1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

Transkript

1 TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter Lösningarna skall vara väl motiverade och så utförliga att räkningarna och de bakomliggande tankarna är lätta att följa Lösningarna skall renskrivas och avslutas med ett tdligt svar som skall vara så förenklat som möjligt Betgsgränser: F: 8p, E: 9 p, D: p, C: 5p, B: 7 p, A: 9 p ( av ma poäng) Eaminator: Stefan Eriksson Rättande lärare: Armin Halilovic Rita in i det komplea talplanet det område som definieras av följande villkor: (p) z, 5 arg( z ) Ekvationen z z + 8z + 5 har en lösning z i Bestäm alla lösningar (p) Bestäm z ur ekvationen z + z 5 i (p) Använd Newton-Raphsons metod för att bestämma en negativ lösning till ekvationen (p) sin + Svara med korrekta decimaler sin 5 Beräkna gränsvärdet lim med hjälp av > 5 a) Maclaurins utveckling b) L Hospitals regel (p) Lös differentialekvationen + 5, () (p) 7 Lös differentialekvationen ' ' ' + e (p) 8 Förändringshastigheten för en funktion () är proportionell mot och omvänt (p) proportionell mot () Dessutom gäller ( ), ( ) Ställ upp en differentialekvation och bestäm () 9 En partikel rör sig längs -aeln Partikelns position vid tidpunkten t betecknar vi med (p) ( hastigheten med v( och accelerationen med a ( För partikelns rörelse gäller följande: a( (, () och v() (i lämpliga enheter te längden i meter, tiden i sekunder) a) Bestäm partikelns position ( b) Bestäm längden av den totala vägen som partikeln genomlöper under tidintervallet t Lcka till

2 FACIT Rita in i det komplea talplanet det område som definieras av följande villkor: (p) z, 5 arg( z ) Svar: Den blåa tan i nedanstående graf Rättningsmall: Allt korrektp Ekvationen z z + 8z + 5 har en lösning z i Bestäm alla lösningar (p) Ekvationen har reella koefficienter och en lösning z i Därför är z i också en lösning + Polnomet z z + 8z + 5 är delbart med z z )( z z ) [ z ( i)][ z ( + )] ( i [ z + i][ z i] ( z ) i z z + + z z + 5 Polnomdivisionen ger ( z z + 8z + 5) /( z Från z + har vi z z + 5) z + Svar z i, z i, + z Rättningsmall: Korrekt polnomet z z + 5 ger p Allt korrektp Bestäm z ur ekvationen z + z 5 i (p) Låt z + i och därmed z i Substitution i ekvationen ger ( + i) + ( i) 5 i + i 5 i Härav och och därmed z i 5

3 Svar z i Rättningsmall: En koordinat korrekt eller ger p Allt korrektp Använd Newton-Raphsons metod för att bestämma en negativ lösning till ekvationen (p) sin + Svara med korrekta decimaler Först skriver vi om ekvationen på formen f ( ), dvs sin + Från grafen till f ( ) sin + : ser vi att en negativ lösning ligger mellan och För f ( ) sin + har vi f ( ) cos + Vi använder Newton-Raphsons metod f ( n ) n+ n f '( ) n och får sin n + n n+ n cos n + n Lägg märke till att derivatan av sin() är cos() endast om vinkeln är i radianer Därför ska man välja radianer som vinkelmått i miniräknaren för denna uppgift Vi väljer - och beräknar Vi har fått upprepning av tre decimaler i och Eftersom f( 5) 9 och f( +5) har olika tecken har vi fått en approimativ lösning med korrekta decimaler Svar 77

4 sin n + n Rättningsmall: Korrekt uttrck n+ n ger p Allt korrektp cos + n n sin 5 Beräkna gränsvärdet lim med hjälp av > 5 a) Maclaurins utveckling b) L Hospitals regel (p) a) Maclaurins utveckling för sin Antalet termer bestämmer vi så att täljaren sin har minst en icke noll term : f ( ) sin, f ( ) f ( ) cos, f ( ) f ( ) sin, f ( ) f ( ) cos, f ( ) ( Anmärkning: I detta eempel räcker det att utveckla till grad men vi tar flera termer av pedagogiska skäl) () f ( ) sin, () f ( ) (5) f ( ) cos, (5) f ( ) Från f () f () f () f ( ) f () L!!! har vi 5 7 sin( ) + L! 5! 7! Därmed täljaren sin ( + + L) + +! 5! 7! 9!! 5! 7! L sin Nu har vi lim lim! 5! 7! 9! (förkortning med ) > 5 > 5 9 L 9! lim >! + 5! 7! 5 ( Vi ser igen att koefficienten + L 9!! + + L 5 i täljaren framför! går mot ) b) sin " " lim > 5 [L Hospital ] cos " " lim > 5 [L Hospital ] " " > [L Hospital ] cos lim > bidrar till läsningen medan alla andra försviner när

