Vektorgeometri för gymnasister

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Vektorgeometri för gymnasister"

Transkript

1 Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

2 Innehåll Repetition: Egenvärden och egenvektorer ON-baser av egenvektorer Spektralsatsen Beräkning av matrispotenser 2(24)

3 Repetition: Egenvärden och egenvektorer Definition (Egenvärden och egenvektorer) Låt F vara en linjär avbildning av rummet (planet). Om det finns en vektor v 0 och ett reellt tal λ så att F (v) = λv, så kallas v för en egenvektor till F med egenvärdet λ. Definition (Diagonaliserbar avbildning) Låt F vara en linjär avbildning av rummet (planet). Om det finns en bas i vilken avbildningsmatrisen för F är en diagonalmatris, så säges F vara diagonaliserbar. För att F ska vara diagonaliserbar, krävs det att det finns en bas för rummet (planet), som enbart består av egenvektorer till F. När man tar itu med att hitta en sådan bas, brukar man säga att man försöker diagonalisera F. 3(24)

4 Om F är en linjär avbildning av rummet, så får vi egenvärdena till F genom att lösa sekularekvationen det(a λe) = 0, där A är avbildningsmatrisen för F i den bas som är given. För vart och av egenvärdena λ till F kan vi sedan bestämma motsvarande egenvektorer genom att lösa ekvationssystemet AX = λx, X O. Om vi bland alla dessa egenvektorer kan hitta tre stycken som bildar en bas för rummet, så kommer F i denna bas att ha avbildningsmatrisen λ D = 0 λ 2 0, 0 0 λ 3 där λ 1, λ 2, λ 3 är de olika egenvärdena till F. Vidare gäller D = T 1 AT, där T är transformationsmatrisen för basbytet (kolonnerna i T utgörs av koordinaterna för de egenvektorer som ska ingå i basen). 4(24)

5 ON-baser av egenvektorer Antag att F är en diagonaliserbar avbildning. Det finns då en bas för rummet, i vilken F representeras av en diagonalmatris D, och denna bas består av egenvektorer till F. Vi har vid ett flertal tillfällen sett att ON-baser är att föredra. Därför frågar vi oss om det finns någon speciell egenskap hos F som gör att det bland egenvektorerna till F går att hitta en ON-bas? Sats Antag att F är en diagonaliserbar linjär avbildning av rummet, och att det finns en ON-bas u = (u 1, u 2, u 3 ), bestående av egenvektorer till F. Låt e = (e 1, e 2, e 3 ) vara en godtycklig ON-bas. Om F i denna bas har A som avbildningsmatris, så är A symmetrisk, d.v.s. A T = A. Med andra ord: Om det finns ON-bas av egenvektorer till F, så kommer avbildningsmatrisen för F i vilken annan ON-bas som helst att vara en symmetrisk matris. 5(24)

6 Bevis av satsen. Antag att F i den godtyckligt valda ON-basen e representeras av matrisen A. Låt D vara matrisen för F i den ON-bas u, som består av egenvektorer till F. Då är D en diagonalmatris, och en sådan är alltid symmetrisk; D T = D. Vi ska bevisa att även A är symmetrisk! Om T är den transformationsmatris, som beskriver basbytet från basen e till egenvektorbasen u, så är D = T 1 AT, vilket vi också kan skriva som A = TDT 1. Men eftersom vi byter från en ON-bas till en annan, så är T ortogonal, d.v.s. T 1 = T T. I själva verket har vi alltså A = TDT T. Räknelagarna för transponering av matriser ger nu d.v.s. A är symmetrisk. A T = (TDT T ) T = (T T ) T D T T T = TDT T = A, Definition (Symmetrisk avbildning) En linjär avbildning F kallas symmetrisk, om den i någon ON-bas (och därmed i alla ON-baser) har en symmetrisk avbildningsmatris. 6(24)

