Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer"

Adam Fredriksson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

2 Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler, eller obekanta, x 1, x 2,, x n menas en ekvation på formen a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b där reella talen a 1, a 2,, a n kallas koefficienterna. En n-tipel (α 1, α 2,, α n ) kallas en lösning till ekvationen om a 1 α 1 + a 2 α a n α n = b Exempel 1. Lös ekvationen 2x = 6. Här n = 1, d.v.s. har vi bara en obekant. Vi får Vi fick alltså entydig bestämt lösning x = 3. 2x = 6 x = 6 2 = 3, Exempel 2. Lös ekvationen med två obekanta 2x + y = 3. Vi löser ut y: y = 3 2x? Insättning av x = 1 ger y = 1, dvs (x, y) = (1,1) är en lösning. Likadant, x = 0 ger y = 3, dvs (x, y) = (0,3) är också en lösning. Eftersom x kan väljs godtyckligt så har vi en parameterlösning: (x, y) = (t, 3 2t) där talet t R kallas för parameter.

3 Linjära ekvationssystem Linjära ekvationer som t.ex. 3x + 2y = 1 2x + 3y = 4 bildar ett system. Geometrisk mening: En linjär ekvation beskriver en linje i planet, t.ex. y = x En lösning till ett ekvationssystem är en tilldelning av värden till de obekanta som satisfierar alla ingående ekvationer. Samtliga lösningar till ekvationssystemet kallas lösningsmängden. Geometrisk mening: lösningsmängden är de gemensamma punkterna för linjerna. Två ekvationssystem kallas ekvivalenta om deras lösningsmängder sammanfaller. 3x + 2y = 1 Exempel 3 (Substitutionsmetod). Lös ekvationssystem 2x + 3y = 4 Insättning (substitution) av utrycket för y i den första ekvationen ger 3x + 2y = 1 y = 1 3 (4 2x) 3x x = 1 y = 1 3 (4 2x) 5x + 8 = 3 x y = 1 (4 2x) 3 = 1 x = 1 y = 1 (4 2x) 3 y = 2 Systemet har entydigt bestämd lösning (x, y) = ( 1,2). En geometrisk tolkning: två linjer skär varandra i en punkt Svårigheter: metoden är svårt att använda för 3 eller fler variabler!

4 Tillåtna operationer Byta plats på ekvationer Ändra variablernas namn (t.ex. x 1, x 2 istället för x, y) Addera ekvationer: a = b a + c = b + c Multiplicera en ekvation med konstant 0 a = b k a = k b Allmänt: konstant ekvation + annan ekvation Geometrisk tolkning av ett ekvationssystem med 2 variabler: Två identiska linjer (oändligt många lösningar) Två parallella linjer (finns inga lösningar) Två linjer som inte är parallella skär varandra i precis en punkt, (finns en entydig lösning till systemet)

5 Succesiv elimination eller Gausselimination Exempel 1. Lös ekvationssystem : 4 3x + y = 2 4x + 8y = 4 3 3x + y = 2 x + 2y = 1 5y = 5 x + 2y = 1 dividera den 2:a ekvationen med 4 multiplicerar den andra ekvationen med 3 och adderar den till den 1:a ekvationen y = 1 x + 2y = 1 x = 1 y = 1 d v s systemets lösning är x = 1 och y =1 (entydig lösning!) en geometrisk tolkning: två linjer skär varandra i en punkt

6 Succesiv elimination eller Gausselimination Exempel 2. Lös ekvationssystem :2 3x + 2y = 1 6x + 4y = 4 dividerar den 2:a ekv. med 2 1 3x + 2y = 1 3x + 2y = 2 multiplicerar den 1:a ekv. med 1 och adderar den till den 2:a ekv. 3x + 2y = 1 0 = 1 eftersom 0 = 1 är ett falskt påstående oavsett värden på x, y så saknar systemet lösningar! en geometrisk tolkning: två linjer är parallella!

7 Succesiv elimination eller Gausselimination Exempel 3. Lös ekvationssystem :2 3x + 2y = 1 6x + 4y = 2 1 3x + 2y = 1 3x + 2y = 1 3x + 2y = 1 0 = 0 3x + 2y = 1 x = y 0 = 0 y =?.. x = t, där t R y = t Talet t R kallas en parameter Systemet har oändlig många lösningar. En geometrisk tolkning: två linjer sammanfaller!

