Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär

Transkript

1 Dagens ämnen Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna i rätt bas

2 Kvadratiska former a 1 x 1 + a x + + a n x n kallas en linjär form (i n variabler) a 11 x 1 + a 1 x 1 x + a x kallas en kvadratisk form (i variabler) a 11 x 1 + a x + a 33 x 3 + a 1 x 1 x + a 13 x 1 x 3 + a 3 x x 3 kallas en kvadratisk form (i 3 variabler) Definition. Låt E, dim E = n < vara ett euklidiskt rum. En funktion Q: E R säges vara en kvadratisk form om den i någon bas {e 1,, e n } för E kan skrivas Q u = Q ex e = Q x 1 e x n e n = n n i=1 j=1 a ij x i x j.

3 Varför är kvadratiska former intressanta? Dyker upp i tillämpningar som tex uttryck som definierar kurvor eller ytor uttryck för energi, spec. rotationsenergi då en kropp roterar kring fix axel max/min undersökningar för funktioner av flera variabler etc, etc,... och de är tacksamma att studera då de kan transformeras till enkel form och därmed är de ett bra exempel på användning av egenvärdesteori

4 Kvadratiska former Sats Till varje kvadratisk form Q: E R hör en entydigt bestämd symmetrisk linjär avbildning F: E E sådan att Q u = u F(u) u E Exempel. Betrakta Q: R 3 R Q u = x 1 + 3x + 5x 3 + x 1 x + 8x 1 x 3 14x x 3 = = x 1 x 1 + x + 4x 3 + x x 1 + 3x 7x 3 + x 3 4x 1 7x + 5x 3 = x 1 x x Samma uppställning i färg: Q u = x 1 + 3x + 5x 3 + x 1 x + 8x 1 x 3 14x x 3 Då Q u = u F(u) där avbildningsmatrisen x 1 x x 3 A e = 1 / 8/ / 3 14/ 8/ 14/ 5 =

5 Kvadratiska former Sats Låt Q: E R vara en kvadratisk form och Q u = u F(u), där F: E E är symmetrisk linjär avbildning. Låt {f 1,, f n } vara en ON-bas av egenvektorer till F. Då är Q u = Q y 1 f y n f n = λ 1 y λ n y n där λ i är egenvärde till f i och f = et, u = ex e = fy f Problem vi skall studera (lösa): Vilken sorts kurva (yta) har en ekvation på formen Q u = Q ex = X t AX = k (konstant) Vad har Q u för tecken? Hur stor kan Q u bli i förhållande till u? Hur stor kan Q u bli då u = 1?

6 Ett modellexempel Betraktar Q u = 3x 1 + 3x. Då A = Ekvationen Q u = 3x 1 + 3x = k har tre olika lösningar beroende på k: Om k > 0 har vi cirkeln x 1 + x = k 3 = r av radien r = k 3 och medelpunkt i origo Om k = 0 då finns det endast trivial lösning: x 1 + x = 0 x 1 = x = 0 Om k < 0 då finns inga lösningar eftersom x 1 + x 0 för alla talpar x 1, x R Vad har Q u för tecken? Svar: Q u är positivt definierad, d v s är positiv för alla u enskilda från 0. Hur stor kan Q u bli i förhållande till u? Svar: Q u = 3 u Hur stor kan Q u bli då u = 1? Svar: Q u = 3 u = 3

7 Sats (Tröghetslagen) Tröghetslagen Låt Q: E R, dim E = n vara en kvadratisk form. Låt {e 1,, e n } och {f 1,, f n } vara två baser sådana att Q u = Q ex e Q fx f = λ 1 x λ p x p λ p+1 x p+1 λ r x r = μ 1 x μ q x q μ q+1 x q+1 μ s x s där λ i, i = 1,, r och μ j, j = 1,, s är positiva. Då gäller p = q och r = s D v s oavsett i vilken diagonaliserande bas som Q representeras så är antalet kvadrattermer med positiva koefficienter lika. Det samma gäller för antalet kvadrattermer med negativa koefficientar och, om r < n = dim E, antalet kvadrattermer med koefficient 0.

