Samling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018

Transkript

1 Smling v bevis som krävs på tentn MVE5, 8 Meelväresstsen för integrler. Det är Theorem, på si. i Ams. Lecture, si. -8 Om f är en kontinuerlig funktion på intervllet [; b], så nns et en punkt c [; b] sån tt f(x)x = (b )f(c) Beviset till Meelväresstsen för integrler. Det tt funktionen f är kontinuerlig på ett begränst slutet intervl mefär tt en ntr sitt mximl väre mx x[;b] f(x) = M = f(u) och miniml väret min x[;b] f(x) = m = f(l) i någr munkter u och l ur [; b] så tt m = f(l) f(x) f(u) = M () för ll x på [; b]: En v egenskper hos bestäm integrlen meför tt om för två kontinuerlig funktioner g och p gäller tt g(x) p(x) för ll x [; b] så måste g(x)x Vi tillämpr en egenskp till olikheten () och får m(b ) = mx Del vänster och höger v en olikheten me (b f(x)x p(x)x ) och få Mx = M(b ) m = f(l) f(x)x f(u) = M b R b Vi observerr nu tt tlet f(x)x ligger melln två vären f(l) och f(u) v kontinuerlig funktionen f på ett intervll. Enligt stsen om mellnliggne vären v kontinuerlig b funktioner måste nns en punkt c melln punktern l och u sån tt f(c) är lik me ett mellnliggne tlet: f(c) = f(x)x b Sist reltionen meför efter multipliktion me (b ) påståenet i stsen: (b )f(c) = f(x)x De nition. Väret f = f(x)x b klls meelväret v funktionen f på intervllet [; b]. Vi formulerr igen och ger bevis till

2 Integrlklkylens huvusts, eller Newton-Leibnitz stsen. (Theorem 5, si. i Ams) Lecture, si Låt f vr en kontinuerlig funktion på ett intervll I som innehåller en punkt Del. Låt F vr en funktion e nier på I me F (x) = Z x f(s)s () Då är F en eriverbr funktion på I och tt ess erivt i punkten x är lik me f(x) - väret v funktionen uner integrlen i punkten x: F (x) = f(x) () x Del. Låt G vre en vilken primitiv funktion som helst till f så tt G(x) = f(x) på I. x Då gäller f(x)x = F (b) F () () för ll b I. Bevis till Integrlklkylens huvusts, eller Newton-Leibnitz stsen. Vi bevisr först Del och nväner erivtns e nition först och Meelväresstsen för integrler sen. lim h! h Z x+h x F (x + h) F (x) F (x) = lim x h! h Z x+h = lim f(x)x h! h f(x)x = lim (h f(c)) h! h = Z x f(x)x = Där c = c(h) är en punkt som ligger melln x och x + h, och är beroene v h. Observerr tt h i täljren och nämnren kncellerr. Lägg märke till tt lim h! c(h) = x enligt "stsen om två polismännen". Dess två observtioner och et tt f är kontinuerlig leer till slutstsen: Vi bevisr nu Del i stsen. F (x) = lim f(c(h)) = f(x) x h! Det tt xg(x) = f(x) = xf (x) meför tt F (x) = G(x) + C för någon konstnt C; eftersom funktionen F (x) G(x) hr erivtn noll och måste vr konstnt. Dett meför tt Z x f(s)s = F (x) = G(x) + C

3 Me tt sätt x = i formeln för integrlen får vi = G() + C och C = x = b och får f(s)s = G(b) + C = G(b) G() G(). Sätt nu Vribelsubstitution i bestäm integrl. Sts, si.. _ si. - Lecture Låt g vr eriverbr funktion me kontinuerlig erivtn och låt f vr en kontinuerlig funktion på väresmängen v g (et är mängen V v ll tl u på formen u = g(x) me x [; b]). Då f(g(x)g (x)x = Z g(b) I fll vi kn en primitiv funktion F till f, kn svret skrivs explicit: g() f(u)u (5) f(g(x)g (x)x = F (g(b)) F (g()) () Bevis. Låt F vr primitiv funktion (obestäm integrl) till f : F (u) = f(u) för ll u V. Kejeregeln meför tt x F (g(x)) = f(g(x)) g (x) Integrtionen v vänsterleet och högerleet från till b meför f(g(x)) g (x)x = x F (g(x)) x = F (g(b)) F (g()) = Z g(b) g() f(u)u

