Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Transkript

1 MATEMATIK Karlstads universitet , kl Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast svar lämnas, skriv svaren på det separata svarsbladet. Poäng ges endast för helt korrekta svar. 1. Följande uppgifter är värda 0.5 poäng vardera: (a) Bestäm vinkeln mellan vektorerna u = 2i j och v = i + 3j. (b) Förenkla cos(arctan(3)). (c) Förenkla 2 6/ ln 4 så långt som möjligt. (d) Beräkna den aritmetiska summan (e) Bestäm f (1) om f(x) = ln(arctan(x 3 )). (f) Bestäm (1 3i) 9 på formen a + bi (med a, b R). (g) Bestäm mängden M = {x N 5 < x 3 < 30}. (h) Betrakta intervallen A = ( 2, 1), B = [ 1, 3] och C = (0, 2]. Bestäm (A B) C. (i) Betrakta följande utsagor om reella tal x: P : x > 1, Q : x > 0, R : x 2 > 1. Vilka av utsagorna A, B, C och D är sanna? A : P Q, B : P R, C : (Q R) P, D : R P ( Q). x 1 (j) Beräkna gränsvärdet lim. x 1 x (k) Beräkna lim x 2x 10 e x + 3e 2x e 2x + ln x. (l) Man vet att g(x) = e x och (f g)(x) = x 2. Bestäm funktionen f. Var god vänd!

2 Alla uppgifter nedan kräver fullständiga lösningar. För full poäng skall lösningarna vara prydligt nedskrivna, formellt korrekta och lätta att följa. 2. (a) Bestäm ekvation för planet som innehåller punkterna (2, 1, 0), (1, 1, 1) och (1, 3, 0). (b) Bestäm kortaste avståndet från origo till planet i (a). 3. Lös olikheterna 2 (a) x 2 3 x 3 (b) ln(e x 2) x ln Låt A = och b = (a) Bestäm inversen till A. (b) Lös matrisekvationen Ax = b. (c) Lös matrisekvationen ya = b T. 5. Bestäm lutningen för tangentlinjen till kurvan x y + 1 = y 2 i punkten (2, 3). 6. Bestäm inversen till funktionen f(x) = x 2 1. Ange inversens definitions- (3p) och värdemängder. Rita graferna till f och f 1 i samma koordinatsystem. 7. Bestäm ekvationen för den eller de tangenter till kurvan y = x som går genom origo.

3 MATEMATIK Karlstads universitet , kl Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast svar lämnas, skriv svaren på det separata svarsbladet. Poäng ges endast för helt korrekta svar. 1. Följande uppgifter är värda 0.5 poäng vardera: (a) Förenkla arcsin(cos(3π/4)). (b) Förenkla 2 log 3 6 log log 3 15 så långt som möjligt. (c) Bestäm a så att vektorerna u = 2i aj 3k och v = 6i + j + ak blir vinkelräta. (d) Lös ekvationen 4 sin 2 x + 4 cos x = 5. (e) Bestäm f (4) om f(x) = x x. ( ) 11 (f) Bestäm binomialkoecienten. 3 ( ) i (g) Bestäm på formen a + bi (med a, b R). 2 (h) Sambandet x 2 y 3 + y = 2 bestämmer y som en funktion av x. Bestäm y (1). (i) Skriv den aritmetiska summan med summatecken. (j) Bestäm mängden M = {x R x 3 = x} {x R x < 1}. (k) Vilka utsagor om realla tal x är sanna? A : x : x 3 x 2, C : x : sin(x) < 2 B : x : x 3 x 2, D : (x < 1 x 2 < 1) (l) Bestäm asymptoterna för hyperbeln y 2 2y 4x 2 + 8x = 1. Var god vänd!

4 Alla uppgifter nedan kräver fullständiga lösningar. För full poäng skall lösningarna vara prydligt nedskrivna, formellt korrekta och lätta att följa. 2. Lös följande ekvationer och olikhet (a) x = x (b) 2 ln x ln(6 x) = ln 3 x (c) 3 x x (d) z 3 2iz 2 2z = Låt L vara linjen som ges av ekvationerna x+3y = 7 och 2y +z = 4. Bestäm (3p) ekvation för planet som innehåller L och punkten P = (3, 1, 1). 4. Ekvationssystemet x 3y z = 2 2x 4y + 2z = p x + 2y z = 1 har oändligt många lösningar för ett visst värde på p, vilket? Lös ekvationssystemet för detta värde på p. [ ] Låt A =. Bestäm matrisen X som uppfyller ekvationen AXA = E Bestäm inversen till funktionen f(x) = 2x + 1. Ange inversens denitions- 3x + 1 och värdemängder. 7. Bestäm konstanterna a och b så att funktionen (3p) a(x 1) om x > 1, x + 3 x2 + 3 f(x) = b om x = 1, x 2 + a om x < 1, x 3 blir kontinuerlig på hela R.