8 Lösningsstruktur Allmänt: för ett linjärt ekvationssystem gäller exakt ett av tre följande alternativ: Systemet har entydig lösning Systemet har ingen lösning Systemet har oändligt många lösningar

9 En viktig klass: Homogena system Ett homogent system är ett system med nollor i höger led Homogena system är alltid lösbara (alla variabler = 0 är alltid en lösning och kallas den triviala lösningen), t.ex. 3x + y = 0 x 2y = 0 Obs att x = y = 0 är en trivial lösning Homogena system med fler variabler än ekvationer har alltid oändligt många lösningar, t.ex. 1 2x y + z = 0 x 2y z = 0 z = y 2x 2x y + z = 0 x 3y = 0 x = 3y y =? z = 5t x = 3t, y = t där t R kallas för parameter. En sådan lösning kallas parametrisk.

10 Lösningsstruktur för homogena ekvationssystem Allmänt: för ett homogent ekvationssystem gäller exakt ett av två följande alternativ: Systemet har entydig (trivial) lösning Systemet har oändligt många lösningar

11 Analytisk geometri: vektorer i planet och rummet Varför? För vissa storheter räcker inte mätetalet som enda beskrivning. Vi behöver riktning för att beskriva, tex kraft, hastighet, elektriska fält, magnetfält mm. Hur?

12 Slappdefinition En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Tänk på vektorn som en pil: en representant eller ett element vektor v Nollvektorn (vektornolla) är mängden av alla nollsträckor Betecknar vektorer med små bokstäver i fetstil, u, v, i boken och med små bokstäver med streck (eller pil) över: u, v, när vi skriver för hand

13 När vektorer är lika? parallella? v s har olika riktningar v v s w u v u parallella vektorer samma riktning v w parallella vektorer motsatt riktning

14 Multiplikation med reellt tal (skalär) slutpunkt Q Q 1 P 1 startpunkt P Vektor v = PQ = P 1 Q 1

15 Multiplikation med reellt tal (skalär) startpunkt Q 1 Q P 1 slutpunkt P Motsatt vektor v = PQ = QP

16 Multiplikation med reellt tal (skalär) 1 2 v v 2 v v 0 v = 0

17 Multiplikation med reellt tal (skalär) Låt λ vara ett reellt tal, u en vektor, 0 nollvektorn u betyder längden av u 0 u = λ 0 = 0 längden av λ u är λ u = λ u o om λ > 0 så har u och λ u samma riktning o om λ < 0 så har u och λ u motsatt riktning u och v är parallella om v = λ u för något λ R. OBS! u är alltså parallell med u

18 Räkning med vektorer Addition: Placera pilarna spets mot ända Förbind fri ända med fri spets v u + v v u + v u u ger samma resultat

19 Räkning med vektorer Addition: som sammansatt förflyttning v u

20 Räkning med vektorer subtraktion = addition med motsatta vektorn : v u = v + u v u v u u

21 Räknelagar Sats 2.2.5: Låt u, v och w vara vektorer och låt λ, μ vara reella tal. Då gäller: A1. u + v = v + u A2. u + v + w = u + v + w A3. u + 0 = 0 + u = u (neutralt element) A4. u + v = 0 v = u (additiv invers) M1. 1u = u M2. λ μu = λμ u M3. λ + μ u = λu + μu M4. λ(u + v) = λu + λv

22 Bas och koordinater Idé: vektorerna u + v, 2u + 3v etc är beroende av u och v. Målsättning: Uttrycka alla vektorer i planet/rummet med ett fåtal givna genom så kallade linjärkombinationer, t ex w = 2u + 3v eller w = u 1 2 v Allmänt: x 1 u 1 + x 2 u x n u n kallas en linjärkombination Definition En ordnad uppsättning vektorer i planet (rummet) kallas en bas om varje vektor i planet (rummet) kan skrivas som en linjärkombination av de givna på precis ett sätt Sats En bas i planet består av två icke-parallella vektorer. En bas i rummet består av tre vektorer som ej ligger i samma plan

23 Bas och koordinater Sats 2.3.2: Räcker med två icke-parallella i planet. Bevis för planet (se Fig 2.11 i boken) Börjar med två vektorer u 1 och u 2 som inte är parallella Placerar u 1 och u 2 ända mot ända i någon punkt O i planet Låt v vara en godtycklig vektor i planet Drag en linje genom spetsen på v parallell med u 2 och en linje genom u 1 Drag en linje genom spetsen på v parallell med u 1 och en linje genom u 2 v x 2 u 2 u 2 v = x 1 u 1 + x 2 u 2 x 1 u 1 u 1

Relevanta dokument

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver