2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 15 augusti 2013 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Linjal Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximalt möjliga poängsumman är således 0. För betygen 3,, 5 krävs minst 18, 26 respektive 3 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. En rektangulär, värmeledande platta med sidlängderna och 9 är placerad i ett koordinatsystem på så vis att två av sidorna tangerar de positiva koordinataxlarna. De sidor som är parallella med y-axeln är de längre och hålls isolerade från omgivningen. Den sida som tangerar x-axeln hålls också isolerad, medan dess motstående sida hålls vid temperaturen x 2 grader. Bestäm den statiska temperaturfördelningen u i plattan om fördelningen antas lyda den partiella differentialekvationen u xx + u yy = För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet ( ) ( ) dx/dt (2α + β)x + (α 3)y = dy/dt (β + 1)x + (3 α)y enbart periodiska lösningar med perioden 2π/5? 3. Lös för t 0 integralekvationen y(t) = t + 2 t 0 y(ξ) cos(t ξ) dξ.. Bestäm den talföljd {y n } n=0 som satisfierar differensekvationen { 32, n = 5, 16y n 2y n 1 + 9y n 2 = 0, n 5, med y 0 = y 1 = Vid tidpunkten 0 finns det 50 gram vardera av ämnena A och B. Ämnena förs ihop varvid de reagerar med varandra i proportionerna 1 : 1 och bildar ämnet C, dvs för varje 2 gram av slutprodukten C så går det åt 1 gram vardera av ämnena A och B. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot dels produkten av återstoderna av ämnena A och B (i gram räknade), och dels mot faktorn 1/ 1 + t där t räknas i enheten sekunder. Antag att det vid tidpunkten 8 sekunder har hunnit skapats 20 gram av ämne C. Hur många gram C kommer att ha skapats fram till och med tidpunkten 10 minuter och 2 sekunder? 6. Skissa ett representativt urval av kurvor i fasporträttet till ekvationssystemet ( ) ( ) dx/dt 18x + 16y =. dy/dt 25x 22y 7. Differentialekvationen 2xy 3 dx + ( 2y 3 3x 2 y 2) dy = 0 har en integrerande faktor som bara beror av y. Bestäm den lösningskurva som går genom punkten med koordinaterna (1, 1). 8. Den allmänna lösningen till differentialekvationen y + ay + by = 6e x, där a och b är konstanter, innehåller en term på formen x 2 e x. Lös differentialekvationen med villkoren y(0) = 5, y (0) = 1.

2

3

4

5

6

7 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 15 augusti 2013 BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Tentamen BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifterna 1. u( x, y) cosh( ) cosh( x, 0 y 9 n1 för 0 n y n 8(1( 1) ) n x 2 2 cos( n n 9 ) ) 2p: Korrekt behandlat x -delen 1p: Korrekt behandlat y -delen 2p: Korrekt bestämt Fourier-sin-koefficienterna, och korrekt sammanställt lösningen 2. (, ) (8, 11) 1p: Korrekt noterat att spåret av systemmatrisen är lika noll då lösningarna är periodiska 2p: Korrekt noterat att då lösningarna är periodiska så är roten ur determinanten av systemmatrisen lika med vinkelfrekvensen, dvs lika med 5 2p: Korrekt löst det uppkomna ekvationssystemet för parametrarna och 3. y( t) 2 2(1 ) e t t t 2p: Korrekt Laplacetransformerat integralekvationen 1p: Korrekt förberett med partialbråk inför inverstransform. 2p: Korrekt inverstransformerat den aktuella transformen. Talföljden y n { n} n0 y har elementen 3 n u( n ) 8 ( n ) gram 1 t 1 x C ( t) 100, där [t] sek 1 t 7 1p: Korrekt z-transformerat differensekvationen 1p: Korrekt funnit z-transformen av talföljden 1 1p: Korrekt funnit inverstransformen av z ( p: Korrekt inverstagit z (1 z ) 3 z ) 1 2 1p: Korrekt uttryckt relationerna mellan x A, x B, och x C 2p: Korrekt formulerat och korrekt löst DE:en 1p: Korrekt bestämt förekommande konstanter 1p: Korrekt beräknat värdet på x C (62) 6. X c1 t 2t 2t e c2 e 1 5 5t Scen. 1: 1p: Korrekt bestämt egenvärdet/egenvektoruppsättningen 1p: Korrekt bestämt en kompletterande vektor 1p: Korrekt sammanställt den allmänna lösningen 2p: Korrekt skissat ett representativt urval av kurvor Scen. 2: 1p: Korrekt Laplacetransformerat ekvationssystemet 1p: Korrekt förberett med partialbråk inför inverstransform. 1p: Korrekt inverstransformerat aktuella uttryck 2p: Korrekt skissat ett representativt urval av kurvor 7. 2 x y 2p: Korrekt funnit en integrerande faktor till DE:en 1p: Korrekt identifierat ekvationerna för en hjälpfunktion (potentialfunktion) till den exakta DE:en 1p: Korrekt bestämt en hjälpfunktion till den exakta DE:en 1p: Korrekt funnit den (implicita) lösningen till BVP:et 1 (2)

8 8. y ( 5x 3x ) e 2 x 2p: Korrekt konstaterat att den givna termen i den allmänna lösningen ej kan ingå i den homogena delen av lösningen, och därmed att 2 är en dubbelrot till den karakteristiska ekvationen 1p: Korrekt angivit den homogena delen av den allmänna x lösningen, dvs ett uttryck på formen ( C1 C2 x) e 1p: Korrekt funnit den (minimalistiskt sett) partikulära 2 delen av den allmänna lösningen, dvs termen 3 x e 1p: Korrekt anpassat den allmänna lösningen till begynnelsevärdena x 2 (2)