7 Exempel Om vi studerar tidigare exempel på linjära avbildningar, så ser vi avbildningsmatriserna för speglingar i ett plan alltid har varit symmetriska matriser. En spegling i ett plan är ett exempel på en symmetrisk avbildning. Vi ser även från tidigare exempel, att de avbildningsmatriser vi bestämt för ortogonala projektioner på ett plan (eller en rät linje) har varit symmetriska. Ortogonala projektioner är ännu ett exempel på symmetriska avbildningar. Däremot är sneda projektioner inte symmetriska (avbildningsmatrisen för en sådan kan inte vara symmetrisk). Enligt den sats vi nyligen bevisade, så har vi: Om det finns en ON-bas av egenvektorer till en linjär avbildning, så är denna avbildning symmetrisk. Det omvända förhållandet visar sig också gälla, d.v.s. om vi startar med en linjär avbildning F, som i en given ON-bas har en symmetrisk avbildningsmatris (d.v.s. F är symmetrisk), så finns det en ON-bas som enbart består av egenvektorer till F, d.v.s. F är diagonaliserbar. Detta resultat brukar man referera till som spektralsatsen. 7(24)

8 Spektralsatsen Sats (Spektralsatsen) Låt F vara en symmetrisk linjär avbildning. Då är F diagonaliserbar. Vidare finns det en ON-bas som enbart består av egenvektorer till F. När man letar efter en ON-bas av egenvektorer till en symmetrisk linjär avbildning, så kan följande sats vara matnyttig: Sats Låt u och v vara egenvektorer till en symmetrisk linjär avbildning F, med motsvarande egenvärden λ respektive µ. Antag att λ µ. Då är u och v ortogonala, d.v.s. u v = 0. För att bevisa denna sats, behövs en hjälpsats (ett s.k. lemma ). Lemma Låt F vara en symmetrisk linjär avbildning av rummets (planets) vektorer. Då gäller F (x) y = x F (y), för alla vektorer x och y i rummet (planet). 8(24)

9 Bevis av lemmat. Om x = (x 1, x 2, x 3 ) och y = (y 1, y 2, y 3 ) i en ON-bas, så kan ju som bekant skalärprodukten av dessa vektorer beräknas genom x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Om X och Y är motsvarande kolonnvektorer, kan vi se högerledet ovan som en matrisprodukt: x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = ( ) y 1 x 1 x 2 x 3 = X T Y. Ifall A nu är avbildningsmatrisen för F i den givna basen, så motsvaras F (x) och F (y) av AX respektive AY. Med ovanstående tolkning av skalärprodukt, svarar skalärprodukterna F (x) y och x F (y) mot matrisprodukterna (AX ) T Y respektive X T (AY ), så att bevisa att F (x) y = x F (y) blir därmed samma sak som att bevisa att (AX ) T Y = X T (AY ). Detta följer av räknereglerna för transponering av matriser samt av att vi vet att A är symmetrisk: y 2 y 3 (AX ) T Y = (X T A T )Y = (X T A)Y = X T (AY ). 9(24)

10 Bevis av satsen. Vi ska visa att om u och v är egenvektorer till en symmetrisk linjär avbildning F, sådana att motsvarande egenvärden λ och µ är olika, så är u v = 0. Att u och v är egenvektorer till F med egenvärdena λ respektive µ, betyder att F (u) = λu och F (v) = µv. Eftersom F är symmetrisk, vet vi från föregående lemma att F (u) v = u F (v). Med F (u) = λu och F (v) = µv blir alltså (λu) v = u (µv). Räknereglerna för skalärprodukt ger att λ(u v) = µ(u v) (λ µ)(u v) = 0. Men vi vet att λ µ och därmed att λ µ 0. För att (λ µ)(u v) ska kunna vara noll måste därför u v = 0, vilket skulle bevisas. 10(24)

11 Exempel Låt F vara en linjär avbildning med A = som avbildningsmatris i den bas vi har given (vilken i vanlig ordning förutsätts vara ortonormerad). Eftersom A är symmetrisk är F en symmetrisk avbildning. Alltså är F diagonaliserbar, och det finns en ON-bas för rummet som består av egenvektorer till F, enligt spektralsatsen. Vi ska nu bestämma en sådan bas. 11(24)

12 Vi börjar i vanlig ordning med att lösa sekularekvationen 1 λ λ λ = 0. Determinanten i vänsterledet blir (10 λ) ( (1 λ)( 6 λ) ( 12) 2) = (10 λ)(λ 2 + 5λ 150), så antingen är 10 λ = 0 eller λ 2 + 5λ 150 = 0. Andragradsekvationen har lösningarna λ = 5 2 ± (5 2 ) = 5 2 ± 25 2, d.v.s. λ = 5/2 25/2 = 15 eller λ = 5/2 + 25/2 = (24)

