Stokes sats och Integralberäkning Mats Persson

Transkript

1 Föreläsning 5/9 tokes sts och Integrlberäkning Mts Persson 1 tokes sts Först given på skrivningen för mith sk priset i februri 185 i mbridge. Bäst student J.. Mxwell). ts: Den slutn kurvn är rnden till ytn. Då gäller för ett kontinuerligt deriverbrt vektorfält u på tt u nd = u dr, 1) där n och är orienterde enligt högerhndsregeln. Noter tt från Guss sts och tt rottionen är divergensfri, dvs u = 0 följer tt ytintegrlen hr smm värde för ll ytor med smm rnd. I krtesisk koordinter ges rottionen v ˆx ŷ ẑ u = x y y u x u y u z. ) Med hjälp v en kurvintegrl kn vi konstruer en koordintoberoende definition v rottionen. Längs enhetsvektorn ˆn hr rot u en komponent 1 ˆn rotu = lim u dr, ) δ 0 δ δ där δ är ett litet ytelement med normlen ˆn. För tt se vr rottionen hr fått sitt nmn ifrån låt oss betrkt hstighetsfältet i en stelt roternde kropp. Hstighetsfältet i denn kropp kn skrivs som v = Ω r. Om vi låter Ω vr prllell med z-xeln, så blir hstigheten v = 0, 0, Ω) x, y, z) = Ωy, Ωx, 0). Rottionen v dett vektorfält är v v = Exempel: Beräkn integrlen längs kurvn Ωx) z, Ωy), Ωx) + Ωy) ) = 0, 0, Ω). ) z x y F dr 5) F = F 0 x + y + 1 ) y, x, 0) 6) x + y =, z = 0. 7) Lösning: i konstterr först tt kurvn är en ellips med hlvxlrn och. Om vi studerr F så ser vi tt F är singulär i origo. i beräknr också F som blir F = F 0 ẑ. 8) i kn inte omedelbrt tillämp tokes sts eftersom F är singulär i origo eller mer korrekt längs z-xeln. För tt tillämp tokes sts måste vi skär ut en liten cirkel kring origo. i lägger därför in en cirkel med rdien ɛ runt origo, och tillämpr därefter tokes sts på ytn melln 1

2 ɛ och. Om ytn skll h ẑ som normlvektor så måste vi följ moturs och ɛ medurs. tokes sts ger tt F dr = F) ẑd = F 0 d 9) + ɛ Om vi nu låter rdien för ɛ, ɛ, gå mot noll, så blir ytintegrlen ren för ellipsen, π. Det återstår nu tt beräkn kurvintegrlen i kn i cylinderkoordinter skriv F = F 0 ρ + 1 ɛ F dr. 10) ) ρˆφ = F 0 ρ + ρ ) ˆφ. 11) Dessutom hr ɛ tngentvektorn ˆφ och ɛ tngentvektorn ˆφ. Dett ger tt integrlen blir F dr = F dr = F 0 ɛ ɛ ɛ + ɛ ) π ) ) dφ = πf 0 + ɛ. 1) 0 Integrlen går mot πf 0 då ɛ 0. Alltså hr vi till slut F dr = F dr + F) d = πf 0 πf 0 = 6πF 0. 1) ɛ 1.1 Konservtiv fält och rottion i hr definiert ett konservtivt fält som ett fält F sådnt tt F dr = 0 1) för vrje sluten kurv. Enligt tokes sts följer det nu tt ett fält som hr F = 0 överllt i ett enkelt smmnhängnde område är konservtivt. Kurvintegrler Exempel: PLK Kp..5 Uppg. : Beräkn integrlen F dr, 15) där F = [ x y + z) ] ˆx + y z ) ŷ + [ z x + y) ] ẑ, 16) och är den kurv som utgör skärningen melln cylindern och sfären x ) + y =, z 0, 17) x + y + z = R, R >, 18) där är en konstnt med dimensionen längd. Lösning: i kn först konstter tt skärningen melln cylinder och sfär är en ellips vrs exkt form är något komplicerd tt fstställ. Eftersom kurvn är en sluten kurv är det locknde tt nvänd tokes sts, så vi beräknr rottionen ˆx ŷ ẑ F = x y z x y + z) y z z x + y) = + ) ˆx + ) ŷ + ẑ = ẑ. 19)

