Tentamen ellära 92FY21 och 27

Transkript

1 Tentmen ellär 92FY21 och kl Svren nges på seprt ppper. Fullständig lösningr med ll steg motiverde och beteckningr utstt sk redoviss för tt få full poäng. Poängen för en helt korrekt löst uppgift nges i nslutning till vrje uppgift. Tillåtn hjälpmedel är miniräknre och Physics Hndbook. Lösningrn till tentmen kommer tt nslås på kursens hemsid direkt efter tentmen. För betyget godkänd (G) krävs 12 poäng och för väl godkänd (VG) 18 poäng. Eventuell bonuspoäng kommer tt dders till poängen på tentmen upp till mxpoängen. Lyck till! /Dniel Söderström

2 1. En LRC-krets i serie hr R = 15,0 Ω, L = 25,0 mh och C = 30,0 µf. Kretsen är koppld till en växelspänningskäll med en rms-spänning på 120 V och frekvens 200 Hz. () Vd är kretsens impedns? (1) Kretsens impedns är Z = R 2 + (ωl 1/ωC) 2 som med värden instt blir 15,8 Ω (b) Vd är rms-spänningen över motståndet? (1) Rms-spänningen över motståndet är V rms,r = RI rms där I rms = V rms /Z. Med värden instt får vi V rms,r = 114 V. (c) Vd är rms-spänningen över spolen? (1) Rms-spänningen över spolen är V rms,l = X L I rms = ωli rms = 239 V. (d) Vd är spänningens mplitud över kondenstorn? (1) Spänningens mplitud över kondenstorn är V C = 2V rms,c = 2X C I rms = 2I rms /ωc = 285 V. 2. En olddd kondenstor på 30,0 µf är koppld i serie med ett motstånd på 25,0 Ω, en öppen strömbrytre och ett btteri, se figur 1. Btteriet hr en intern resistns på 10,0 Ω och spänningen över btteriet då strömbrytren är öppen är 50,0 V. Kblrn i kretsen hr försumbr resistns. Vid tiden t = 0 stängs strömbrytren. () Vd blir den mximl strömmen genom motståndet och när uppnås den? Motiver ditt svr! (1) Precis när strömbrytren stängs uppträder kondenstorn som en kortslutning (inget spänningsfll över den). Den mximl strömmen blir då br beroende på motståndet i kretsen och spänningen, I 0 = V/R tot = 50,0/(25,0 + 10,0) = 1,43 A. (b) Hur mycket lddning finns det på kondenstorn då strömmen i kretsen är 0,850 A? (1) Lddningen på kondenstorn är proportionell mot strömmen som går till kondenstorn. Strömmen kommer vt exponentiellt enligt i = I 0 exp( t/rc), där I 0 är mxströmmen. Lddningen på kondenstorn ökr exponentiellt enligt q = Q f [1 exp( t/rc)], där Q f är den mximl lddningen på kondenstorn, som ges v Q f = CV. Löser mn ut tiden då strömmen är 0,850 A och sätter in den i uttrycket för lddningen q får mn q = 608 µc. (c) Kondenstorn är en plttkondenstor med plttvståndet 0,5 mm. Ett dielektriskt mteril med dielektricitetskonstnten 7,0 fyller utrymmet melln plttorn. Vd är det elektrisk fältet i det dielektrisk mterilet när lddningen är som störst på kondenstorn? (2) Det elektrisk fältet i en plttkondenstor kn nses vr homogent. Då spänningen över kondenstorn är V = 50,0 V då kondenstorn är fullt lddd kommer fältet i dielektrikt vr E = V/dɛ r = 50,0/0, ,0 = 14, V/m. Tentmen ellär (92FY21 och 27) 31 mj 2013 Sid 1 v 5

3 SW C R Figur 1: Kretsen i uppgift En lfprtikel rör sig med en hstighet v 5, m/s i en riktning vinkelrät mot ett mgnetiskt fält som hr styrkn 0,040 T. Alfprtikelns lddning är 3, C och dess mss är 6, kg. () Vilken rdie kommer lfprtikelns bn tt h? (3) Rdien R bestäms v lfprtikelns hstighet, mss och lddning, smt mgnetfältets storlek enligt R = mv/ q B, då hstigheten och mgnetfältets riktning är vinkelrät. Sätts de ngivn värden in fås 0,26 m. (b) Hur lång tid tr det för lfprtikeln tt gå ett vrv runt dess bn? (1) Tiden ett vrv tr beror på frten och rdien. Då krften på prtikeln är vinkelrät mot rörelsen uträtts inget rbete och frten är konstnt. Tiden blir då t = R/v = 3,2 µs 4. Två lång prllell trådr för strömmr på 10 A i motstt riktning. De är seprerde med 40 cm. Vd är storleken på mgnetfältet i trådrns pln i en punkt som ligger 20 cm från en tråd och 60 cm från den ndr? (4) Mgnetfältets storlek på vståndet r från en lång rk ledre som för strömmen I är B = µ 0 I/r. Då ledrn för ström i motstt riktning i förhållnde till vrndr kommer mgnetfältet från de två ledrn i den sökt punkten vr riktde åt motstt håll (in och ut ur plnet). Summn v mgnetfälten ger mgnetfältets storlek i punkten, enligt superpositionsprincipen. Vi hr B 1 + B 2 = µ 0 I ( 1 r 1 1 r 2 ) = 6,7 µt. 5. En proton släpps från vil 5,0 cm från en lång, rk, mycket tunn lednde tråd som hr en lddning på +5,50 µc per meter. () Härled ett uttryck för det elektrisk fältet i ll punkter i rummet runt ledren. (2) Tråden nts ligg utefter x-xeln och dels upp i små segment dx med lddning dq. Tråden går från x = till x =. Det elektrisk fältet från dq på ett vstånd R utefter y-xeln är de = dq 4πɛ 0 R 2 ˆR. Tentmen ellär (92FY21 och 27) 31 mj 2013 Sid 2 v 5