4 Stsen om ekvivlent kriterier för existensen v lösningr för ll högerle. Sts.. i Ly, s. 5, bevis s. 5. Lecture _ si.. Näst sts ger ekvivlent kriterier för lösbrheten v ekvtionen Ax = b. Låt A vr en m n mtrix. Följne påståenen är ekvivlent,.v.s gäller eller inte gäller br smtiigt.. För vrje b R m nns en lösning till ekvtionen Ax = b. b. vrje b R m är linjär kombintion v kolonner i A c. Spnnet v kolonner ur A utgör hel R m ;eller Spn f ; ; :::; n g = R m.. mtrisen A hr ett pivot element i vrje r. Bevis - är en övning på tt komm ihåg Guss elimintion och e nitioner på linjär kombintion, spnnet och mtris-vektor proukt. Bevis Påståenen (), (b), (c) är ekvivlent enligt e nition v mtris vektor proukt, linjär kombintion och spnnet v vektorer. Det räcker å tt bevis tt. är ekvivlent me. Låt U vr trppstegsmtris som fås från A me hjälp v Guss elimintion. Trppstegsmtrisen som svrr mot utvige mtrisen [A; b] hr formen [U; ] me någon kolonn som är resultt v Guss elimintion tillämp på högerleet b i ursprunglig mtrisen [A; b]: [A; b] y Guss ::: y [U; ] I fll å () gäller och A hr en pivot position i vrje r, kn [U; ] se ut som följne mtris: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 5 ::: m Dett meför tt systemet hr någr lösningr för vrje högerle och () gäller. Om () är fel, så innehåller åtminstone sist ren i U br nollor. Det är eftersom mn yttr ll nollrer neråt vi Guss elimintion. Vi väljer ett högerle i trnsformere systemet Ux = me utvige trppstegsmtrisen [U; ] som hr i i sist ren: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 5 ::: I et fllet får vi ett system Ux = är sist ekvtionen som svrr sist ret i [U; ] är olösbrt: =. Ursprunglig systemet Ax = b är nturligtvist också olösbrt i et fllet eftersom e är ekvivlent. Dett visr tt () och () är ekvivlent: e gäller br smtiigt.

5 Beskrivningen v lösningr till inhomogen linjär system ekvtioner. Sts.5. i Ly, si.. Lecture _, si. - Låt ekvtionen Ax = b vr lösbrt för någon vektor b och vektor p vr en gotycklig prtikulär lösning. Då är lösningsmängen till en ekvtionen består v ll vektorer på formen w = p + v h är v h representerr ll lösningr till homogen ekvtionen Ax =. Bevis. (Exercise 5 i sektionen) Låt w vr en gotycklig lösning till Ax = b. De nier v h = w p. Två ekvtioner är uppfyl: Aw = b och Ap = b: Me tt subtrher em från vrnr observer tt A (w p) = och å Av h =. Det visr tt ll lösningr till ekvtionen Ax = b hr formen w = p + v h är p är en gotycklig prtikulär lösning till Ax = b och v h är en lösning till homogen ekvtionen Ax = : Vi hr vist tt vilken som helst lösning w kn representers som summn w = p + v h ovn. Å nr sin, om vi tr en vektor som hr en formen: w = p + v h är p är en prtikulär lösning,.v.s. Ap = b och v h uppfyller linjär systemet Av h =; å måste w uppfyll inhomogen ekvtionen eftersom Aw = Ap + Av h = b + = b: Stsen om stnrtmtris till en linjär trnsformtion (vbilning) Sts.9., si. 88 i Ly, Lecture, si. -. Låt T vr en linjär trnsformtion (vbilning) från R n till R m ( T : R n! R m ). Då nns en unique mtris A sån tt vbilningen frmställs som mtristrnsformtion me en mtrisen: T (x) = Ax för ll x ur R n. Mtrisen A kn frmställs som m n mtris på formen A = [T (e ; e ; :::e n ; )] är e ; e ; :::e n är kolonnern i enhetsmtrisen I n v storlek nn som hr ettor på igonlen och nollo på ll nr pltser: e = ::: 5, e = ::: 5 ; :::; e n = ::: 5 Mtrisen A här klls stnrtmtrisen v linjär trnsformtionen T: Bevis. (kn krävs på tentn) Frmställ en gotycklig vektor x som x = x x ::: x n 5 = x ::: 5 + x = x e + x e + ::: + x n e n 5 ::: 5 + ::: + x n ::: 5