8 Exempel. Ange en ny bas för R 3 så att den kvadratiska formen Q u = x 1 + x + x 3 + 4x 1 x + 6x 1 x 3 + 4x x 3 i den nya basen inte innehåller några blandade produkter. Lösning 1 (Egenvärdteori) Här blir 1 3 Q u = X t AX där A = 3 1 Då fås det A λi = = λ(λ 6)(λ + ) vilket ger en ON-bas bestående av egenvektorer f 1 = e 1, f = e 0, f 3 = e 1 λ 1 = 6 λ = λ 3 = 0 vilket ger Q u = x 1 + x + x 3 = 6y 1 + y + 0y 3 = 6y 1 y Lösning (Kvadratkomplettering) Samla ihop alla termer som innehåller x 1 och bilda en kvadrat där alla dessa ingår, fortsätt på samma sätt med x osv. Vi får x 1 + x + x 3 + 4x 1 x + 6x 1 x 3 + 4x x 3 = = x 1 + 4x 1 x + 6x 1 x 3 + x + x 3 + 4x x 3 = = x 1 + x + 3x 3 x + 3x 3 + x + x 3 + 4x x 3 = = x 1 + x + 3x 3 4x 1x x 3 9x 3 + x + x 3 + 4x x 3 = = x 1 + x + 3x 3 x 8x x 3 8x 3 = = x 1 + x + 3x 3 (x + 4x x 3 ) 8x 3 = där = x 1 + x + 3x 3 x + x 3 + 8x3 8x 3 = = x 1 + x + 3x 3 x + x 3 = z 1 z + 0z 3 z 1 = x 1 + x + 3x 3 z = x +x 3 z 3 = x 3

9 Rang, signatur och teckenkaraktär Definition. Låt Q: E R, dim E = n vara en kvadratisk form som i någon bas ges av Q ex e = x x p x p+1 x r, 0 p r n Då kallas r den formens rang och n-tipeln (= koefficienter inklusive 0) kallas den kvadratiska formens signatur. 1,, 1, 1,, 1, 0,, 0 Definition. En kvadratisk form Q: E R kallas Positivt definit om Q u > 0 för alla u 0 Negativt definit om Q u < 0 för alla u 0 Positivt semidefinit om Q u 0 för alla u med likhet för minst ett u 0 Negativt semidefinit om Q u 0 för alla u med likhet för minst ett u 0 Indefinit om Q kan anta både positiva och negativa värden. Det fall som en given kvadratisk form sorterar under kallas den kvadratiska formens teckenkaraktär. Observera att, t ex, kvadratiska formen x 1 + x är positivt definit i R men bara positivt semidefinit som en form i R 3

10 Rang, signatur och teckenkaraktär Sats Låt Q: E R, dim E = n vara en kvadratisk form. Då gäller λ min u Q u λ max u med likhet endast då u = egenvektor till egenvärdet λ min resp egenvektor till egenvärde λ max. Speciellt, om u = 1 så är λ min Q(u) λ max

11 Andragradskurvor Definition. Betrakta g: R R definierad genom g x 1, x = a 1 x 1 + a x + a 11 x 1 + a 1 x 1 x + a x d v s g är summan av en linjär och en kvadratisk form i två variabler. Kurvan (punktmängden) g x 1, x = C kallas en andragradskurva. Huvudtyperna (med medelpunkterna i origo): Ellips: x 1 a + x b = 1 Hyperbel: x 1 a x b = 1 (eller = 1) Parabel: x = ax 1 eller x 1 = ax Ett par av korsade linjer: x 1 k x = 0

12 Andragradskurvor Exempel. Ange kurvtyp samt symmetriaxlar till kurvor a) x 1 x 1 x + x = 1 b) x 1 + 4x 1 x x = 1 Lösning. a) x 1 x 1 x + x = X t AX, där A = 1 1 Egenvärden: det A λi = λ 1 λ 3 = 0 ger λ 1 = 1, λ = 3, alltså x 1 x 1 x + x = X t AX = Y t BY = y 1 + 3y = 1, där B = Följaktligen är kurvtyp en ellips. Symmetriaxlarna fås som egenriktningar f λ 1 = x 1 x = 0 0 f 1 = f 1 λ = x 1 x = 0 0 f = 1 1 1