkter. Normalens riktningskoefficient är alltså 1, om den givna linjens riktningskoefficient k är k. Om vi översätter detta till en ekvation på den allmänna formeln, så får vi att en rät linje Ax+By+C 1 = 0 har normalerna Bx Ay+C = 0. Här är konstanterna C 1 och C godtyckliga eftersom villkoret att vara normal bara beror på linjens riktning. 95

16 Exempel. Bestäm en ekvation för linjen, som går genom (, 1) och är normal till 3x + y + = 0 Observera att punkten (, 1) ligger utanför den givna linjen. Lösning. Den givna linjen, vars ekvation kan skrivas y = 3x/ 1, har riktningskoefficienten k 1 = 3/. Normalens riktningskoefficient är därför k = 1/k 1 = /3 och normalens ekvation y+1 = (x ) x 3y 7 = 0 3 beroende på vilken form man föredrar Cirkelns ekvation En cirkel består av alla punkter i ett plan som har ett bestämt avstånd, cirkelns radie, till en bestämd punkt, cirkelns medelpunkt eller centrum. y Ekvationen för en cirkel med radien R och medelpunkten (x 0,y 0 ) är (x0, y0) R (x,y) x (x x 0 ) +(y y 0 ) = R. Detta följer av avståndsformeln: Punkten (x, y) ligger på cirkeln precis när dess avstånd till (x 0,y 0 ), (x x0 ) +(y y 0 ), är R, eller (bättre) när kvadraten på detta avstånd är R. Figur 1: Cirkel med radie R kring x 0,y 0. Speciellt är x + y = R ekvationen för en cirkel med radien R och medelpunkten i origo. Cirkeln med ekvationen x + y = 1 kallas enhetscirkeln. Exempel. Ge den geometriska betydelsen av ekvationen x + x+y 3y = 3. Lösning. Ekvationen kan (genom kvadratkomplettering) skrivas om som x + x+1+y 3 y+ 96 ( ) 3 = 3+1+ ( ) 3

17 som om man använder kvadreringsreglerna blir ( (x+1) + y ) 3 = ( ) 5, vilket betyder en cirkel med medelpunkt ( 1, 3 ) och radie 5. Rita en figur Cirklar och räta linjer En rät linje som skär en cirkel kan göra det i en eller två punkter. Om det är två skärningspunkter, A och B så bildar sträckan AB en korda till cirkeln. Om linjen bara har en punkt, A, gemensam med cirkeln, så säger vi att linjen tangerar cirkeln och att A är tangeringspunkten. Av symmetriskäl är linjen genom cirkelns medelpunkt och en punkt A på periferin normal till cirkelns tangent i A. Exempel. Vi bestämmer ekvationen för tangenten i punkten (1, ) till cirkeln med medelpunkt (, 1) och radie 10. Lösning. Cirkelns ekvation är (x ) +(y+1) = 10. Insättning av (x,y) = (1,) ger VL = (1 ) +(+1) = ( 1) + 3 = 1+9 = 10 vilket visar att (1, ) ligger på cirkeln. Normalen till cirkeln genom (1, ) går också genom medelpunkten (, 1). Riktningskoefficient för normalen är ( 1) 1 = 3 1 = 3. Riktningskoefficient för tangenten är då 1 3 = 1. Tangentens ekvation erhålls med 3 enpunktsformeln: y = 1 3 (x 1). Detta skrivs om till y = 3 1x+ 5 3 eller x 3y+5 = 0 beroende på vilken form man önskar. Exempel. Vi bestämmer skärningspunkterna mellan cirklarna x + 4x+y y = 8 och x + 9x+y 3y = 10. Lösning. Skärningspunkter är lösningar till ekvationssystemet { x + 4x +y y = 8 x + 9x +y 3y = 10 Subtrahera första ekvationen från den andra. Då erhålls: 97

