Dagens ämnen. Repetition: kvadratiska former och andragradskurvor Andragradsytor System av differentialekvationer

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Dagens ämnen. Repetition: kvadratiska former och andragradskurvor Andragradsytor System av differentialekvationer"

Maj Åkesson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Dgens ämnen Repetition: kvdrtisk former oh ndrgrdskurvor Andrgrdsytor System v differentilekvtioner

2 Rng, signtur oh tekenkrktär Sts Låt Q: E R, dim E = n vr en kvdrtisk form. Då gäller λ min u Q u λ mx u med likhet endst då u = egenvektor till egenvärdet λ min resp egenvektor till egenvärde λ mx. Speiellt, om u så är λ min Q(u) λ mx

3 Andrgrdskurvor Definition. Betrkt g: R R definierd genom g, x = 1 x 11 x 1 1 x x d v s g är summn v en linjär oh en kvdrtisk form i två vriler. Kurvn (punktmängden) g, x = C klls en ndrgrdskurv. Nmn Ekvtion Kvdrtisk form, rng Ellips: Hyperel: Huvudtypern (med medelpunktern i origo): x x Positiv definit, rng = Indefinit, rng = Prel x = Semidefinit, rng Ett pr v korsde linjer k x = 0 Indefinit =0, rng =

4 Andrgrdskurvor Exempel. Ange kurvtyp smt symmetrixlr till kurvn x x Lösning. Digonliserr kurvns ekvtion: x x = X t AX, där A = 1 1 Egenvärden: det A λi = λ 1 λ 3 = 0 ger λ 1, λ = 3, lltså x x = X t AX = Y t BY = y 1 3y, där B Följktligen är kurvtyp en ellips. Symmetrixlrn fås som egenriktningr λ x = 0 0 f f λ = x = 0 0 f 1 1 f 1

5 Andrgrdsytor Definition. Betrkt g: R 3 R definierd genom g, x, = 1 x 3 11 x 1 x 33 x 3 1 x 13 3 x d v s g är summn v en linjär oh en kvdrtisk form i tre vriler. Ytn (punktmängden) g, x = C klls en ndrgrdsyt. Exempel. x 4 8 Kvdrtkomplettering ger: x 4 = 6 1 x = Ytn är följktligen en sfär med medelpunkt i M(1,0, ) oh rdien r 1.

6 Huvudtypern (rng = 3), Ellipsoid (l.. sfär): x Enmntld hyperoloid: x Tvåmntld hyperoloid: x Kon: x = 0

7 Huvudtypern (rng = 3), nimerde ilder Ellipsoid (l.. sfär): x Enmntld hyperoloid: x Tvåmntld hyperoloid: x Kon: x = 0

8 Huvudtypern (rng = ) Elliptisk prloid: = x Hyperolisk prloid: = x Elliptisk ylinder: x Hyperolisk ylinder: x Prolisk ylinder (rng ) = x

9 ) Avgör vilken typ v yt i R 3 som ges v ekvtionen x 3y 3z 7xz 150 = 0 Lösning. x 3y 3z 7xz 150 = x 36xz 3y 3z 150 = Följktligen = x 18z 65z 3y 150 x 18z 3y 65z 50 x 18z 75 y 50 5z 6 (,, ) två-mntld hyperoloid. Exempel. Ange en ny s som är rottion v den ursprunglig oh som överför ytn 3 3x x 4 4x till stndrdform oh nge vilken typ v yt det är.

10 System v differentilekvtioner Modellprolem 1: Sök t, x t C 1 (R) så tt d dt = 4 t 7x (t) dx dt = t 5x (t), där 0 = 8 x 0 = 3 Definition Derivtn x v funktionen x = ex: R R n definiers som x (t) = lim e X t h X t h Så snrt dett gränsvrde existerr. h 0 1 Exempel. x = (t, t): R R 3 1 h X t h X t h t h t h t t = t h t då t 0 så tt x t = t

11 System v differentilekvtioner Modellprolem 1: Sök t, x t C 1 (R) så tt d dt 1 t 7x t dx dt 1 t 5x t där 0 = 8 x 0 = 3 Skriv systemet på mtrisform X t = t x (t) = t x (t) = AX(t) X t = t x (t) X t, A = = AX(t) Begynnelsevillkoret: X 0 = 0 x (0) = 8 3

12 Låt f vr en ny s oh f = et Vrielyte De gml koordintern X = TY, där Y är ny koordintern, d.v.s. X t = t x (t) = TY t = 11 1 y 1 t 1 y (t) = 11y 1 t 1 y t 1 y 1 t y t Derivering ger X (t) = 11y 1 t 1 y t = TY t 1 y 1 t y t Sustitution in den ursprunglig ekvtionen ger TY t = X t = AX t = ATY t Y t = T 1 AT Y t D v s koeffiientmtrisen i den ny sen lir A f = T 1 A e T Följktligen, om A e är digonliserr så väljer vi f som en egens till A e, därmed lir A f en digonlmtris!

13 Modellexempel (forts.) X t = AX t, A = A e = oh X 0 = λ 7 Beräknr egenvärden till A e : det A λi = 5 λ = λ λ 6 λ 1 = 3, λ = A är digonliserr Söker egenvektorern (egens): för λ 1 = 3: f 1 = e 1 1 för λ = : Alltså f = e 7 f = et = e 1 7 1, T 7 1 X = TY = A e X = A e TY = TY Y = T 1 A e T Y = A f Y = Y y 1 = 3y 1 y = y Begynnelsevillkoret i den ny koordintern: Y 0 = T 1 X 0 = y 1 = e 3t y = e t C 1 C 1 y 1 = C 1 e 3t y = C e t X t = TY t 7 1 e 3t e t = e3t 7e t e 3t e t

14 Det som vi hittills eskrivits gäller även i godtykligt ntl dimensioner oh inhomogen differentilsystemen som t ex d dt = t x t dx dt = 4 t 3x t 1e t, där 0 x 0 = 0 Lösningsförslg: Skriv systemet som X = AX B där A 4 3 oh B = 0 1e t Vrielyte X = TY ger TY = ATY B Y = (T 1 AT)Y T 1 B = A f Y B f Bestäm egenvärden oh egenvektorer till A smt trnsformtionsmtrisen T Lös digonlisert system Y = A f Y B f med de ny egynnelsevillkoren Y 0 = T 1 X(0) Tr dig tillk till de ursprunglig koordintern

Relevanta dokument

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Dagens ämnen Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna i rätt bas Kvadratiska former a 1 x 1 + a x +