Linjär Algebra, Föreläsning 20

Transkript

1 Linjär Algebra, Föreläsning 20 Tomas Sjödin Linköpings Universitet

2 Symmetriska avbildningar, repetition F : E E sägs vara symmetrisk om (F (u) v) = (u F (v)) gäller för all u, v i det Euklidiksa rummet E. Detta är ekvivalent med att F har en symmetrisk matris i en (i alla) ON-bas till E. Om F är symmetrisk så nns det en ON-bas sådan att F har en diagonal matris i denna.

3 Exempel 1 Exempel 1: Låt F : R 3 R 3 ha matris A e = i standardbasen e. Bestäm en ON-bas f till R 3 sådan att F har en diagonal matris A f i denna.

4 Kvadratiska former Vi kommer här bara titta på kvadratiska former på R n (boken behandlar allmännare Euklidiska rum, men det blir inte någon större skillnad). En kvadratisk form på R 2 är en funktion Q : R 2 R på formen Q(x 1, x 2 ) = ax bx 1 x 2 + cx 2 2. En sådan kan vi med matriser skriva på formen Q(x 1, x 2 ) = ( ) ( ) ( ) a b x1 x 1 x 2. b c x 2

5 I R n, om vi skriver X = x 1 x 2. x n, och betecknar standardbasen med e, då denierar vi analogt en kvadratisk form att vara en funktion Q : R n R på formen Q(x 1, x 2,..., x n ) = Q(eX ) = X t AX, där A är symmetrisk (d.v.s. A = A t ).

6 Vi observerar att följande gäller: Q(eλX ) = λ 2 Q(eX ), Q(e0) = 0, Q är ett polynom som bara innehåller andragradstermer, Om X = TY då gäller att Q(eX ) = Q(eTY ) = Y t T t ATY, och T t AT är symmetrisk. D.v.s. att vara en kvadratisk form är invariant om vi byter till en ny ON-bas.

7 Enligt spektralsatsen nns det en ON-bas f = ( ) f 1 f 2 f n till R n bestående av egenvektorer till A med motsvarande egenvärden λ 1, λ 2,..., λ n (där dessa inte alla behöver vara olika). Vi har då följande resultat: Sats Om f = ( f 1 f 2 f n ) är en ON-bas till R n bestående av egenvektorer till A med motsvarande egenvärden λ 1, λ 2,..., λ n då gäller att Q(eX ) = Q(f Y ) = λ 1 y λ 2 y λ n y 2 n, där Y = y 1 y 2. y n är koordinaterna för ex i f basen.

8 Exempel 2 Exempel 2: Ange en ny ON-bas till R 2 sådan att Q(x 1, x 2 ) = x x 1 x 2 + x 2 2 inte innehåller några blandtermer i denna.

9 Exempel 3 Exempel 3: Ange en ny ON-bas till R 3 sådan att Q(x 1, x 2, x 3 ) = 3x x 1 x 2 + 3x x 1 x 3 + 2x 2 x 3 + 4x 2 3 inte innehåller några blandtermer i denna.

10 Teckenkaraktär En kvadratisk form Q(eX ) = X t AX på R n sägs vara: Positivt denit om Q(eX ) > 0 för alla X 0, Positivt semidenit om Q(eX ) 0 för alla X med likhet för något X 0, Negativt denit om Q(eX ) < 0 för alla X 0, Negativt semidenit om Q(eX ) 0 för alla X med likhet för något X 0, Indenit om den antar både positiva och negativa värden.

11 Sats Om λ 1, λ 2,..., λ n är egenvärdena till A, då gäller att Q är: Positivt denit om och endast om alla λ i > 0, Positivt semidenit om och endast om alla λ i 0 med likhet för något i, Negativt denit om och endast om alla λ i < 0, Negativt semidenit om och endast om alla λ i 0 med likhet för något i, Indenit om det nns både positiva och negativa egenvärden.

12 Att diagonalisera A är också ett eektivt sätt att kontrollera värdena på Q enligt följande sats: Sats Om λ 1 λ 2... λ n är egenvärdena till A, då gäller att: λ 1 ex 2 Q(eX ) λ n ex 2, λ 1 är det minsta värdet Q antar på { ex = 1}, och detta värde antas i de punkter som är egenvektorer till A svarande mot egenvärdet λ 1, λ n är det största värdet Q antar på { ex = 1}, och detta värde antas i de punkter som är egenvektorer till A svarande mot egenvärdet λ n.

13 Exempel 4 Exempel 4: Bestäm max/min på enhetscirkeln till Q(x 1, x 2 ) = x x 1 x 2 + x 2 2, samt avgör i vilka punkter dessa värden antas.

14 Andragradskurvor En kurva i planet på formen Q(x 1, x 2 ) = c, där Q är en andragradsform och c är en konstant kallas en andragradskurva. Det nns i princip tre typer av kurvor man kan få: Ellipser, parabler eller hyperblar. (Det nns dock vissa degenererade fall...)

15 Exempel 5 Exempel 5: Beskriv kurvan i R 2 som ges av Q(x 1, x 2 ) = x x 1 x 2 + x 2 2 = 1.