23 mars 2006, kl Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p."

Rasmus Andersson
för 8 år sedan
Visningar:

1 HH / Georgi Tchilikov GEOMETRI och LINJÄR ALGEBRA, 5p. 3 mrs 6, kl Ing hjälpmedel, förutom skrivmteriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd v mx. 35p. Om ej nnt säges, gäller tt ll koordinter är givn reltivt ett HON-system.. För en godtycklig tringel ABC, låta,b,c beteckn mittpunktern på sidorn BC, CA resp. AB. Vis tt AA + BB + CC. Låt beteckn linjen (x, y, z) (, 3, ) + t (,, ), mednπ står för plnet x +y +3z 5. () Vis tt är prllell med Π. (b) Beräkn vståndet melln och Π. (p) I()och(b)fick du utgå ifrån tt ekvtionern beskrev och Π reltivt ett HON-system. Antg nu tt koordintsystemet är snedvinkligt och du hr ingen informtion om vinklrn. (c) Är säkert prllell med Π även då? Om j, duger din motivering i () eller behöver den modifiers (och i så fll hur)? (d) Står sig din uträkningr i (b)? 3. Låt nu vr skärningslinjen melln plnen x 3y z och 3x 8y 4z 5, medn Π är plnet x +4y + z. Beräkn vinkeln melln och Π. 4. Beräkn vståndet melln z-xeln och den rät linje som går genom punktern (,, ) och (, 3, 4). (p) (p) 5. Antg tt A och B är givn n n-mtriser (I betecknr som vnligt enhetsmtrisen) och du söker en n n-mtris X sådn tt ) AXB +AX I b) AXB +BX I Till ditt förfognde hr du ett dtorprogrm med vilket mtrisinverser lätt kn beräkns. För (i ll fll) en v de två ovnstående ekvtionern är det möjligt tt uttryck lösningen med hjälp v viss mtrisinverser, förutstt tt dess existerr gör det! V.G.V.

Låt beteckn linjen (x, y, z) (, 3, ) + t (,, ), mednπ står för plnet x +y +3z 5. () Vis tt är prllell med Π. (b) Beräkn vståndet melln och Π.

2 6. En hndbok för ingenjörer och ndr mtemtiknvändre påstår tt ortogonl projektion på ett pln x + by + cz representers v mtrisen b + c b c P + b + c b + c bc c bc + b Hur kn mn få frm dett resultt? 7. ) För vilk värden på utgör vektorern (,,, ), (,,, ), (,,,) och (,,,) en bs för R 4? b) Vd betyder det tt vektorern utgör en bs? (p) 8. Om den kvdrtisk mtrisen A vet mn tt ekvtionssystemet Ax x hr endst lösningen x. Förklr vrför mn v det kn dr slutstsen tt ekvtionssystemet Ax x + y (y givet, x obeknt) är lösbrt för ll y. 9. Hitt en bs för R i vilken följnde vbildning ges v en digonlmtris : µ µ µ y 3 x 6 y x Ange också digonlmtrisen. SLUT!

b) Vd betyder det tt vektorern utgör en bs? (p) 8. Om den kvdrtisk mtrisen A vet mn tt ekvtionssystemet Ax x hr endst lösningen x.

3 GT LINJÄR ALGEBRA, 633 LÖSNINGAR. Mittpunktsformeln ger AA BB CC ³ AB + AC ³ BA + BC ³ CA + CB Addition ger nu påståendet, eftersom AB + BA AC + CA BC + CB "Råräkningslterntivet": Bestäm dig för en bs (två st. icke-prllell vektorer), t.ex. AB och AC, och uttryck ll inblndde vektorer som lin.komb. v dess : AA AB + BC ³ AB + AC AB...Etc.. ) Norml till Π är (,, 3) och linjens riktningsvektor (,, ) är vinkelrät mot denn : (,, 3) (,, ) + 3 Alterntiv: Hur mång v :s punkter ligger i Π? ( är prllell med Π dåå de inte hr någon punkt gemensm) x +t y 3+t z t x +y +3z 5 ( + t)+(3+t)+3( t) 5 5 Ing lösningr! b) Det sökt vståndet är lik med vståndet till Π från en vlfri punkt på. Sprr, sid förklrr vrför vståndet från (x,y,z ) till x + by + cz d är x + by + cz d + b + c I vårt fll fås ( + t)+(3+t)+3( t) c) J, är prllell med Π, ovsett om koordintsystemet är ON eller inte. Resonemnget med normlvektor och sklärprodukt är korrekt endst i ON-fllet, men ger rätt svr även llmänt, i och med tt frågn kn reducers till en undersökning v ett ekvtionssystem så som den lterntiv lösningen visr och ett ekvtionssystems lösningsmängd beror inte på om de obeknt är koordinter reltivt ett ON- eller icke-on-system. d) Nej, utn informtion om vinklrn melln koordintxlrn (och grderingrn längs xlrn) går det inte tt bestämm vstånd ur punkters koordinter enbrt! 3. Punktern på fås som lösningrn till ett ekv.system: ½ x 3y z 3x 8y 4z 5 ½ x 3y z y z 5 x 5+4t y 5+t z t Vinkeln melln linjens riktningsvektor (4,, ) och plnets norml (, 4, ) är rccos (4,, ) (, 4, ) rccos 6 Vinkeln melln linjen och plnet är lltså Riktningsvektorer för linjern är u (,, ) v (,, 3) En gemensm norml till dem är e x e y e z n (,, ) 3 Låt A och B vr punkter från vr sin linje, t.ex. A : (,, ) B : (,, ) Detsöktvståndetär längden v projektionen v AB på riktningen n : AB n n n n AB n n + 5 3

icke-prllell vektorer), t.ex. AB och AC, och uttryck ll inblndde vektorer som lin.komb. v dess : AA AB + BC ³ AB + AC AB...Etc.