3 Alltså är rottionen v F en rent vertikl vektor. i kn nu nvänd tokes sts F dr = F d. 0) Lägg märke till tt ytn skll orienters så tt den följer högerhndsregeln. Dett betyder tt om vi följer kurvn moturs så skll normlen ˆn till pek uppåt. F d = ẑ ˆnd = ẑ ˆnd. 1) klärprodukten i den sist integrlen betyder tt vi projicerr ner ren på ett pln vinkelrät mot ẑ, det vill säg på xy-plnet. I dett plnet är skärningen cylinderns tvärsnittsyt, en cirkel med rdien, och integrlen blir cirkelren π. Alltså blir integrlen till slut F dr = π = π. ) Alerntivt kn mn välj bottenytn och mntelytn nednför kurvn som den inneslutn ytn. På mntelytn är F ˆn = 0 eftersom ˆn ẑ och normlytintegrlen över mntelytn ger inget bidrg. På bottenytn är ˆn = ẑ så tt ytnormlintegrlen blir då gånger bottenytn. Exempel: PLK Kp..5, Uppg. : En prtikel påverks v krftfältet F = F 0 [ πy + sin ) ˆx + x ŷ + πx cos ẑ ]. ) ilket rbete uträttr fältet då prtikeln rör sig i positiv riktning kring den cirkel som ges v skärningen melln x + y + z = ) och x = z? 5) Lösning: För tt få ut rbetet behöver vi beräkn integrlen F dr. 6) i börjr med tt bestämm skärningskurvn. x + y + z = är en sfär med rdien och centrum i origo, medn x = z är ett pln med normlvektorn ˆn = 1 1, 0, 1). 7) kärningen melln de båd ytorn blir en cirkel med rdien. Den motsvrnde cirkelskivn hr också normlvektorn ˆn. Med det vl som vi hr gjort v normlvektorn, så gäller tokes sts om prtikeln rör sig moturs längs cirkeln. i beräknr nu rottionen längs ytnormlen ˆn F = F 0 πy x + sin y x πx z cos F 0 1 π = ). 8) tokes sts ger oss sedn vilket är svret. F dr = F d = 1 π F 0 1 π π F 0 = d = π 1 π) F 0, 9)

4 Ytintegrler Exempel: PLK Kp.., Uppg. 7: Låt vr ytn y + z = 1, 1 x 1, z 0 med uppåt riktd normlvektor. Beräkn F d, 0) där F = x, x yz, x y z ). Lösning: Ytn är en den övre hlvn v en cylinder med x-xeln som symmetrixel. För tt tillämp Guss sts behöver vi slut denn yt, vilket vi kn gör genom tt lägg till två hlvcirklr, 1 och vid x = 1 och x = 1, smt en bottenyt,. Normlvektorn till dess ytor skll väljs som en kontinuerlig fortsättning v normlvektorn på. Dett innebär tt 1 och får normlvektorern ˆx och ˆx, smt tt normlvektorn till blir ẑ. i ser nu tt normlvektorn överllt pekr ut från den volym som innesluts v, 1, och, vilket är vd som krävs för tt vi skll kunn nvänd Guss sts. i kn nu beräkn divergensen F = x x + x yz ) + x y z ) = 1 + x z + x y = 1 + x ρ, 1) y z där vi hr infört ρ = y + z. i inför lltså en form v cylindrisk koordinter som utgår från x-xeln istället för som vnligt från z-xeln. i kn nu beräkn volymsintegrlen 1 1 π Fd = d + x ρ dϕρdρdx. ) Tänk här på tt vi br integrerr över en hlvcylinder, så tt integrtionsintervllet för ϕ går från 0 till π. Den först integrlen är br hlvcylindersn volym, så nu får vi Fd = 1 π + π [ x ] 1 1 [ ρ ] = π + π + 1 ) 1 = 7π 6. ) i får nu t hnd om de enskild begränsningsytorn. F d = xd = d = π 1 1 1, ) eftersom x = 1 på 1. På smm sätt får vi på F d = xd = π, 5) då x = 1 på. lutligen så finner vi tt på så är F d = x y zd = 0, 6) ty z = 0 på. Om vi ställer smmn dess uträkningr hr vi F d + F d + F d + F d = 1 Fd, 7) och om vi här löser ut integrlen över smt sätter in värden för de enskild integrlern får vi F d = 7π 6 π π = π 6. 8) Kommentr: För tt ytintegrlen skll vr definierd måste en yt vr orienterbr, det vill säg de skll gå tt kontinuerligt trnsporter normlvektorn från en del v ytn till en nnn.

5 Det finns exempel på ytor som inte är orienterbr, till exempel Möbius-bnd, och för sådn ytor kn mn inte definier en ytintegrl. Exempel: Beräkn ytintegrlen ˆx + yŷ + z ẑ ) d 9) över den slutn ytn : x + y + z = z. Lösning: i börjr med tt studer ytn. Den kn skrivs om som Efter kvdrtkomplettering hr vi x + y + z z = 0. 0) x + y + z ) =. 1) Dett är en sfär med rdien och centrum i 0, 0, ). Lägg märke till tt eftersom ytn redn är sluten, så råder det inte någon tvekn om hur normlvektorn är riktd. Konventionen säger oss tt normlvektorn för en sluten yt lltid pekr ut från den inneslutn volymen. I och med tt vi redn hr en sluten yt, så är det locknde tt nvänd Guss sts, och därför beräknr vi divergensen ˆx + yŷ + z ẑ ) = + z. ) Innn vi tr itu med volymsintegrlen byter vi z-koordinten till z = z, så tt sfären i de ny koordintern får sitt centrum i origo. I dess koordinter blir divergensen + z. Enligt Guss sts blir vår ytintegrl nu ˆx + yŷ + z ẑ ) d = + z ) d = d = π, ) eftersom z är en udd funktion och volymen är symmetrisk med vseende på xz plnet så är z d = 0. lutligen värdet på vår ursprunglig ytintegrl är då π. 5