13 Vi har alltså hittat två egenvärden λ 1 = 15 och λ 2 = 10, och bestämmer nu motsvarande egenvektorer, genom att lösa ekvationssystemet AX = λx för dessa två värden på λ: λ = 15: Ekvationssystemet att lösa är här AX = 15X, d.v.s. x 1 12x 3 = 15x 1 10x 2 = 15x 2 12x 1 6x 3 = 15x 3 16x 1 12x 3 = 0 25x 2 = 0 12x 1 + 9x 3 = 0. Enligt den andra ekvationen måste x 2 = 0. De två övriga ekvationerna är båda ekvivalenta med 4x 1 3x 3 = 0. Om vi sätter x 3 = 4t så blir därmed x 1 = 3t. Egenvektorerna som hör till egenvärdet λ = 15 ges alltså av alla (x 1, x 2, x 3 ) = t(3, 0, 4), där t 0. Vi är ju ute efter en ON-bas. Därför väljer vi t så att vi får en egenvektor av längd 1. Med t = 1/5 får vi en sådan vektor, nämligen v 1 = (3/5, 0, 4/5). 13(24)

14 λ = 10: Ekvationssystemet som ska lösas är här AX = 10X, d.v.s. x 1 12x 3 = 10x 1 10x 2 = 10x 2 12x 1 6x 3 = 10x 3. Den andra ekvationen säger här att x 2 kan anta ett godtyckligt värde, säg x 2 = t. För de övriga två variablerna får vi ekvationssystemet { 9x1 12x 3 = 0 12x 1 16x 3 = 0. Båda ekvationerna är ekvivalenta med 3x 1 + 4x 3 = 0, så om vi sätter x 3 = 3s, blir x 1 = 4s. Det ursprungliga ekvationssystemet har därmed den tvåparametriga lösningen x 1 = 4s x 2 = t x 3 = 3s. Lösningen kan vi tolka som det plan som går genom origo och spänns upp av vektorerna ( 4, 0, 3) och (0, 1, 0). Samtliga vektorer som ligger i detta plan är alltså egenvektorer till F med egenvärdet λ = (24)

15 Bland alla vektorer som ligger i detta plan söker vi två vektorer av längd 1 som är ortogonala mot varandra. I detta fall har vi litet tur, ty de två vektorer ( 4, 0, 3) och (0, 1, 0) som vi fann spänner upp detta plan är ortogonala, så för att vi ska få en ON-bas, behöver vi bara normera dem: v 2 = ( 4/5, 0, 3/5) och v 3 = (0, 1, 0). Den egenvektor v 1 = (3/5, 0, 4/5) vi tidigare fann för egenvärdet λ = 15 kommer automatiskt att vara ortogonal mot både v 2 och v 3, ty v 1 hör ju till ett annat egenvärde än v 2 och v 3, och egenvektorer som hör till olika egenvärden till en symmetrisk avbildning är alltid ortogonala, enligt den sats vi formulerade och bevisade innan exemplet (och som vi återger här): Sats Låt u och v vara egenvektorer till en symmetrisk linjär avbildning F, med motsvarande egenvärden λ respektive µ. Antag att λ µ. Då är u och v ortogonala, d.v.s. u v = 0. 15(24)

16 Sammanfattningsvis: Vektorerna v 1 = (3/5, 0, 4/5), v 2 = ( 4/5, 0, 3/5) och v 3 = (0, 1, 0) utgör en ON-bas av egenvektorer till F. I denna bas har F avbildningsmatrisen D = , och sambandet mellan D och den ursprungliga avbildningsmatrisen A ges av D = T T AT, där 3/5 4/5 0 T = = /5 3/ Transformationsmatrisen T är här ortogonal (T 1 = T T ) eftersom det rör sig om ett basbyte från en ON-bas till en annan. 16(24)

