Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Transkript

1 Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIOR Komplettering sker inom sex veckor efter att resultat meddelats Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar ( Endast svar utan tillhörande lösning ger poäng) Skriv endast på en sida av papperet Skriv TYLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget) Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B, Klass C eller Omregistrerad et här bladet lämnar du in tillsammans med lösningar Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Bestäm alla asymptoter till funktionen x x ( + + f Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten a 8 för funktionen y x Uppgift (p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift ) Beräkna dubbelintegral ( x + dxdy då definieras genom x, y x Var god vänd Sida av 8

2 ln( x ) Uppgift (p) Vi betraktar funktionen f ( x a) Bestäm definitionsmängden och eventuella skärningspunkter med x-axeln b) Bestäm eventuella asymptoter (lodräta/vågräta/sneda) c) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass) d) Rita grafen Uppgift 5 (p) Beräkna följande integraler a) x sin( x ) dx b) x 9 dx Uppgift 6 (p) Beräkna volymen av det område som ligger mellan xy-planet och ytan z x y Tips: Området definieras av z x y och x + y Använd polära koordinater Uppgift (p) Vi betraktar funktionen f ( x, x + y y + Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (MIN/MAX/SAEL) Uppgift 8 (p) Ett område Ω definieras av y x + och x a) Beräkna arean av Ω b) Låt T (x c,y c ) vara områdets tyngdpunkt Bestäm tyngdpunktens x-koordinat x c Uppgift 9 (p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y y ( x + ) som uppfyller y ( ) Uppgift (p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + y + y 5 Lycka till Sida av 8

3 FACIT Uppgift (p) Bestäm alla asymptoter till funktionen x x ( + + f Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla reella tal x (ärmed har funktionen ingen lodrät(vertikal) asymptot) Vågräta (horisontella) asymptoter: x + + / x + lim f ( lim (dela med x ) lim x > x > x + x > + / x + x + + / x + lim f ( lim (dela med x ) lim x > x > x + x > + / x + Funktionen har en vågräta (horisontell) asymptot, y Svar Funktionen har en vågräta (horisontell) asymptot, y Uppgift (p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten a 8 för funktionen y x f ( x, f ( 8) 8 / f ( x, f ( 8) 5/ f ( x, f (8) 9 Taylors polynom av ordning : f ( a) P( f ( a) + f ( a)( x a) + ( x a)! + ( x 8) ( x 8) 88 Svar: P ( + ( x 8) ( x 8) 88 Uppgift (p) Sida av 8

4 Beräkna dubbelintegral ( x + dxdy då definieras genom x, y x + ( x dxdy + dx x+ ( x + dy [ Först integrerar vi med avseende på y och betraktar x tillfälligt som en konstant] x+ [ xy y ] dx + Vi substituerar gränserna [ x x + ) + ( x ) ] ( + dx, förenklar [ + 5x ] x + dx, och till slut integrerar med avseende på x 5x 5 x + + x + + Svar: / ln( x ) Uppgift (p) Vi betraktar funktionen f ( x a) Bestäm definitionsmängden och eventuella skärningspunkter med x-axeln b) Bestäm eventuella asymptoter (lodräta/vågräta/sneda) c) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass) d) Rita grafen a) f: x > x > (, ) Eventuella skärningspunkter med x-axeln ln( x ) f ( ln( x ) x + e x b) f Sida av 8

5 ln( x ) Vi undersöker eventuell lodrät asymptot vid x lim Alltså är x en x + x lodrät asymptot ln( x ) Vågrät asymptot: lim f ( lim [ LH ] lim x y är x x funktionens (höger) vågrät asymptot Sned asymptot saknas x x c) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass) ( x ) ln( x ) ln( x ) f ( f ( x ln( x ) x ( x ) ( ln( x )) ln( x ) ln( x ) x e + ( stationär punkt) ln( x ) f ( ( x ) f ( x + e) < e ln( e) f ( e + ) e e ( ln( x )) f ( ( x ) x e + är en MAX punkt + 8ln( x ) ( x ) d) Grafen: Uppgift 5 (p) Beräkna följande integraler a) x sin( x ) dx b) x 9 dx a) Inför variabelbytet dt t x dt x dx x dx, så att integralen blir Sida 5 av 8

6 dt sin( x ) x dx sin( t) sin( t) dt cos( t) + C cos( x ) + C b) metod Formelblad F5 dx x a ln + C x a a x + a med a ger direkt dx x ln + C x 9 6 x + metod Här kan man använda partialbråkuppdelning x 9 ( x )( x + ) A + x B x + A( x + ) + B( x ) ( x )( x + ) ( A + B) x + ( A B) ( x )( x + ) där A + B, A B så att A och B ärmed får vi 6 6 Insätter vi detta i integralen, får vi x 9 6 x x + x dx dx x 9 6 x x x + ( ln x ln x + ) + C ln + C Uppgift 6 (p) Beräkna volymen av det område som ligger mellan xy-planet och ytan z x y Tips: Området definieras av z x y och x + y Använd polära koordinater Volymen av det sökta området är enligt definitionen lika med dubbelintegralen V z dxdy ( y )dxdy där är projektionen av ytan z av x y x + y R och utgörs av en cirkel runt origo med radien lämpligt att använda sig av polära koordinater, så att x y på x-y planet (z ), dvs arean som beskrivs R Enligt tips i uppgiftstexten är det x r cos( θ ), y r sin( θ ) x + y r, dx dy r dr dθ å blir den sökta volymen Sida 6 av 8

7 V / π π / / ( r ) r dr dθ dθ ( r ) r dr π ( r r ) r dr π r 8 Svar: 8 π Uppgift (p) Vi betraktar funktionen f ( x, x + y y + Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (MIN/MAX/SAEL) f ( x, x + y y + Funktionens första- och andraderivator behöver bestämmas: f x ( x, x, f y ( x, y f xx ( x,, f xy ( x,, ( x, f yy Stationära punkter finns där f f : x y x y x y Alltså en stationär punkt (,) enna punkts karaktär: AC B >, A > Alltså en minpunkt z-värde: Svar: Funktionen har en minpunkt (,), Uppgift 8 (p) Ett område Ω definieras av y x + och x a) Beräkna arean av Ω b) Låt T (x c,y c ) vara områdets tyngdpunkt Bestäm tyngdpunktens x-koordinat x c a) Områdets area ges av en vanlig integral: x Arean av Ω ( x + ) dx + x + Arean av Ω b) x c xdxdy xdy dx [ xy] x Ω x y x x x ( x + x dx + x x y x Svar: a) Arean är ae b) x c 8 x x y x + ( y ) dx 5 8 Uppgift 9 (p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y y ( x + ) som uppfyller y ( ) Sida av 8

8 Vi separerar variabler dy ( x + ) dx y och integrerar: dy ( x + ) y dx, y x + x + C 5 Från y ( ), har vi + + C C y x 5 ärmed + x eller y x + x 5 Svar: y x + x 5 Uppgift (p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + y + y 5 Homogena delen: en karakteristiska ekvationen r + r + har lösningar r ± i ärmed Yh Ce sin x + e cos x En partikulär lösning får vi med hjälp av ansatsen y p A som ger + + A 5 A 5/ dvs y p 5/ ärmed y Yh + y p Ce sin x + e cos x + 5/ Svar: y Ce sin x + e cos x + 5/ Sida 8 av 8