1. Beräkna determinanten

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt. TEN4 Datum: 8 januari 05 Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: Inga Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN6 eller alternativt (det äldre) TEN4. Provet består av fem stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 4 poäng. För godkänd-betygen 3, 4, och 5 krävs erhållna poängsummor om minst 9, 3 respektive 7 poäng. Om den erhållna poängen benämns S b, och den vid tentamen TEN5/TEN3 erhållna S a, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S a, S b 9 och S a + S b 4 3 S a, S b 9 och 4 S a + S b 53 4 S a + S b 54 5 Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i.. Beräkna determinanten En partikel startar i origo i ett koordinatsystem och rör sig till att börja med i riktningen (,, 7). I punkten P ändrar partikeln rörelseriktning genom att vika av i en rät vinkel med den ursprungliga riktningen. Partikeln stannar till slut i punkten Q : (5, 4, 3). Bestäm koordinaterna för punkten P. (ONsystem) 3. Bestäm de komplexa tal z som satisfierar ekvationen z = 0, och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. 4. Vektorerna e, e, e 3 utgör en bas i rummet. För vilka β utgör även vektorerna en bas i rummet? e + βe e 3, e e + e 3, e + e + βe 3, 5. Bestäm på parameterfri form en ekvation för det plan π som innehåller punkten P : (5,, 3), och som är vinkelrätt mot såväl planet π : 3x + y z + 9 = 0 som planet π : (x, y, z) = (s t, s + t, s + 3t). (HON-system)

2

3

4

5 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson Tentamen TEN6 / TEN TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 04/5 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter Ett möjligt scenario p: Korrekt adderat rad3 till rad och rad4 till rad, följt av en addition av kolonn3 till kolonn p: Korrekt utvecklat efter rad (som innehåller 3 nollor) p: Korrekt adderat kolonn3 till kolonn, följt av en addition av 5 rad till rad3 och sedan korrekt utvecklat till en resterande -determinant p: Korrekt utfört den sista delen av determinantberäkningen 9. ( 3, 6, ) Övriga scenarier Poängsättning i övriga lösningsscenarier görs genom att i görligaste mån identifiera fyra poänggivande kriterier som i sin proportionering och i sin helhet motsvarar de i ovanstående lista. P : Ett möjligt scenario p: Korrekt noterat att den ortogonala projektionen av den vektor u, som kan representeras av den riktade sträckan OQ, på en vektor v som är parallell med startriktningen är lika med den vektor som kan representeras av den riktade sträckan OP p: Korrekt bestämt den ortogonala projektionen p: Korrekt bestämt koordinaterna för P 3. i( 3 n 3) 4, 0,, z n e n Ett möjligt scenario i p: Korrekt ansatt z som re, där r, R, och korrekt delat upp den komplexa ekvationen i två reella ekv:er, en för r och en för p: Korrekt på polär form funnit de tre rötterna p: Korrekt i det komplexa talplanet illustrerat lösningsmängden ()

6 4. Vektorerna utgör en bas om och endast om, p: Korrekt formulerat en testekvation för huruvida de tre linjärkombinationerna av basvektorer är en bas i rummet eller ej, dvs om de tre är linjärt oberoende eller ej, korrekt grupperat termerna som en linjärkombination av basvektorerna e, e, e3, korrekt utifrån det faktum att en uppsättning basvektorer är linjärt oberoende dragit slutsatsen att alla de tre koefficienterna i linjärkombinationen av e, e, e3 måste vara lika med noll, korrekt successivt eliminerat i det uppkomna ekvationssystemet (eller korrekt gjort motsvarande beräkning av determinanten för koefficientmatrisen) 3p: Korrekt efter successiv eliminering (eller determinantberäkning), från det uppkomna ekvationssystemet (eller determinantberäkningen) med motivering dragit slutsatsen att de tre linjärkombinationerna av vektorer är linjärt oberoende om och endast om den triviala lösningen fås allena (eller att den beräknade determinanten är skild från noll), och utifrån detta funnit att, 5. : x 3y 3z 38 0 p: Korrekt funnit att t.ex. 3e e e3 är en normalvektor n till plan, och att t.ex. vektorprodukten av vektorerna e e e3 och e e 3e 3 är en normalvektor n till planet p: Korrekt bestämt koordinaterna för n Ett scenario för övriga två poäng p: Korrekt bestämt en normalvektor n till planet, detta som t.ex. vektorprodukten av vektorerna n och n p: Korrekt som en skalärprodukt formulerat en ekvation för planet, och sedan korrekt utvecklat skalärprodukten och renskrivit ekvationen för planet Ett annat scenario för övriga två poäng p: Korrekt genom ett visst determinanvillkor formulerat en ekvation för planet p: Korrekt utvecklat determinanten och korrekt renskrivit den formulerade ekvationen för planet Ett tredje scenario för övriga två poäng p: Korrekt formulerat en ekvation på parameterform för planet p: Korrekt med successiv eliminering av parametrarna funnit ekvationen på parameterfri form för planet ()