5 MATEMATIK Karlstads universitet , kl Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast svar lämnas, skriv svaren på det separata svarsbladet. Poäng ges endast för helt korrekta svar. 1. Följande uppgifter är värda 0.5 poäng vardera: (a) Förenkla e ln(arctan 1) så långt som möjligt. (b) Lös ekvationen sin(x) = sin(x + π/4). (c) Förenkla tan(arcsin(2/3)). (d) Beräkna den aritmetiska summan (e) Bestäm denitionsmängden till f(x) = arcsin(2x + 1). (f) Bestäm f (2) om f(x) = ln(1 + x x ). (g) Bestäm vinkeln mellan vektorerna v = i + 2j + 3k och u = 3i + j 2k. x (h) Beräkna gränsvärdet lim. x 1 x + 1 (i) Bestäm mängden M = {n Z n 2 < 5} (, 3]. (j) Negera utsagan För varje positivt heltal n är sin n n. (k) Bestäm x 4 -koecienten i polynomet (x 2) 7. (l) Bestäm medelpunkt och halvaxlar för ellipsen 2x 2 12x + y 2 + 2y + 15 = 0. Var god vänd!

6 Alla uppgifter nedan kräver fullständiga lösningar. För full poäng skall lösningarna vara prydligt nedskrivna, formellt korrekta och lätta att följa. 2. Lös olikheterna x (a) x x (b) ln(3 e x ) 2 x 3. (a) Bestäm ekvationen för planet genom punkterna (0, 1, 1), (2, 1, 1) och (1, 1, 3). (b) Visa att skärningslinjen mellan planen x y z = 2 och 3x 2y = 1 är vinkelrät mot planet i (a). [ ] 1 2 (c) Låt A =. Lös matrisekvationen AX + 3E = A Bestäm lutningen för tangentlinjen till kurvan 4 arctan(xy) = πy 2 i punkten (1, 1). 5. Bestäm lösningarna till ekvationen z = 0 på formen z = a + bi med a, b R. 6. Låt f(x) = x 1 x. (a) Visa att f är inverterbar och bestäm f 1. (b) Bestäm funktionen g så att (f g)(x) = e x. (c) Beräkna och förenkla (f f f)(x). 7. Kurvan y = ln x har en tangent som passerar punkten (0, 1). Bestäm denna (3p) tangentlinje.

7 MATEMATIK Karlstads universitet , kl Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast svar lämnas, skriv svaren på det separata svarsbladet. Poäng ges endast för helt korrekta svar. 1. Följande uppgifter är värda 0.5 poäng vardera: (a) Förenkla 3 3a a+3b 2 9b 2a+6b 2 (b) Bestäm binomialkoecienten så långt som möjligt. ( ) 9. 4 (c) Förenkla log 2 (3) log 3 (4) så långt som möjligt. (d) Lös ekvationen sin 2x = sin 3x. (e) Beräkna f (4) om f(x) = ( x) x. (f) Bestäm (1 i) 6 på polär form. 2e 2x + 3e x (g) Beräkna lim x 4x e 2x. (h) Bestäm talet a så att vektorerna u = ai j + ak och v = i + 2j 4k blir vinkelräta. (i) Bestäm mängden M = {x Z x 2 < 5} {x Z 3x + 1 < 5}. (j) Betrakta följande utsagor om reella tal x: P : x > 2, Q : x > 1, R : x 2 > 4. Vilka av utsagorna A, B, C och D är sanna? A : P R, B : P R, C : (R Q) P, D : R P ( Q). (k) Beräkna den geometriska summan e e e 100. (l) Bestäm asymptoterna för hyperbeln x 2 2x 4y 2 8y = 4. Var god vänd!

8 Alla uppgifter nedan kräver fullständiga lösningar. För full poäng skall lösningarna vara prydligt nedskrivna, formellt korrekta och lätta att följa. 2. Lös ekvationerna och olikheten: (a) 3 x 3 = 4x 3, 2x (b) x 2 x + 3, (c) z 2 + 2iz 5 = (a) Bestäm ekvation för planet som innehåller punkterna (0, 1, 1), (2, 0, 1) och (1, 1, 3). (b) Bestäm kortaste avståndet från punkten (1, 1, 2) till planet i (a). x 2 4. (a) Beräkna gränsvärdet lim x 2 x 3 x 2 5x + 6. (b) Bestäm f (x) utifrån derivatans denition om f(x) = x Visa att f(x) = 2x är inverterbar och bestäm dess invers. Ange denitions- och värdemängd för f Låt A = och b = (a) Bestäm inversen till A. (b) Lös matrisekvationen Ax = b. 7. Bestäm konstanten a > 0 så att kurvorna x a + xy a = 2 och 2x 2 = y 5 + y skär varandra under rät vinkel i punkten (1, 1).