18 { x + 4x +y y = 8 5x y = Det nya ekvationssystemets geometriska tolkning är att vi söker skärningspunkterna mellan cirkeln x + 4x + y y = 8 och den räta linjen 5x y =. Lös ut y ur den andra ekvationen och sätt in i den första: { x + 4x+ (5x ) (5x ) = 8 y = 5x Den första ekvationen förenklas till 6x 6x = 0 med lösningarna x 1 = 0 som ger y 1 =, respektive x = 1 som ger y = 3. Insättning av punkternas koordinater i cirklarnas ekvationer visar att båda punkterna ligger på båda cirklarna. Det är en god vana att göra en sådan kontroll. Svar: Skärningspunkterna är (0, ) och (1, 3). En cirkels ekvation är bestämd om vi känner medelpunkt och radie, alltså om vi känner de tre storheterna x 0, y 0 och R. Detta betyder att tre av varandra oberoende villkor helt bestämmer en cirkel. T ex gäller det att genom tre givna punkter, som ej ligger i rät linje, går det en och endast en cirkel. Exempel. Vi bestämmer ekvationen för cirkeln som går genom de tre punkterna (, ), (, 4) och (, 0). Lösning. Kalla medelpunkten (a,b) och radien R. Cirkelns ekvation är (x a) +(y b) = R där vi ska bestämma a, b och R. De tre punkterna ger de tre ekvationerna ( a) + ( b) = R ( a) + ( 4 b) = R ( a) + (0 b) = R. Utveckla kvadraterna och subtrahera första ekvationen från de övriga: a 4a+4+ b 4b+4 = R 1b+1 = 0 8a+ 4b 4 = 0. Den andra ekvationen ger nu b = 1 som insatt i den tredje ger a = 1. Dessa värden ger i första ekvationen R = 10. Svar: Cirkelns ekvation är (x 1) +(y+1) = 10. Som tidigare är det lämpligt att kontrollera att de givna punkterna satisfierar den erhållna ekvationen. 98

19 3..5 Övningar 3..1 Bestäm avståndet mellan a) ( 6, 0) och origo b) origo och (, 3) c) (, ) och ( 3, ) d) (, ) och ( 4, 6) e) (, 5) och ( 4, 8) 3.. Bestäm en punkt på y-axeln, som ligger lika långt från punkterna a) ( 3, ) och (4, 1) b) (, 1) och (4, 5) 3..3 Bestäm läget för en liksidig triangels tredje hörn då två av hörnen ligger i a) ( 1, 1) och (3, 1) b) (, 3) och ( 1, 0) 3..4 Bestäm en ekvation för räta linjen genom a) origo med riktningskoefficienten /3 b) (,1) med riktningskoefficienten /3 c) (,3) parallell med x-axeln d) (,3) parallell med y-axeln Bestäm en ekvation för räta linjen genom punkterna: a) (1, 1) och (, 3) b) (, 3) och origo c) ( 1, 0) och origo d) (, 1) och (/3, 1/3) e) (4/3, 1/5) och (3/7, /9) f) ( /7, 3/3) och ( /7, 8/69) Sök skärningspunkterna mellan linjerna a) x+3y 6 = 0 och x+y 1 = 0 b) x+3y = 0 och x y+ = 0 c) x 3y 6 = 0 och 4x 6y = 36 d) 3x+y 4 = 0 och 6x+4y = Visa att om a 0 och b 0 så har den räta linjen genom punkterna (a,0) och (0,b) ekvationen x a + y b = 1. 99

20 3..8 Bestäm en ekvation för linjen genom punkterna: a) (, 0) och (0, 4) b) (0, 3) och (1, 0) c) (0, 1) och (0, 0) Bestäm en ekvation för normalen till linjen a) x+5y = 0 i origo b) 3y x = 4 i punkten ( 1,1) c) 5x+9y = 0 från punkten (,3) d) x = 4y+1 från origo Bestäm en ekvation för cirkeln med följande medelpunkt och radie: a) origo; R = 9 b) (, 3);R = 7 c) ( 6,0);R =, Ge en ekvation för en cirkel, som har medelpunkten ( 1,3) och går genom a) origo b) (1, 1) c) (7, 0) 3..1 Ange den geometriska betydelsen av ekvationen a) x + y 3 = 0 b) x + y 4y = 5 c) x + y 4x+3y = 0 d) x + y + 4x y+4 = 0 e) 36x + 36y 36x+48y = Sök skärningspunkterna mellan cirkeln x + 4x+y y = 8 och räta linjen a) 5x y = 0 b) x 3y 6 = 0 c) 4x y 6 = Ge en ekvation för en cirkel, som går genom a) (1, 3),( 3,1) och ( 5, 1) b) (6,7),( 3,4) och ( 18, 1) c) (1,6) och ( 3, ) och har medelpunkt på y-axeln. 100