5 Svar / Rättningsmall: Korrekt en del a eller b ger p Allt korrektp Lös differentialekvationen + 5, () (p) Metod Linjär DE (med icke konstanta koefficienter) En integrerande faktor: F P( ) d d e e e Från ( F ( )) F Q( ) har vi F ( ) F Q( ) d + C och ( ) F ( C + F Q( ) d) dvs ( ) e ( C + 5 e ( ) e ( C + 5e ) ( ) Ce + 5 d), Slutligen ( ) ger C och ( ) e + 5 Anmärkning: Integralen 5 e d löser vi med subst t d dt 5e t t 5 e d 5e dt 5e (konstanten C finns redan i formeln) Svar: ( ) e + 5 Metod (Separabla variabel) d d (5 ) (5 ) d d (5 ) d (5 ) ln 5 d + C ln 5 C 5 e C C C 5 ± e e 5 ± e e 5 + De, Slutligen ( ) ger D och därmed ( ) e + 5

6 Svar: ( ) e + 5 Rättningsmall: Metod Korrekt integrerande faktor F e ger p Korrekt ( ) Ce + 5 Allt korrektp Metod Korrekt implicit lösning korrektp ln 5 + C ger p Korrekt ( ) Ce + 5 Allt 7 Lös differentialekvationen ' ' ' + e (p) Homogena delen (som har konstanta koefficienter) ' ' ' + har följande karkt ekv r r + r, r Därför Y Ce + De H En partikulär lösning fås med hjälp ansatsen p Ae ger och p Ae Ae Ae e A / Alltså p e Svar: Ae + Ae e eller Slutligen Y H + ( ) + + Ce De p Ce e p Ae : Insättning i ekvationen ger p Ae + De + e Rättningsmall: Korrekt homogen del Y p Allt korrektp H Ce + De eller korrekt en partikulär lösning p e ger 8 Förändringshastigheten för en funktion () är proportionell mot och omvänt (p) proportionell mot () Dessutom gäller ( ), ( ) Ställ upp en differentialekvation och bestäm () Ekvationen: k ( vi separerar variabler) d d k d kd d kd k + C k + C

7 ( ) ± k + C Villkoret ( ) (positivt tal) visar att vi ska välja tecken "+" i ovanstående uttrcket och att C 9 Alltså ( ) k + 9 Villkoret () k + 9 k Därmed ( ) + 9 Svar: ( ) + 9 Rättningsmall: Korrekt implicit lösning k + C ger p Korrekt C ger p Allt korrektp 9 En partikel rör sig längs -aeln Partikelns position vid tidpunkten t betecknar vi med (p) ( hastigheten med v( och accelerationen med a ( För partikelns rörelse gäller följande: a( (, () och v() (i lämpliga enheter te längden i meter, tiden i sekunder) a) Bestäm partikelns position ( b) Bestäm längden av den totala vägen som partikeln genomlöper under tidintervallet t a)från a( ( har vi ekvationen ( ( ( ( ( + ( Från r + r ± i, Därför ( C cost + D sin t Från villkoret () har vi C + C och därmed ( D sin t Från v() får vi ( ) Nu ( D cos t D D Alltså ( sin( Svar: a) ( sin( b) Om t väer från till då t väer från till Vi betraktar rörelsen ( sin( i två tidintervall t och t, o Motsvarande intervall för t är t och t -

8 i) Intervallet t (motsvarande intervall för t är t ) I detta intervall varierar sin(t ) mellan sin och sin dvs mellan och Partikeln startar i och når sin högsta punkt vid t [eftersom ( ) sin( ) ] Därmed, under tidintervallet t, passerar partikeln sträckan vars längd är L (meter) ii) Intervallet t (motsvarande intervall för t är t ) Partikeln går från punkten mot punkten Därmed, under tidintervallet partikeln sträckan vars längd är L (meter) Totalt blir det LL+L+9 (meter) Svar b: 9 meter Allternativ lösning för b-delen t, passerar Vägen t t v( dt ( dt t t / cos t dt Funktionen cos t är positiv om t och negativ om t cos( om t dvs t Eftersom cos t cos( om t dvs t har vi / / / cos t dt cos tdt + ( cos dt / sin( / ) sin() sin( / ) + sin( / ) 9 Svar: a) Partikelns position vid tiden t är ( sin( / / [ sin t] + [ sin t] / t / b) Vägen v( dt cos t dt 9 t (meter) Rättningsmall: A delen ger p Allt korrektp