4 5. Ur ekvtion ) kn X löss ut : AXB +AX I AXB + AX (I) I AX (B +I) I A AX (B +I) A I X (B +I) A X (B +I)(B +I) A (B +I) X A (B +I) (Ekv. b) kn nog inte omforms på liknnde sätt.) 6. Vektorn (x, y, z).s komposnt prllellt med plnets norml (, b, c), i en uppdelning i två vinkelrät komposnter, fås med projektionsformeln (x, y, z) (, b, c) b (, b, c) (, b, c) c x + by + cz b + b + c c + b + c x + by + cz bx + b y + bcz cx + bcy + c z Projektionen på plnet är den ndr komposnten x y x + by + cz bx + b y + bcz z + b + c cx + bcy + c z + b + c x x + by + cz + b + c + b + c y bx + b y + bcz + b + c z cx + bcy + c z + b + c b + c x by cz + c y bx bcz + b z cx bcy 7. ) Ett sätt : Undersök den determinnt som hr vektorerns koordinter som kolonner (eller rder) Teorin säger tt vektorern utgör en bs dåå detterminnten är 6. Med rdopertioner skff nollorisistkolonnen: Utveckl efter sist kolonnen : + + Bryt ut ( ) från vrje rd : ( ) 3 + Skff en noll till på först rden ( ) för tt sedn utveckl efter den : ( ) 3 + ( ) 3 ( + + ) ( ) 3 ( +3) Alltså utgör vektorern en bs dåå som med mtrismultipliktion kn skrivs b + c b c b + c bc + b + c c bc + b x y z 6 och 6 3 Ett nnt sätt, som leder till liknnde men nog litet klumpigre räkningr, vore tt nvänd sig utv n vektorer utgör en bs för R n vektorern är linjärt oberoende Alltså undersök för vilk systemet x +x +x 3 +x 4 hr endst den trivil lösningen. V.G.V. 4

cz bx + b y + bcz cx + bcy + c z Projektionen på plnet är den ndr komposnten x y x + by + cz bx + b y + bcz z + b + c cx + bcy + c z + b + c x x + by + cz + b + c + b + c y bx + b y + bcz + b + c z

5 b) Vrje vektor y R 4 kn skrivs som en linjärkombintion v de fyr vektorern, och det med entydigt bestämd koefficienter, d.v.s. för vrje fyrtipel (y,y,y 3,y 4 ) v reell tl finns en och endst en fyrtipel reell tl (x,x,x 3,x 4 ) sådn tt y y y 3 y 4 x +x +x 3 8. Skriv ekvtionssystemen på "stndrdform" med de obeknt i vänsterleden : Ax x Ax x (A I) x +x 4 9. Avbildningen F ges v digonlmtrisen µ λ λ omm µ µ vbilds på vbilds på µ λ µ λ λ µ λ µ d.v.s. om bsvektorern är egenvektorer (med egenvärden λ reps. λ ). Egenvärden är lösningrn till λ 3 6 λ ( λ)(6 λ) 6 λ 7λ (λ 7) λ Ax x + y (A I) x y så syns tt impliktionen som vi sk förklr (A I) x hr endst den trivil lösningen (A I) x y är lösbrt för ll y är en delen v ekvivlensen för kvdrtisk mtriser A Ax hr endst den trivil lösningen m Ax y är lösbrt för ll y som Sprr formulerr på sid.7, återupprepr på sid., men bevisr egentligen redn i vsn. 6.3, fst med A I iställetföra. Egenvektorer med egenvärdet 7: ½ ( 7) x +3x x +(6 7) x x x (x,x )t (, ), t 6 Egenvektorer med egenvärdet : ½ ( ) x +3x x +(6 ) x x +3x (x,x )t ( 3, ), t 6 Tr mn lltså (, ) och ( 3, ) som bsvektorer, eller med ndr ord gör vribelbytet µ µ µ x 3 x x x µ µ µ y 3 y y y så övergår reltionen melln x och y i µ µ µ y 7 x y x Den omtlde digonlmtrisen är µ 7 Om mn tr bsvektorern i omvänd ordning, får mn digonlmtrisen µ 7 5

λ ). Egenvärden är lösningrn till λ 3 6 λ ( λ)(6 λ) 6 λ 7λ (λ 7) λ Ax x + y (A I) x y så syns tt impliktionen som vi sk förklr (A I) x hr endst den trivil lösningen (A I) x y är lösbrt för ll y är en

Relevanta dokument

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,