17 Beräkning av matrispotenser Exempel Låt a n beteckna antalet individer i en bakteriekultur efter n timmar. En ansats till en matematisk modell, för att beskriva hur antalet bakterier i kulturen förändras med tiden, skulle kunna vara: a n = 7a n 1 10a n 2, n = 2, 3, 4,... (1) Till timme n kommer antalet individer som fanns efter n 1 timmar att sjufaldigas (därav 7a n 1 ), men det kommer även dö tio gånger så många som antalet bakterier efter n 2 timmar (därav 10a n 2 ). Om vi vet att a 0 = 3 och a 1 = 7, hur många bakterier finns det då i kulturen efter ett dygn, d.v.s. vad är a 24 lika med? Vi skulle kunna beräkna detta genom upprepat användande av (1): a 2 = 7a 1 10a 0 = = = 19 a 3 = 7a 2 10a 1 = = = 63 a 4 = 7a 3 10a 2 = = = 251, o.s.v... Boring! Finns det inget effektivare sätt? 17(24)

18 Bilda matrisen Då är ( ) a1 A a 0 ( ) a2 A a 1 ( ) a3 A a 2 Man kan bevisa att A = ( ) ( ) ( ) ( ) 7 10 a1 7a1 10a = = 0 = 1 0 a 0 a 1 ( ) ( ) ( ) 7 10 a2 7a2 10a = = 1 = 1 0 a 1 a 2 ( ) ( ) ( ) 7 10 a3 7a3 10a = = 2 = 1 0 a 2 a 3. ( ) ( ) an an+1 A =, a n 1 a n gäller för alla n, d.v.s. multiplikation av ( an a n 1 ( a2 a 1 ) ( a3 a 2 ( a4 ) a 3 ) ) med A (från vänster) gör att index för a n räknas upp med 1. 18(24)

19 ( ) a1 Om vi alltså startar med a 0 och multiplicerar denna vektor 23 gånger från vänster med A, så kommer index för a n räknas upp med 1 varje gång, vilket ger att (a24) a 23 = A 23 ( a1 a 0 ). En möjlig väg att komma åt a 24 är alltså att beräkna A 23. Hur då? Antag att det finns en inverterbar matris T sådan att D = T 1 AT är en diagonalmatris (d.v.s. att A är diagonaliserbar). Då är A = TDT 1, vilket ger att A 2 = (TDT 1 ) 2 = TDT 1 TDT 1 = TDEDT 1 = TD 2 T 1 A 3 = (TDT 1 ) 3 = TDT 1 TDT 1 TDT 1 = TD 3 T 1,. Allmänt får vi för varje heltal n 1 att A n = TD n T 1. 19(24)

20 Att med hjälp av formeln A n = TD n T 1 bestämma A 23 blir nu enkelt, eftersom D n lätt att beräkna, i och med att ( ) ( ) λ1 0 D = = D n λ n = λ 2 0 λ n, 2 där λ 1 och λ 2 är egenvärdena till A. Sekularekvationen 7 λ 10 1 λ = 0 visar sig ha rötterna λ 1 = 2 och λ 2 = 5. Genom att lösa ekvationerna AX = 2X och AX = 5X får vi motsvarande egenvektorer, som vi kan välja till v 1 = (2, 1) respektive v 2 = (5, 1) (övning!). Detta betyder alltså att A = TDT 1, där ( ) 2 5 T = och D = 1 1 Vi har här att (övning!) T 1 = 1 3 ( ) ( ) (24)

21 Nu blir ( ) ( ) A 23 = TD 23 T = ( ) = 1 ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) Därmed är ( ) ( ) a24 = A 23 a1 = 1 ( ( ) ( ) 7 a 23 a ( )) 22 3 = 1 ( ) 7( ) + 30( ) 3 7( ) + 30( , ) där vi kan läsa av att a 24 = 1 3 (7( ) + 30( )) , d.v.s. nästan biljoner bakterier! (Modellen är alltså inte så realistisk, speciellt inte under en så lång tidsperiod som ett dygn... ). 21(24)

22 Sammanfattningsvis, om A är en kvadratisk matris, så kan matrispotensen A n, där n 2, beräknas på följande vis (förutsatt att A är diagonaliserbar): 1. Bestäm egenvärdena till A genom att lösa sekularekvationen det(a λe) = Bestäm motsvarande egenvektorer genom att för varje funnet egenvärde λ lösa ekvationssystemet AX = λx. 3. Välj en bas av egenvektorer och bilda matrisen T, vars kolonner utgörs av koordinaterna för just dessa egenvektorer. 4. Beräkna T Nu är D = T 1 AT en diagonalmatris, och elementen på huvuddiagonalen till D är egenvärdena till A. Därmed är A n = TD n T 1. 22(24)