21 3.3 Trigonometri De trigonometriska funktionerna i rätvinkliga trianglar Med utgångspunkt från figuren vid Pythagoras sats definierar vi de trigonometriska funktionerna: sina cosa tana cota = a c = b c = a b = b a motstående katet =, hypotenusa närliggande katet =, hypotenusa = motstående katet närliggande katet, = närliggande katet motstående katet. Förkortningarna utläses sinus, cosinus, tangens och cotangens. Det följer av definitionerna att sina och tana ökar om A ökar, medan cosa och cota minskar (så länge vinkeln A är spetsig, större vinklar behandlas senare). Vi observerar också gränsfallen 0 och 90 där vi får sin0 = tan0 = 0, cos0 = 1 sin90 = 1, cos90 = cot90 = 0 medan tangens inte kan definieras för 90 och cotangens inte kan definieras för 0. Vissa samband mellan de olika trigonometriska funktionerna kan också konstateras: tana = sina cosa = 1 cota, cosa cota = sina = 1 tana Exempel 6: En triangel med sidorna a = 3, b = 4 och c = 5 längdenheter är rätvinklig, eftersom = 5. Den brukar kallas den egyptiska triangeln och ger oss ett lätt sätt att tillverka en vinkelhake. I denna triangel är alltså sina = 3 5, cosa = 4 5, tana = 3 4, cota = 4 3. Med hjälp av miniräknaren kan vi beräkna de trigonometriska funktionerna för en vinkel, men vi kan också ta reda på vinkeln, om man känner en trigonometrisk funktion (åtminstone om vinkeln är spetsig som här). Eftersom det ser ganska olika ut på olika räknare, tar vi detta på undervisningen och inte här i detalj. T ex kan vi få ut vinkeln A 101

22 i den egyptiska triangeln genom att använda sinusfunktionen enligt ovan. sin A = 0, 6 ger då med miniräknarens hjälp att A 36,9. Vi får också genom att multiplicera med nämnarna i definitionerna att a = c sina, b = c cosa, a = b tana. Exempel 7: Antag att sidan c = 1cm och vinkeln A = 5. Då kan vi beräkna de återstående sidorna: a = c sina = 1 sin5 9,46cm och b = c cosa = 1 cos5 7, 39cm. Exempel 8: Antag att sidan b = 8cm och vinkeln A = 33. Då är tana = b a a = b tana = 8tan33 5,0cm. Vidare är cos A = b c c = cosa b = cos33 8 9,54cm. Två vinklar som har summan 90 kallas komplementvinklar. I vår rätvinkliga triangel är A och B = 90 A komplementvinklar. Vi tittar lite utförligare på definitionerna av de trigonometriska funktionerna och kan då se: cos(90 A) = sina, cot(90 A) = tana, sin(90 A) = cosa, tan(90 A) = cota. Det finns ett annat enkelt samband mellan sinus och cosinus. Om vi tar likheten a + b = c i Pythagoras sats och dividerar båda leden med c, får vi ( a c ) + ( b c ) = 1 dvs uttryckt i sinus och cosinus: (sina) +(cosa) = 1 Sambandet brukar kallas trigonometriska ettan. Man brukar skriva lite kortare: sin A+cos A = 1 10

23 För vissa vinklar kan man komma åt de exakta värdena på de trigonometriska funktionerna. Speciellt om man utgår ifrån en kvadrat eller en liksidig triangel är detta enkelt : Vi delar en kvadrat med sidan 1 längdenhet längs diagonalen. Diagonalens längd blir då längdenheter (använd Pythagoras sats!) Nu kan vi använda våra definitioner av trigonometriska funktioner: sin45 = 1, cos45 = 1, tan45 = 1, cot45 = : Vi upprepar bravaden med en liksidig triangel som vi klyver symmetriskt. Vi låter sidorna vara längdenheter, så att den delade halva sidan blir 1 längdenhet. Med Pythagoras sats kan vi då beräkna delningslinjen (höjden) till Nu får vi de exakta värdena på de trigonometriska funktionerna för både 60 och 30 (vi hoppar över cotangens denna gång): 3 sin60 =, cos60 = 1, tan60 = 3 sin30 = 1 3, cos30 =, tan30 =