6 beräkn T (x) på et uttrycket och nvän T s linjäritet: T (x) = x T (e ) + x T (e ) + ::: + x n T (e n ) = = [T (e ) T (e ) :::T (e n )] x = Ax Vi hr bevist frmställningen v gotycklig linjär trnsformtionen T som mtristrnsformtion: T (x) = Ax. Entyigheten v stnrt mtrisen beviss me hjälp v följne observtion. Låt nns en nnn stnrt mtris B till smm trnsformtion. Vi skll vis tt A och B måste vr lik. För ll vektorer x ur R n gäller tt Ax = Bx Speciellt gäller ett för vektorer e ; e ; :::e n. Å nr sin är et lätt tt observer tt Ae j är kolonnen me nummer j i A:På smm sätt är Be j kolonnen me nummer j i B och Ae j = Be j för ll j = ; :::n;.v.s. ll kolonner i A och B är lik och å A = B. Stsen om lgebrisk regler för mtrisproukt (Ly Sts.., si. 5) Lecture, si.. Låt A vr en m n mtris och mtriser /B och C h storlekr sån tt proukter och summor i formler som följer är väle niere. ) A(BC) = (AB)C b) A(B + C) = AB + AC c) (B + C)A = BA + CA ) r(ab) = (ra)b = A(rB) e) I m A = A = AI n är r är ett gotyckligt tl, och I n är en kvrtisk n n mtris som hr på igonlen och ll nr elementen lik me noll. De nition. Kvrtisk mtris I n storlek n som hr egenskpen e) ovn klls enhetsmtris. Den hr ettor på igonlen och nollor på ll nr pltser. v Till exempel I = Bevis till Stsen.. 5 : Enst intressnt är beviset till ) (beviset kn krävs på tentn) Låt C = [c ; c ; :::; c p ]. De nitionen v mtrisproukten ger BC = [Bc ; Bc ; :::; Bc p ] A(BC) = [A (Bc ) ; A (Bc ) ; :::; A (Bc p )]

7 De nitionen på mtrisproukten meför tt A(Bx) ef = (AB)x. Dett tillämp till ll A (Bc ) ; A (Bc ) ; :::; A (Bc p ) ger ttel A(BC) = [(AB) c ; (AB) c ; :::; (AB) c p ] ef = (AB) C är sist likheten följer från e nitionen v mtrisproukt. Stsen om beräkningr me invers mtriser. Sts.., si. i Ly. Lecture 5_, si.. Låt A och B vr inverterbr mtris n n. Följne tre lgebrisk formler gäller ) A = A b) proukt AB v två inverterbr mtriser A och B är också inverterbr mtris och (AB) = B A Bevis till ett påståene kn krävs på tentn c) A T - trnspontmtris v en inverterbr mtris A är också inverterbr och A T = A T Bevis. till b) som kn krävs på tentn. Beräkn proukt v AB me "mistänkt inversen" B A (visr tt en är vänster invers) B A (AB) = B A A B = B (I) B = B B = I Beräkn proukt v AB me "mistänkt inversen" B A i motstt orningen (vis tt en är höger invers): (AB) B A = A BB A = A (I) A = AA = I

8 En mtris är inverterbr och om enst om en är rekvivlent me en enhetsmtris. Sts.., s. 5. i Ly som krävs me bevis på tentn. Lecture_5_, si. 8. Mtrisen A v storlek n n är inverterbr om och enst om en är rekvivlent me enhetsmtrisen (ientitetsmtrisen) v smm storlek. Bevis. Mn kn lär beviset me hjälp v elementär mtriser i Ly. Vi nger här en kortre bevis som inte nväner begreppet elementär mtriser. Om A är rekvivlent me en enhetsmtris, så hr systemet Ab = p en entyig lösning för vilket som helst högerle p R n. Följktligen hr mtrisekvtionen AB = I en entyig lösning, me kolonner i B som är entyig lösningr till ekvtioner Ab k = e k ; k = ; :::n: Mtrisen B är å högerinvers till A. Det är påståenet j) i Inversmtrisstsen. Vi skll vis tt ett meför inverterbrheten v A. Vårt resonemng är bsert på tiigre bevist egenskp tt A och A T är inverterbr br smtiigt. Betrkt trnspont v ekvtionen AB = I : (AB) T = I T Dett meför enligt regler för trnspont v proukt tt B T A T = I T = I: Det betyer tt B T är vänster invers till A T (!!!) Observer här tt vänsterinvers är mycket lämpligre än högerinvers. Det är lätt tt se tt vänsterinversen B T till A T måste smtiigt vr högerinvers till A T eftersom ekvtionen A T Q = I för högerinvers Q löses genom vänstermultipliktion me B T och hr en lösning Q = B T A T B T = I Så mtrisen A T är inverterbr och A T = B T : Men mtrisen A som är trnspont v A T och måste också vr inverterbr, och A = B enligt stsen om beräkningsregler för invers mtriser: Beviset åt motstt håll är mycket lättre. Om mtrisen A är inverterbr så hr ekvtionen Ax = p en entyig lösning x =A p för gotycklig högerle p. Det är möjligt br om mtrisen A är rekvivlent me enhetsmtrisen I enligt tiigre utveckl teori för linjär ekvtionssystem. 8