23 Exempel I ett tidigare exempel på denna föreläsning, diagonaliserade vi den symmetriska linjära avbildning F, som hade avbildningsmatrisen A = och fann då att T 1 AT = D, där T = och D = Här är i själva verket T 1 = T T (ty vi byter ju bas från en ON-bas till en annan). 23(24)

24 Därmed är A n = TD n T 1 = TD n T T = ( 15) n n n = 1 3 ( 15) n ( 4) 10 n n ( 15) n 3 10 n = 1 9 ( 15) n n 0 12 ( 15) n n n ( 15) n n 0 16 ( 15) n n För t.ex. n = 5 får vi matrisen A 5 = (24)

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN 9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor

Läs mer

November 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)

November 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs) Fö : November 4, 7 Egenvärde och egenvektor Definition s 9: Låt A resp T : R n R n vara en n n-matris resp en linjär avbildning En icke-trivial vektor v R n kallas en egenvektor till A resp till T med

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n. Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Provräkning 3, Linjär Algebra, vt 2016.

Provräkning 3, Linjär Algebra, vt 2016. LINK OPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Provräkning, Linjär Algebra, vt 6. Lämna in lösningar för rättning senast 8. onsdagen den 7 april 6. Lämnas in antigen i mitt fack på MaI eller direkt

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Linjär algebra kurs TNA002

Linjär algebra kurs TNA002 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp

6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp 6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:

Läs mer

Avsnitt 6, Egenvärden och egenvektorer. Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris. En matris 1 0.

Avsnitt 6, Egenvärden och egenvektorer. Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris. En matris 1 0. Avsnitt Egenvärden och egenvektorer W Vilka av följande matriser är ortogonala? b d En matris A a a a n a a a n a a a n a m a m a mn är en ortogonal matris om dess kolumner bildar en ON-bas för rummet

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

MVE022 Urval av bevis (på svenska) MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller

Läs mer

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas

Läs mer

Linjär algebra Föreläsning 10

Linjär algebra Föreläsning 10 Linjär algebra Föreläsning 10 IT-programmet, Chalmers 2006 Samuel Bengmark Repetition Handlade om kvadratiska matriser. Kvadratiska ekvationssystem har: Unik lösning omm Det(A) 0. Har oändligt antal lösningar

Läs mer

LYCKA TILL! kl 8 13

LYCKA TILL! kl 8 13 LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade

Läs mer

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 9 6, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst

Läs mer

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,

Läs mer

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Bo Styf Prov i matematik F, X, ES, KandFys, Lärare, Frist, W, KandMat1, Q LINJÄR ALGEBRA II 010 08 4 Skrivtid: 1400 1900 Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016 Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =

kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U = MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel 76-786 Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter

Läs mer

Kort repetition av basbyte, nu med modern teknologi

Kort repetition av basbyte, nu med modern teknologi KAPITEL 9 Kort repetition av basbyte, nu med modern teknologi Vi kommer i detta kapitel att diskutera vektorer i planet och i rummet. När vi har valt en fix bas B u = (e 1,e 2,e 3 ) i t ex rummet kan vi

Läs mer

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y)..

Läs mer

A = x

A = x Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.

Läs mer

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p) SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar

Läs mer

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra för F1, Q1, W1 Kurslitteratur Höstterminen 2006 Eriksson Lind Persson Tengstrand, Algebra för universitet och högskolor, Band II (Linjär Algebra),

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på

Läs mer

Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att

Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 20

Linjär Algebra, Föreläsning 20 Linjär Algebra, Föreläsning 20 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Symmetriska avbildningar, repetition F : E E sägs vara symmetrisk om (F (u) v) = (u F (v)) gäller för all u, v i det Euklidiksa rummet

Läs mer

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

Facit/lösningsförslag

Facit/lösningsförslag Facit/lösningsförslag 06-08- Låt l vara linjen med parameterform x, y, z 0 s, mellan planet x y z och planet z 0 och låt l vara skärningslinjen a) Skriv l på parameterform b) Beräkna avståndet mellan l

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm

Läs mer