24 Vi kan ställa samman våra resultat i en liten tabell, där vi också tar med 0 och 90. v sinv 0 1 cosv 1 tan v Trigonometriska funktionerna för allmänna vinklar I trianglar kan ju vinklarna bli mellan 0 och 180, i fyrhörningar och andra geometriska figurer kan man ha vinklar melllan 0 och 360. Det senare gäller ju också vid angivning av kurs för ett fartyg eller flygplan. I andra sammanhang, t ex när man arbetar med roterande apparater (generatorer, motorer etc) e ller med andra periodiska processer, låter man vinkeln löpa vidare flera varv. Om rotationsriktningen vänds, räknar man också med negativa vinklar. Med andra ord, vinklar kan få ha vilka reella värden som helst. Därmed finns det också anledning att utvidga våra definitioner av de trigonometriska funktionerna. För att kunna definiera de trigonometriska funktionerna mera allmänt, inför vi den s k enhetscirkeln i ett koordinatsystem. Dess medelpunkt är origo O = (0, 0), dess radie är 1. Punkten P = (1, 0) är cirkelns skärningspunkt med positiva x-axeln. Vi tänker oss nu att sträckan OP likt en visare på en klocka vrids moturs runt origo så att den hamnar i Q. Vinkeln mellan strålens utgångsläge OP och dess slutläge OQ kallar vi v. Observera att om man vrider v+360 så hamnar punkten P också i Q eftersom 360 motsvarar vridning ett varv moturs. y y Q u 1 v P x 1 v P v x (a) Vinkeln u är v+360. (b) En vinkel och dess negativa motsvarighet. Figur : Allmänna vinklar. Om visaren i stället vrids medurs räknas vinkeln negativ. 104

25 Det finns en stor fördel med detta synsätt. Vi kan tänka oss att visaren vrids mer än ett varv och låta vinkeln vara längden av den genomlöpta cirkelbågen. Vinklar kan då vara större än π. Dessa har inte längre någon geometrisk motsvarighet. Den punkt som motsvarar vinkeln 450 är (0,1) eftersom 450 = Visaren vrids ett och ett kvarts varv. Vinklarna 450 och 90 motsvaras av samma punkt men är olika vinklar. Om visaren vrids medurs är vinkeln negativ. Vinkeln 70 motsvaras också av (0,1). y En första observation vi kan göra är att om sin v (cos v, sin v) 1 v x cos v 0 < v < 90 så är Q = (cosv,sinv), eftersom vi har en rätvinklig triangel med en hypotenusa av längd 1. Denna observation ligger till grund för den allmänna definitionen av de trigonometriska funktionernas värden för godtyckliga vinklar. Figur 3: Enhetscirkeln. Definition: Låt Q = (x,y) motsvara vinkeln v enligt ovan. Då är cosv = x, sinv = y, tanv = y x om x 0, cotv = x y om y 0. För vinklar v sådana att x = 0 är tanv odefinierat. För vinklar v sådana att y = 0 är cotv odefinierat. Eftersom en ökning eller minskning av v med 360 motsvarar en vridning av visaren OP ett helt varv mot- eller medurs följer det att sinus och cosinus är periodiska. Närmare bestämt så har vi följande: sinv cosv = sin(v+360 ) = sin(v+n 360 ), för alla n Z = cos(v+360 ) = cos(v+n 360 ), för alla n Z 105

26 Trubbiga vinklar I en triangel är vinklarna alltid mellan 0 och 180. Därför ska vi koncentrera oss på att utforska sinus, cosinus och tangens för trubbiga vinklar, dvs mellan 90 och 180, eftersom vi vill kunna använda trigonometrin på allmänna trianglar (förut har vi ju bara kunnat använda den på rätvinkliga trianglar). Vi har tidigare kommit åt de spetsiga vinklarna, så nu ska vi jämföra dessa med de trubbiga genom en spegling i y- axeln. Två vinklar med summan 180, alltså v och 180 v kallas supplementvinklar. De svarar mot varandra genom spegling i y-axeln. Spegelpunkten till (a, b) med avseende på y-axeln är ( a,b) med vinkeln (180 v). Alltså är cos(180 v) = a = cosv sin(180 v) = b = sinv ( a, b) y 180 v v (a, b) x tan(180 v) = b a = tanv, Figur 4: Spegling i y-axeln. Vi kan nu bygga ut vår gamla tabell med exakta värden: v sinv cosv 1 1 tan v

