Ellipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.

Transkript

1 Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som utgångspunkt att, likt den store grekiske matematikern Appolonius, betrakta ellipsen som ett kägelsnitt (konisk sektion). Figuren nedan visar en dubbelkon i blå färg. Börja med att bekanta dig med denna (vanligen tänker du nog på en kon som en begränsad del av den nedre delen av dubbelkonen). Dubbelkonen är en yta med oändlig utsträckning. Linjerna som går genom konens spets kallas generatriser. Namnet kommer av att vi kan tänka oss konen alstrad (genererad) av en generatris, som roterar kring en lodrät axel. Denna axel är streckad i figuren. Vågräta plan skär konen i cirklar och fyra sådana är utritade i figuren, också med blå färg. Dessa cirklar ligger alltså i parallella plan, även om figuren inte perfekt illustrerar detta. Appolonius ägnade dubbelkonen ett omfattande studium. I nästa figur ser vi ett plan (i svart) som skär konen i en kurva (i rött). Denna kurva kallas ellips. Genom att välja andra lutningar på planet i förhållande till konen, får vi skärningskurvor av andra utseenden. De kallas parabler och hyperbler, men vi fördjupar oss inte i det 1

2 utan nöjer oss med att studera ellipser. Men du kan själv fundera över vad som händer om planet har en annan lutning än i figuren. Parabeln och hyperbeln har i motsats till ellipsen oändlig utsträckning. Apollonius, som föddes i staden Perga i nuvarande Turkiet, levde c:a f.kr. (mindre seriösa historieböcker anger ofta årtal exakt, men dessa bör tas med en nypa salt. Födelseåren vet man nästan aldrig exakt eftersom personen i fråga inte var känd redan vid födseln. Däremot förekommer det att dödsåret kan anges exakt om, som i fallet med Arkimedes, det enligt källorna sammanfaller med en annan känd händelse). Apollonius var verksam vid universitetet Museion i Alexandria under lång tid. Han var inte den förste som studerade kägelsnitt, men den främste och hans arbeten är oerhört omfattande och för en modern läsare svåra att läsa (jag har inte försökt). Men arbetena finns i engelsk översättning Conic Sections Book I VIII. En väldigt summarisk beskrivning av något av vad Apollonius gjorde är följande. Apollonius jämförde olika sträckor som kan associeras till kägelsnitten på ett sätt som kan jämföras med (och kanske kan ses som en föregångare till) den analytiska geometrin (geometrin där vi räknar med koordinater). Ordet ellips kommer från grekiska elleipsis som enligt NE betyder utelämnande eller uteslutande. Det syftar här på att en viss sträcka är lite kortare än en viss annan sträcka som den jämfördes med. För parabeln (jämför grekiska parabole, som betyder betyder liknelse ) är sträckorna lika och för hyperbeln (jämför grekiska hyperbole, som betyder överdrift ) är den första sträckan större än den andra. Drivkraften var nog, som hos de flesta av oss moderna forskare, lusten att utveckla matematiken för dess egen skull. En nyfikenhet och vilja till bättre förståelse drev honom säkert. Men kanske någon ändå funderade över om det finns några tillämpningar utanför matematiken? Vi får återkomma till det. 2. Ellipsens brännpunkter och ellipsen som lösningen till ett ortsproblem. I det följande gör vi inte anspråk på att följa Apollonius utan lägger upp teorin på vårt eget vis med målsättningen att finna en modern analytisk beskrivning av kurvan. Nästa figur visar två sfärer; en över och en under ellipsplanet. Vardera sfären tangerar ellipsplanet i en punkt (röd i figuren) och konen längs en cirkel (blå i figuren). Man får tänka efter lite för att inse att det finns precis två sfärer med dessa egenskaper. Av någon anledning kallas sfärerna för Dandelins sfärer (efter en belgisk matematiker, ). Tangeringspunkterna kallas ellipsens brännpunkter (eller foci). Här kallar vi dem F respektive F +. Om det skärande planet är vågrätt (vinkelrätt mot konens axel), är ellipsen en cirkel och de två brännpunkterna sammanfaller med cirkelns medelpunkt. 2

3 Låt P vara en godtycklig punkt på ellipsen och betrakta generatrisen genom P. Denna skär sfärerna i A respektive B, se figuren. Denna skär Dandelinsfärerna i A respektive B, se figuren. Sträckan P A är tangent till den övre sfären. Men även P F + är tangent till den övre sfären och således är P A = P F +. Analogt inser vi att P B = P F. Alltså är P F + P F + = P A + P B = AB. Tänk dig att läget av P på ellipsen varierar. Då varierar P F och P F + men AB är konstant d.v.s. oberoende av P. Vi har alltså funnit att Summan av avstånden från en punkt på ellipsen till ellipsens båda brännpunkter är konstant (oberoende av punkten). Studerar du figuren igen lite noggrannare finner du att om punkten ligger i ellipsplanet men utanför (innanför) ellipsen så blir summan av avstånden till brännpunkterna större (mindre) än AB. Ellipsen är således exakt den mängd av punkter i ellipsplanet sådana att summan av avstånden till brännpunkterna är AB. Detta ger oss ett alternativt sätt att definiera ellipser. Ellipsen är geometriska orten för punkter i planet med konstant summa av avstånd till två givna punkter. 3

