{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra Datum: 7 juni 013 Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: Linjal TEN4 Denna tentamen TEN4 består av fem stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 4 poäng. För godkänd-betygen 3, 4, och 5 krävs erhållna poängsummor om minst 9, 13 respektive 17 poäng. Om den erhållna poängen benämns S 4, och den vid tentamen TEN3 erhållna S 3, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S 3 11, S 4 9 och S 3 + S S 3 11, S 4 9 och 4 S 3 + S S 3 + S Betygen 4 eller 5 tilldelas även den som vid sitt ordinarie kurstillfälle och vid sina motsvarande ordinarie tentamina uppnått resultatet 39 S 3 + S 4 50 respektive S 3 + S 4 51, och som på examinationsmomentet INL1 uppnått betyget vg. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Lös ekvationssystemet { (1 + i)z iw =, iz + ( + i)w = 5 + i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.. Bestäm avståndet mellan planet π : (x, y, z) = (r s, r + 3s, r + s) och punkten P : (1, 3, ). (HON-system) Är matrisen inverterbar eller ej? Antag att vektorerna e 1, e, e 3 utgör en bas i rummet. För vilka β är de tre vektorerna u, v och w, givna enligt u = βe 1 + e + e 3, v = e 1 + 3e + βe 3, w = βe 1 e e 3, linjärt beroende? Ange relationen mellan vektorerna i var och ett av dessa fall. 5. Bestäm på parameterform ekvationen för den linje L som inkluderar punkten Q : ( 1,, 5), är vinkelrät mot linjen λ : 1(x + ) = 1 (y 1) = z, och 3 är parallell med planet π : x + y + 3z + 4 = 0. (HON-system)

2

3

4

5 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 01/13 Tentamen TEN POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 1.. z 1 i 1p: Korrekt eliminerat en av de obekanta från en av de två w 3 i ekvationerna 1p: Korrekt på rektangulär form renskrivit den obekant som efter eliminationen blev ensam obekant i en av ekv:na 1p: Korrekt till formen löst ut den andra av de två obekanta 1p: Korrekt på rektangulär form renskrivit den andra av de två obekanta Avstånd( P, ) l.e. 1p: Korrekt bestämt en normalvektor n till planet, allt i syfte att med den kunna bestämma avståndet mellan punkten P och planet 1p: Korrekt bestämt en vektor u som adresserar från planet till punkten P, allt med syfte att bestämma den ortogonala projektionen av u på n 1p: Korrekt bestämt den ortogonala projektionen av u på n 1p: Korrekt uttryckt och bestämt avståndet mellan punkten P och planet som längden av den ortogonala projektionen u n 3. Nej Ett möjligt scenario p: Korrekt omformulerat frågan till den ekvivalenta Är determinanten för matrisen skild från noll eller ej?, och korrekt i determinanten eliminerat så att den första kolonnen innehåller nollor på två av fyra rader 1p: Korrekt eliminerat vidare i determinanten så att tre av raderna i den första kolonnen innehåller nollor 1p: Korrekt eliminerat ytterligare i determinanten så att den andra kolonnen innehåller nollor på två av de rader där det också är nollor i den första kolonnen 1p: Korrekt tolkat det faktum att determinanten är lika med noll Övriga scenarier Poängsättning av övriga lösningsscenarier görs genom att i görligaste mån identifiera de poängkriterier som svarar mot kriterierna i Ett möjligt scenario. 1 ()

6 4. Vektorerna u, v, w är linjärt beroende om och endast om ( 0) ( 3) 0 : u w 3: 5u 3v 4w 1p: Korrekt formulerat en testekvation för huruvida de tre vektorerna u, v, w är linjärt beroende eller ej, korrekt grupperat termerna vektor för vektor av e 1, e, e3, korrekt utifrån att vektorerna e 1, e, e3 utgör en bas och därmed är linjärt oberoende dragit slutsatsen att alla de tre koefficienterna i sorteringen efter e 1, e, e3 måste vara lika med noll, samt korrekt successivt eliminerat i det uppkomna ekvationssystemet 1p: Korrekt från ekvationssystemet dragit slutsatsen att om och endast om ( 0) ( 3) så är vektorerna u, v, w är linjärt beroende 1p: Korrekt funnit att relationen mellan vektorerna u, v, w då 0 lyder u w 1p: Korrekt funnit att relationen mellan vektorerna u, v, w då 3 lyder 5u 3v 4w 5. L : ( x, y, z) ( 1,,5) t (1,1, 1) 1p: Korrekt noterat att en vektor v parallell med linjen, t.ex. e1 3e e3, är vinkelrät mot linjen L 1p: Korrekt noterat att en normalvektor n till planet, t.ex. e1 e 3e 3, är vinkelrät mot linjen L 1p: Korrekt noterat att vektorprodukten v n är parallell med linjen L 1p: Korrekt på parameterform skrivit ekvationen för linjen L ()