27 Exempel 9: (a) Lös ekvationen sinx = 0,88 i intervallet 0 x 180. (b) Lös ekvationen cosx = 0,88 i intervallet 0 x 180. (c) Lös ekvationen cosx = 0,88 i intervallet 0 x 180. Lösning (a) Ekvationen har två olika lösningar i intervallet, miniräknaren ger oss den spetsiga lösningen x 1 61,6, den andra (trubbiga) lösningen är supplementvinkeln x = 180 x 1 118,4. (b) Cosinusekvationen har bara en lösning i vårt intervall, vi får den av miniräknaren: x 8,4 (c) Samma gäller här, men med ett negativt värde är vinkeln trubbig. Miniräknaren ger x 151,6 (som är supplementvinkeln till lösningen i (b)). Detta exempel visar att cosinus är att föredra framför sinus vid vinkelberäkningar, om man kan välja. I trianglar finns det högst en trubbig vinkel, så om man beräknar en vinkel som inte är triangelns största, kan man vara säker på att den är spetsig. Då är sinusekvationen ofarlig. 107

28 3.3.3 Allmänna trianglar, areasatsen, sinus- och cosinussatserna. En triangel har antingen tre spetsiga vinklar, den kallas då spetsvinklig, eller en trubbig och två spetsiga då den kallas trubbvinklig, eller en rät vinkel och två spetsiga då den som bekant kallas rätvinklig. Ganska ofta beror kalkyler eller resonemang på om triangeln är spets-, rät-, eller trubbvinklig. Det är därför viktigt att övertyga sig om att påståenden etc är allmängiltiga och inte bara gäller t ex spetsvinkliga trianglar. Följande satser kommer att användas i detta avsnitt. Deras bevis ges i Appendix. Areasatsen: För en triangel med sidorna a, b och c och motstående vinklar A, B och C så gäller för triangelns area T att T = b c sina = a c sinb = a b sinc. Med andra ord så är arean halva produkten av två sidors längder och sinus för deras mellanliggande vinkel. Sinussatsen: För en triangel med sidorna a, b och c och motstående vinklar A, B och C så gäller att sina a = sinb b = sinc c. Cosinussatsen: För en triangel med sidorna a, b och c och motstående vinklar A, B och C så gäller att c = a + b ab cosc. Anmärkning 1: Sinussatsens ekvationer kan lika gärna skrivas vilket kan vara behändigt om det är en sida man vill lösa ut. a sina = b sinb = Anmärkning : I specialfallet C = 90 fås c = a + b, d v s Pythagoras sats. c sinc, 108

29 Exempel 10: En triangel har sidorna a = 7, b = 39 (längdenheter) och vinkeln C = 95. Beräkna sidan c och triangelns area. Lösning: Cosinussatsen ger c = a + b bccosc = cos95. Kvadratroten ur detta ger c 49,3 Areasatsen ger triangelarean T = a b sinc 7 39 sin95 = 54, 5 areaenheter. Exempel 11: En triangel har sidorna a = 15, b = 19 och c = 7. Beräkna triangelns största vinkel. Lösning: Den största vinkeln är B eftersom den står mot den största sidan. Cosinussatsen ger b = a + c accosb cosb = a + c b Med miniräknarens hjälp får vi B 114,5. ac = Exempel 1: Ett fartyg rör sig med 8 knop rakt österut, opåverkat av strömmar. Vid två tillfällen med 30 minuters mellanrum mäter man riktningen till en och samma fyr. Bäringen blir då 1 respektive 33. Beräkna avståndet från fartyget till fyren vid de båda tidpunkterna. Lösning: Efter 30 minuters gång med farten 8 knop har man tillryggalagt 4 nautiska mil i väst-östlig riktning. Från denna baslinje har man två sträckor a och b att beräkna i en triangel med vinklarna 78, 6 och 40 (se figuren, där också sambanden mellan de i uppgiften angivna riktningarna och triangelns vinklar antyds). 40 N a b N = M Både a och b kan beräknas med hjälp av sinussatsen: a sin6 = b sin78 = 4 sin40 a = 4sin6 4sin , b = sin40 sin Svar: avstånden var 5.5 M respektive 6.1 M. 109