9 Huvustsen om igonliserbr mtriser. Sts 5..5., s. i Ly, Lecture, si.. Sts 5..5, si., i Ly. En kvrtisk n n mtris A är igonliserbr om och enst om () en hr n linjärt oberoene egenvektorer. I et fllet A = P DP är mtrisen P hr kolonner som är n linjärt oberoene egenvektorer till A och igonl mtrisen D me igonl element som är egenvären som svrr mot ess egenvektorer (i smm orning som i P ): Bevis. (krävs på tentn) Vi visr först impliktionen från höger till vänster (= : Låt fv ; v ; ; :::; v n g R n vr n linjärt oberoene egenvektorer till mtrisen A och f ; ; ::: n g vr motsvrne egenvären (knske en el multipl). Bygg en mtris P me kolonner som är ess vektorer: P = [v ; v ; ; :::; v n ] och en igonl mtris me egenvären f ; ; ::: n g på igonlen, i smm orning som egenvektorern som hör till em vr stt i mtrisen P. (Vi kn sätt em i vilken som helst orning) Egenvektorer stis err ekvtioner Av k = k v k, k = ; :::; n Vi kn skriv om ess ekvtioner som en mtrisekvtion [Av ; Av ; :::; Av n ] = [ v ; v ; :::; n v n ] som är enligt e nitionen v mtrisproukten är smm som AP = P D Låt oss vis tt verkligen P D = [ v ; v ; :::; n v n ] : Koll elementet c rk i proukten P D, som ligger i ren r och i kolonnen k. R-kolonn regeln för mtrisproukt säger tt c rk måste vr lik me summn v elementvis proukter v ren me nummer r ur P : [P r ; P r ; :::; P rn ] och kolonnen me nummer k ur D : [D k ; D k ; :::; D nk ] T. Observer tt [D k ; D k ; :::; D nk ] T hr br ett element som inte är noll: D kk = k. Dett meför tt c rk = k P rk för ll r = ; :::; n. Det betyer tt kolonnen me nummer k i P D är kolonnen me nummer k ur P, multiplicer me k. Det är exkt meningen me [ v ; v ; :::; n v n ]. Mtrisen P är inverterbr eftersom ess kolonner är linjärt oberoene. Vi multiplicerr sist ekvtionen från vänster me P och ser tt A är igonliserbr: P AP = D A = P DP 9

10 Impliktionen från vänster till höger =) följer från smm beräkning men genomför åt motstt håll. Låt mtrisen A vr igonliserbr: A = P DP och betekn lnjärt oberoene kolonner i P me fv ; v ; ; :::; v n g och igonlelementen i igonlmtrisen D me f ; ; ::: n g. Multiplicer ekvtionen A = P DP me P från höger: AP = P D som kn skrivs om me tt speci cier kolonner i mtriser AP och DP i sist ekvtionen: P D = P AP = [Av ; Av ; :::; Av n ] = ::: ::: ::: ::: ::: n 5 = [ v ; v ; :::; n v n ] Me tt ienti er ekvtioner för kolonner i ess mtriser ser vi tt Av k = k v k, k = ; :::; n och tt linjärt oberoene vektorer fv ; v ; ; :::; v n g är egenvektorer till mtrisen A me egenvären f ; ; ::: n g : Stsen om bs v ortogonl vektorer. Sts.., si. 5. (bevis krävs på tentn) Lecture, si. 5. Låt S = fu ; u ; :::u p g vr en ortogonl uppsättning vektorer skill från noll i R n. Den uppsättningen är linjärt oberoene och utgör en bs till spnnet Spn(u ; u ; :::u p ) v ess vektorer. Bevis. (bevis krävs på tentn) Betrkt en linjär kombintion v givn uppsättningen vektorer lik me noll: c u + c u + ::: + c p u p = Sklär proukt v en lijär kombintionen me en gotycklig vektor u k ur en uppsättningen är like me noll och c u u k + c u u k + :::c k u k u k + ::: + c p u p u k = All sklär proukter i en summn är noll förutom :u k u k = ku k k =. Dett meför tt c k ku k k = och c k = ; för ll k = ; :::; p och tt vektorer fu ; u ; :::u p g är linjärt oberoene per e nition.