4 dq måste ju vr lddningen per meter, λ, gånger det lill segmentet dx, dq = λdx. Då ˆR = R/ R och R = r r, där r är positionsvektorn för fältpunkten och r är positionsvektorn för källpunkten, får vi de = λ [ ] ydx 4πɛ 0 (x 2 + y 2 ) 3/2 ŷ xdx (x 2 + y 2 ˆx. ) 3/2 Dett integrers därefter utefter trådens längd från x = till x = för tt få det totl fältet i punkten på y-xeln. Vi ser tt ˆx-delen kommer tt försvinn när vi integrerr över intervllet, så kvr blir E = λ ( ) 2 4πɛ 0 y( 2 + y 2 ) 1/2 ŷ. Då tråden är mycket lång hr vi tt, så E = λ ɛ 0 yŷ, vilket är fältet i ll punkter runt den lång tråden på grund v symmetri. (b) Hur långt från ledren kommer protonen h fått en hstighet på 2550 km/s? Protonens mss m p = 1, kg. (2) Protonen får kinetisk energi E kin på grund v tt den tppr elektrisk potentiell energi U. Vi måste h tt E kin = U då energin bevrs. U = qv b och V b = Om vi stoppr in E-fältet från () får vi b b E dl = Edy. V b = λ ɛ 0 b dy y = λ ln b ɛ 0. U = λ ɛ 0 ln b, så E kin = U ger, om mn löser ut b som efterfrågs, b = exp 1 2 mv2 ɛ 0 qλ Sätter mn in givn värden fås tt b = 7,0 cm från ledren.. 6. En rektngulär sling ligger bredvid en lång rk ledre som för strömmen I l = 10,0 A (se figur). Den lång rk ledren är prllell till rektngelns sidor och ligger i smm pln som rektngeln. Rektngeln hr sidorn 1,0 m och 2,0 m och den ligger till en börjn 0,10 m från den lång ledren. Plötsligt börjr rektngeln rör sig åt höger med en hstighet v v = 50,0 m/s (nt tt den får konstnt hstighet ögonblickligen). Med vilken krft måste rektngeln drs för tt den sk håll konstnt hstighet då dess vänstr sid befinner sig 1,0 m från den lång ledren (bortse från luftmotstånd)? Rektngeln är gjord v en tunn tråd med resistnsen 0,10 Ω/m. (4) Denn uppgift kn löss på två sätt. Här är det en. Tentmen ellär (92FY21 och 27) 31 mj 2013 Sid 3 v 5

5 1,0 m Il 2,0 m v 1,0 m Figur 2: Rektngel bredvid lång rk ledre. Mgnituden på mgnetfältet från ledren som för strömmen I l på vståndet r är B = µ 0I l r. Då rektngeln rör sig i förhållnde till ledren kommer det mgnetisk flödet Φ b genom ren S som rektngeln omsluter tt ändrs. Enligt E = dφ B dt kommer en emk tt uppstå i rektngeln, vilken ger upphov till en ström i rektngelns tråd. En ström i en ledre i ett mgnetfält kommer tt påverks v en krft enligt F = BIl, där l är ledrens längd som ligger vinkelrätt mot hstighet och mgnetfält. Denn krft måste övervinns för tt rektngeln sk kunn håll konstnt frt. Vi söker lltså emk:n för tt räkn ut strömmen för tt kunn få frm krften på rektngeln. Om vståndet melln ledren och rektngelns vänstr sid beteckns, rektngelns kortsid p och långsid l får vi flödet genom rektngeln som Φ B = S BdA = lµ 0I l +p 1 r dr = lµ 0I l ln + p. Vi kn nvänd sklärer för mgnetfält och ytnorml, eftersom rektngeln och ledren befinner sig i smm pln och mgnetfältet därför är vinkelrätt mot rektngelytn. För tt få emk:n måste vi deriver flödet med vseende på tiden. Det end som vrierr med tiden i uttrycket för flödet är, så vi får Men d dt = v, rektngelns frt. Så E = dφ B dt E = lµ 0I l = lµ 0I l p d ( + p) dt. p ( + p) v. Strömmen I som går i rektngeln beror nu på motståndet R. Vi hr givet en resistns per meter, vilket ger oss det totl motståndet i tråden om vi multiplicerr med längden 2(l+ p), R = 0,1 6,0 = 0,6 Ω, I = E R = lµ 0I l p R ( + p) v. Rektngeln hr två sidor, långsidorn, som är vinkelrät mot hstigheten och mgnetfältet och båd kommer lltså utsätts för en krft. Men mgnetfältet är olik stort vid de två långsidorn, så nettokrften blir skillnden melln de två krftern, eftersom strömmen går åt olik håll i vänster och höger sid. Vi får F net = Il[B() B( + p)] = l2 µ 2 0 I2 l 4π 2 R ( p 1 ( + p) v 1 ). + p Tentmen ellär (92FY21 och 27) 31 mj 2013 Sid 4 v 5

6 Med värden instt, med = 1,0 m och v = 50,0 m/s, får vi tt krften som måste påverk rektngeln för tt den sk håll konstnt frt är F net = 3, N. Tentmen ellär (92FY21 och 27) 31 mj 2013 Sid 5 v 5