30 Exempel 13: Solvera en triangel, d v s beräkna alla sidor och vinklar, om det är känt att a = 7,0, b = 5,5 och B = 40. Lösning 1: Sinussatsen ger sina a = sinb b sina = a b 7,0 sinb = 5,5 sin40 7,0 0,643 0,818 5,5 Ekvationen sin A 0, 818 har lösningarna A 1 54,9 (spetsig vinkel) och A = 180 A 1 15,1 (trubbig vinkel), ty sina = sin(180 A 1 ) = sina 1. Fall 1: A 1 54,9 ger vinkeln C 1 = 180 B A 1 85,1. Med sinussatsen fås sidan c 1 = b sinc 1 sinb c 1 = b sinc 1 sinb 5,5 sin85,1 sin40 5,5 0,996 0,643 8,5. Fall : A 15,1 ger vinkeln C = 180 B A 14,9, och sidan c = b sinc sinb c = b sinc /sinb 5,5 sin14,9 /sin40 5,5 0,57/0,643,. Figuren illustrerar de två fallen (fall 1 streckat där det skiljer sig) C 1 C a b 1 b B A 1 c c 1 A Lösning : Man kan också lösa detta problem med cosinussatsen. Man löser då ut sidan c, som denna gång inte är den som står mot den kända vinkeln (som i exempel 10), och man får en andragradsekvation som ger oss de två fallen: b = a + c accosb c accosb+a b = 0 110

31 pq-formeln ger oss c (14cos40 )c+18,75 = 0 c = 7cos40 ± (7cos40 ) 18,75 5,36 ± 3,16 Vi får de två fallen c 1 8,5 och c,. Med sinussatsen bestämmer man sedan den mindre av de återstående vinklarna, så man vet att man ska välja det spetsiga lösningsalternativet som sinusekvationen ger. Vilken som är den mindre avgörs ju av storleksordningen mellan de motstående sidorna, som nu är kända. Den sista vinkeln bestäms som förut med vinkelsumman. Detaljerna utelämnas här. Svar: Fall 1: A 1 54,9, C 1 85,1, c 1 8,5 Fall : A 15,1, C 14,9, c, Trigonometriska additionsformler Innan vi tittar på ekvationer som innehåller trigonometriska funktioner behöver vi gå igenom de trigonometriska additions- och subtraktionsformlerna. I allmänhet är sin(u+v) ej lika med sinu+sinv. T ex u = v = 30 ger sin(u+v) = sin60 = 3 medan sinu+sinv = sin30 = 1 = 1. Istället gäller följande formler (som också är bra att kunna utantill): sin(u+v) = sinu cosv+cosu sinv sin(u v) = sinu cosv cosu sinv cos(u+v) = cosu cosv sinu sinv cos(u v) = cosu cosv+sinu sinv tan(u+v) = tanu+tanv 1 tanu tanv tan(u v) = tanu tanv 1+tanu tanv Vi visar först formeln för cos(u v) med hjälp av cosinusteoremet från kapitel 3 i del 1. Tag punkter P = (x 1,y 1 ) och Q = (x,y ) på enhetscirkeln så att (x 1,y 1 ) = (cosu,sinu) och (x,y ) = (cosv,sinv). Då är x 1 + y 1 = 1 och x + y =