4 Ett lite gammaldags sätt att formulera sig, men trevligt. Med geometriska orten avses den mängd av punkter som uppfyller villkoret som följer (konstant summa...). På motsvarande sätt kan vi definiera cirkel som geometriska orten för punkter i planet med konstant avstånd till en given punkt. 3. Ellipsens axlar och excentricitet. Vi skall fortsätta vårt studium av ellipsen med denna nya utgångspunkt och använda en plan figur. Punkten mitt emellan brännpunkterna är ellipsens medelpunkt. Linjen genom brännpunkterna skär ellipsen i två punkter, och sträckan mellan dessa punkter kallas ellipsens storaxel. Längden av halva storaxeln betecknar vi a. Övertyga dig i figuren om att den konstanta summan P F + P F + = 2a. Sträckan som begränsas av ellipsen, går genom medelpunkten och är vinkelrät mot storaxeln kallas lillaxel. Halva lillaxelns längd betecknar vi med b. I cirkelfallet är a = b = cirkelns radie, och axlarna är inte entydigt definierade. Halva avståndet mellan brännpunkterna betecknar vi c. För cirkeln är c = 0. Antag att vi vet att punkten P i figuren ligger på ellipsen med brännpunkter i F och F +. Det bestämmer ellipsen fullständigt, ty detta ger oss värdet av den konstanta summan av avstånden till brännpunkterna. Speglar vi P i stor- eller lillaxel får vi därför nya punkter på ellipsen, vilka jag markerat som P 2, P 3 och P 4. Det följer alltså att ellipsen är symmetrisk med avseende på båda axlarna. Detta är ganska intressant, ty det är svårt att av figuren, som visar ellipsen som ett kägelsnitt, se att ellipsen har dessa symmetriegenskaper. Övning 1. Betrakta den likbenta triangeln i figuren. Visa att benens längder är a och att vi alltså har sambandet a 2 = b 2 + c 2. 4

5 Vi skall införa ytterligare en storhet, kallad ellipsens excentricitet e, genom e = c a. Cirkelns excentricitet är 0 och allmänt är 0 e < 1. Excentriciteten är ett mått på ellipsens avvikelse från cirkulär form. 4. Ellipsens ekvation i polära koordinater. Nu skall vi ge ett analytiskt uttryck för ellipsen och gör detta i s.k. polära koordinater. Låt P vara en variabel punkt på ellipsen. Till P hör en vektor F P = r, som vi kallar radiusvektor och dess längd betecknar vi med r. Vinkeln mellan F F + och F P kallar vi ϕ, se figuren, och har alltså 0 ϕ < 2π. Övning 2. Vilka gränser gäller för r? Låt s = P F +. Då är alltså r + s = 2a, men nog borde väl s kunna beräknas uttryckt i r och ϕ? Visst, det är ju cosinusteoremet: s 2 = r 2 + (2c) 2 2r 2c cos ϕ (4.1) och sätter vi in s = 2a r och c = ae och förenklar så får vi Övning 3. r = a(1 e2 ) 1 e cos ϕ (4.2) När ϕ = π 2 får vi r = a(1 e2 ) och detta tal brukar betecknas p, se figuren. Talet 2p kallas ellipsens parameter. 5

6 Vi har alltså r = p 1 e cos ϕ (4.3) som är ellipsens ekvation i polära koordinater. 5. Ellipsens ekvation i cartesiska koordinater och ellipsens area. Det är ellipsens ekvation i polära koordinater vi skall använda senare, men till allmänbildningen hör också att känna till ellipsens ekvation i cartesiska koordinater, d.v.s. i ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem. I själva verket är det den ekvationen man oftast stöter på i läroböcker i geometri. Men här skall vi härleda denna ekvation med utgångspunkt i att vi nu känner ekvationen i polära koordinater. Lägg in ett koordinatsystem med origo i ellipsens medelpunkt och med x-axeln längs ellipsens huvudaxel så att F + = (c, 0) och F = ( c, 0). Det finns många samband mellan storheterna a, b, c, e och p. Vi har redan c = ae (enligt definitionen av e), a 2 = b 2 + c 2 och p = a(1 e 2 ). Övning 4. Visa att 6

7 a = p 1 e 2, c = pe 1 e 2, b = p 1 e 2 och b 2 = a 2 (1 e 2 ) (5.1) Nu är ju r cos ϕ = x + c, eller hur? Detta ger tillsammans med (4.2) ger Övning 5. r = a + ex (5.2) Analogt visas att P F + = a ex, villet stämmer bra med att P F + P F + = 2a. Vi har också r 2 = (x + c) 2 + y 2, som ger oss (a + ex) 2 = (x + c) 2 + y 2, vilket du förenklar till Övning 6. Men 1 e 2 = b2 a 2. Alltså Övning 7. (1 e 2 )x 2 + y 2 = b 2 (5.3) x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (5.4) Vi avslutar med att beräkna ellipsens area (eller, mer korrekt uttryckt, arean av ellipsskivan 1). Betrakta den linjära avbildning av planet på sig självt som ges av (s, t) x 2 a 2 + y2 b 2 (x, y) = (as, bt). Cirkelskivan s 2 + t 2 = 1 avbildas härigenom på ellipsen x2 a + y2 2 b = 1. 2 Varje rektangel med sidorna s och t avbildas på en rektangel med sidorna a s och b t. Vi har alltså en konstant areaskala, nämligen ab. Den gäller även då cirkeln avbildas på ellipsen, ty cirkelskivan kan godtyckligt väl approximeras av rektanglar. Enhetscirkelns area är ju π, så ellipsens area är πab. 7