= x 2 y, med y(e) = e/2. Ange även existens-

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA0 Differentialekvationer för lärare Datum: juni 010 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximala poängsumman är således 40. För betget G krävs minst 0 poäng, och för betget VG minst 0 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tdliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Lös differentialekvationen x + ( ) = 0 med () = 1 och () =. Ange även existensintervallet för lösningen.. Bestäm den talföljd { n } n=0 som satisfierar differensekvationen n 7 n n = 0, och begnnelsevillkoren 0 = 1 = 1. = x, med (e) = e/. Ange även existens-. Lös differentialekvationen x d dx + intervallet för lösningen. 4. En hastigt insjuknad person med hög feber behöver omedelbart diagnosticeras. Man har endast tillgång till en relativt långsam termometer och behöver därför kunna räkna ut febern innan termometern stabiliserats vid febertemperaturen. Det antages att termometerns temperaturförändring per tidsenhet vid varje tidpunkt är proportionell mot skillnaden mellan termometerns temperatur och temperaturen i det medium som omsluter mätpunkten. Ett rimligt antagande är också att termometerns ringa konstitution och motsvarande försumbara värmeinnehåll ej nämnvärt rubbar temperaturen i personens kropp. Termometern hålls normalt i rumstemperatur (0 grader). Tre () sekunder efter det att termometern har förts in i munnen hos den sjuke avläses 0 grader. Ytterligare tre sekunder senare är termometers utslag 5 grader. Med hjälp av insamlade data görs en snabb beräkning av den sjukes temperatur. Vad kommer man fram till, dvs hur hög feber har den sjuke personen? 5. Differentialekvationen ( /x + x) dx + (x + ln d = 0 har en integrerande faktor som bara beror av. Bestäm den allmänna lösningen (på åtminstone implicit form). 6. Lös begnnelsevärdesproblemet = e x, (0) = 4, (0) =, (0) = För vilka begnnelsevärden på konvergerar lösningar till differentialekvationen d = ln( ) ln( 7)? dx Ange förekommande gränsvärden lim (. x 8. Differentialekvationen x (10x + 1) + 5(5x + 1) = 0 har en lösning på formen e ax. Bestäm för x > 0 den allmänna lösningen till differentialekvationen.

2

3

4

5

6 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA0 Differentialekvationer för lärare BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 009/10 Tentamen = x 1+ ln( x 1) I E = ( 1, ) POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter p: Korrekt genomförd första integrering utifrån substitutionen ( = u(, med ett allmänt uttrck för ( som resultat 1p: Korrekt BV-anpassat uttrck för ( 1p: Korrekt gjord andra integrering 1p: Korrekt angivet existensintervall 1 n n+. n = (5 ), n 0 1p: Korrekt Z-transformering av differensekvationen p: Korrekt förberedelse för inverstagning p: Korrekt inverstagning. x = ln( e I E = ( e, 1 ) 1p: Korrekt identifiering av DE som en homogen ekvation med påföljande gjord substitution ( = xu(, eller som en Bernoulli-ekvation med påföljande gjord substitution ( = u( p: Korrekt lösning av DE för hjälpstorheten u 1p: Korrekt lösning av BVP 1p: Korrekt angivet existensintervall 4. o 40 1p: Korrekt formulerad och allmänt löst differentialekvation för temperaturen hos termometern vid tidpunkten t p: Korrekt omsättning av de uppmätta värdena p: Korrekt härledning av uttrcket för febertemperaturen 5. [ x + ln( ] = C där C är en konstant p: Korrekt funnen integrerande faktor för DE p: Korrekt funnen hjälpfunktion (potentialfunktion) till den exakta DE 1p: Korrekt funnen allmän (implicit) lösning till DE 6. 1 x 11 x e x x ) = ( + e 1p: Korrekt allmän lösning till motsvarande homogena DE 1p: Korrekt ansättning av en partikulärlösning till DE p: Korrekt funnen partikulärlösning till DE 1p: Korrekt lösning till BVP 7. Lösningar konvergerar om begnnelsevärdet 7 BV uppfller < BV 8, lim ( = x, < BV <, = 7. BV p: Korrekt bestämt intervall för de begnnelsevärden som leder till konvergens, varav 1p för korrekt bestämt intervall för och korrekt bestämda stationära punkter till DE, och 1p för korrekt bestämda tecken på derivatorna till. 1p: Ett av gränsvärdena korrekt förklarat och angivet 1p: Det andra gränsvärdet korrekt förklarat och angivet 8. 5x 5x = C1 e + C x e 1p: Funnit lösningen p: Korrekt genomförd variation av parameter p: Korrekt sammanställd allmän lösning till DE 5x 1 = e till DE