32 Tillämpa cosinusteoremet på triangeln OPQ. Det ger d = cos(u v). (cos u,sin u) y d (cos v, sin v) Med avståndsformeln fås också u v v x d = (x 1 x ) +(y 1 y ) = x 1 x 1 x + x + y 1 y 1 y + y = (x 1 + y 1)+(x + y ) (x 1 x + y 1 y ) = 1+1 (cosu cosv+sinu sinv). En jämförelse av de två uttrycken för d ger Figur 5: Använder cosinussatsen på den avbildade triangeln. cos(u v) = (cosu cosv+sinu sinv) vilket förenklas till formeln för cos(u v). Formeln för cos(u v) kan sedan utnyttjas för att bevisa de övriga formlerna. Vi lämnar detaljerna till läsaren och ger endast en fingervisning till hur det kan göras. För cosinus av en summa använder man cos(u+v) = cos(u ( v)) = cosu cos( v)+sinu sin( v), och utnyttjar att cos( v) = cosv och sin( v) = sinv. För att bevisa formlerna för sinus så kan man utgå ifrån ( π ) (( π ) ) sin(u+v) = cos (u+v) = cos u v. Slutligen för att bevisa formlerna för tangens så startar man med tan(u+v) = sin(u+v) cos(u+v) och utnyttjar formlerna för sinus och cosinus. Exempel. Beräkna sin75 exakt. Lösning: Vi utnyttjar additionsformeln för sinus och får ( π sin75 = sin( ) = sin 4 6) + π = sin π 4 cos π 6 + cos π 4 sin π ( 6 = ( ) 6+ ) = = =. 4 4 Med additions- och subtraktionsformlerna kan man alltså beräkna de trigonometriska funktionerna exakt för fler värden. 11

33 Formler för dubbla vinkeln Genom att sätta u = v i summaformlerna får man direkt formler för dubbla vinkeln. sinu = sinu cosu tan u = tanu 1 tan u cosu = cos u sin u cosu = cos u 1 cosu = 1 sin u De två sista följer av den första formeln för cosu med hjälp av trigonometriska ettan Trigonometriska ekvationer Om (x,y) är en given punkt på enhetscirkeln x +y = 1, så är (enligt definition) cosv = x och sinv = y (se avsnitt 3.6 i del 1). Omvänt, om värdena för cos v och sinv båda är givna, så är punkten (x,y) entydigt bestämd och vinkeln v bestämd med undantag av en multipel av π, d v s med undantag av ett antal hela varv. Om däremot endast cosv = a är givet, så kan vinkeln v ligga i två olika kvadranter, en i övre och en i undre halvplanet, ty cos( v 0 ) = cosv 0. Analogt, om endast sinv = b är givet, så kan v ligga antingen i högra eller vänstra halvplanet, ty sin(π v 0 ) = sinv 0. Exempel. Lös ekvationen sin v = 1/. Lösning. Vi vet ifrån avsnittet om trianglar och trigonometri att sin(π/6) = 1/. Därmed är v 1 = π/6 en lösning till ekvationen. Eftersom sin(π v) = sinv så är även v = π π/6 = 5π/6 en lösning till ekvationen. Dessutom kan man ju alltid ändra en vinkel med ett helt antal varv så att v 1 + π, v 1 + 4π, v 1 + 6π,... är alla lösningar till ekvationen liksom v 1 π, v 1 4π, v 1 6π,... Samma sak om man byter ut v 1 mot v. Vi får alltså att samtliga lösningar till ekvationen är { π/6+n π v = 5π/6+n π, där n är ett godtyckligt heltal. En lösning, såsom v = π/6 i exemplet ovan, kallas för en specifik lösning och mängden av alla lösningar kallas för den allmänna lösningen. Vi ska nu ange formler för den allmänna lösningen för ekvationer som innehåller cosinus, sinus respektive tangens. (För cotangens kan man utnyttja att cotx = 1 tanx.) 113

34 Ekvationen cos v = a, där 1 a 1, har allmänna lösningen { v0 + n π v = v 0 + n π, där n är ett godtyckligt heltal och v 0 är en vinkel som satisfierar ekvationen cosv 0 = a. Lösningarna kan erhållas genom skärning av enhetscirkeln x + y = 1 med räta linjen x = a. Ovanstående kan också formuleras (med v 0 = u) som y v 0 v 0 x = a x cosv = cosu v = ±u+n π Figur 6: Lösningarna till cos v = a. Ekvationen sin v = b, där 1 b 1, har allmänna lösningen { v0 + n π v = π v 0 + n π, där n är ett godtyckligt heltal och v 0 är en vinkel som satisfierar ekvationen sinv 0 = b. Lösningarna kan erhållas genom skärning av enhetscirkeln x + y = 1 med räta linjen y = b. Detta kan också formuleras (med v 0 = u) som y v 0 v 0 y = b x sinv = sinu Figur 7: Lösningarna till sin v = b. om och endast om v = u+n π eller v = π u+n π Vi har definierat tan v = y/x och visat att tanv är periodisk med perioden π. Alltså gäller att: 114

35 Ekvationen tanv = k, där < k <, har allmänna lösningen v = v 0 + n π där n är ett godtyckligt heltal och v 0 är en vinkel som satisfierar ekvationen tanv 0 = k. Lösningarna kan fås genom skärning av enhetscirkeln x + y = 1 med räta linjer y = kx. Detta kan också formuleras (med v 0 = u): tanv = tanu v = u+n π y v 0 v 0 y = kx x Figur 8: Lösningarna till tan v = k. Exempel. Lös ekvationen sin(v + 1) = 1/. Lösning. Sätt v+1 = t och lös först ekvationen sint = 1/. En lösning är så allmänna lösningen blir t = t 0 = arcsin 1 = π 6 = 30, { t0 + n π = π/6+n π π t 0 + n π = 5π/6+n π. Vi får till slut genom att sätta in detta i v+1 = t och lösa ut v att { 1/+π/1+n π v = (t 1)/ = 1/+t/ = 1/+5π/1+n π. Exempel på lösningar får man genom att ersätta n med olika heltal. Om vi t ex sätter n = 1 i de två olika fallen så får vi lösningarna v = 1/+13π/1 och v = 1/+ 17π/1. Exempel. Lös ekvationen cos3v+cosv = 0. Lösning. Vi kan skriva om ekvationen som cos3v = cos(v+π), ty cos(v+π) = cosv. Därmed har vi skrivit den på formen cos w = cosu och som vi såg ovan så är detta sant om och endast om w = ±u+n π. Det ger cos3v = cos(v+π) 3v = ±(v+π)+n π. Vi delar upp i två olika fall beroende på teckenvalet i högerledet. 115

36 Fall 1: Ekvationen 3v = +(v+π)+n π ger v = π + n π, d v s v = π/+n π, där n är ett godtyckligt heltal. Fall : Ekvationen 3v = (v+π)+n π ger 4v = π + n π, d v s v = π/4+n π/ = +π/4+m π/, där m = (n 1) är ett godtyckligt heltal. Svar: v = π/+n π och v = π/4+n π/ där n = 0,±1,±,... Anmärkning: Vi kunde också (i exemplet ovan) använt formeln cos(π v) = cosv. (Genomför räkningen och jämför svaren!) Exempel. Lös ekvationen sinv+ 3 cosv = 0. Lösning. Ekvationen kan skrivas tanv = 3 efter division med cosv, ty tanv = sinv/cosv. Det är inga problem med att dividera med cos v, ty om cosv = 0 så är sinv antingen 1 eller 1 och detta ger ingen lösning till ekvationen. Denna ekvation har en lösning v 0 = π/3 = 60, ty tan( π/3) = tan(π/3) = 3. Allmänna lösningen blir då v = v 0 +nπ = π/3+n π, där n godtyckligt heltal. [Alternativ formulering av svaret är: v = π/3+m π, (där m = n 1)]. Hittills har vi skrivit om ekvationen så att den blev på formen cosv = a eller cosu = cosv (eller med sin eller tan). Man kan också lösa ekvationer där det är polynom av en trigonometrisk funktion cos v, d v s ekvationer som innehåller termer av typen c(cosv) n. Strategin är då att först ersätta cos v med t och bestämma lösningarna för polynomekvationen med t som obekant. Därefter bestämmer man v genom att lösa cos v = t för alla lösningar t till polynomekvationen. Här är det viktigt att komma ihåg att cosv 1 och sinv 1. Exempel. Lös ekvationen (cosv) cosv = 3. Lösning. Sätt cosv = z. Kom ihåg att det betyder att z 1. Då fås andragradsekvationen z z = 3, d v s z 1 z 3 = 0 med rötterna z 1, = 1 4 ± = 1 4 ± 5 4, d v s z 1 = 3 och z = 1. Den första lösningen z 1 = 3/ är orimlig, ty z 1. Den andra lösningen z = 1 ger ekvationen cosv = 1 med allmän lösning v = ±π + n π = π + n π, 116