EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER"

Sven-Erik Ek
för 5 år sedan
Visningar:

1 rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Defiitio. Egeektor och egeärde för e lijär bildig Låt V r ett ektorrum och T : V V e lijär bildig frå V till V. Om det fis e ollskild ektor och e sklär λ så tt T då klls bildiges egeektor och tlet λ klls egeärde till T. Obs: Nollektor godkäs lltså INTE som egeektor till ågo bildig. Däremot tlet k r ett egeärde till T. Dett ät fllet om T ds T för ågo ollskylld ektor. Geometrisk betydelse: Låt r e egeektor till bildige T. Då gäller ett följde tå fll:. T är prllell eller. T. märkig. Om m ser som i måg kursböcker tt är prllell med rje ektor då är fll red ikludert i fll. T x Exempel. Låt T r projektioe ektorer i R på lije L: t. Bestäm y geom geometriskt resoemg, ll egeärde och egeektorer. Beteck lijes riktigsektor. i För rje ektor som är prllell med ds med L är projektioe T ds T. Sid

2 rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR proj L Därmed är rje ollskild ektor som är prllell med e ege ektor för bildige T med tillhörde egeärde. ii Projektioe e ektor u på L är om och edst om u är ikelrät mot L. projl u E såd ektor är u eftersom sklärprodukt mell u riktigsektor är lik med. Därmed är T u. Smm gäller för rje ektor prllell med u. och lijes Därför är rje ollskild ektor som är prllell med u och därmed ikelrät mot e ege ektor för bildige T med tillhörde egeärde. iii Låt w r e ektor i R som är rke prllell med eller ikelrät mot. proj L w Bild w är rke prllell med w eller lik med. E såd ektor w är därför ite e egeektor till projektioe T. Sr: Projektioe T på lije x t hr följde egeärde: y Sid

3 rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR i med tillhörde egeektorer k, k för räks ite som egeektor och ii med tillhörde egeektorer s, s Låt ds T Frå * hr i m r bildiges mtris i ågo bs B ** Vi k därför defiier mtrises egeektor och motsrde egeärde på smm sätt som för e lijär bildig. Defiitio Egeektor och egeärde för e kdrtisk mtris Låt r e kdrtisk mtris ds e mtris typ. Om det fis e ollskild ektor och e sklär λ så tt ** då klls mtrises egeektor och tlet λ klls mtrises egeärde. märkig. Nollektor godkäs lltså INTE som egeektor till e kdrtisk mtris. Däremot tlet k r ett egeärde till. Dett ät fllet om ds för ågo ollskylld ektor. Eftersom oståede homoge system hr icke-triil lösigr om och edst det= hr i tt λ= är ett egeärde till om och edst om det =. Därför gäller följde ekiles: λ= är ett egeärde till det = är INTE ierterbr. Sts. Om är e egeektor till som srr mot egeärde λ, ds om då är u t där t är e sklär skild frå också e egeektor med smm egeärde. b Om u och är tå egeektorer som hör till egeärdet λ såd tt u så är u också e egeektor med smm egeärde. Beis: u t t t t u. lltså u u V.S.B. b u u u u. Frå och b följer tt e lijär kombitio egeektorer som hör till egeärdet λ är också e egeektor som hör till λ Sid

4 rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR Mägde ll egeektorer som hör till egeärdet λ tillsmms med ollektor klls egerum tillhörde λ och betecks E λ. Defiitio. Egerum E λ Låt λ r ett egeärde till mtrise typ Uderrummet E λ = ker-λi = { R : I } klls egerummet tillhörde λ.. lltså är E { } {Mägde ll egeektorer som hör till egeärde}. Vi k också säg tt {Mägde ll egeektorer som hör till egeärde} E \{}. Bestämig egeärde och egeektorer I år kurs, som stdrd, betrktr i reell ektorrum och därmed söker i reell egeärde λ För tt bestämm λ och skrier i om ** I eller x x m x *** Eftersom eligt defiitioe, söker i icke-triil lösigr, och de fis edst om eller m det I **** Efter utecklig determite får i ett polyom i ästersid oståede ektioe. polyomet det I klls det krkteristisk polyomet. Ektioe det I är efter utecklig determite e lgebrisk ektio grd. Ektioe det I klls för de krkteristisk ektioe eller, i ågr böcker, sekulrektio. Steg. Vi löser först de krkteristisk ektioe Sid 4

5 rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR det I EKV Och får eetuell reell egeärde. I år kurs betrktr i reell ektorrum och ccepterr edst reell egeärde Steg. För rje reell lösig λ k till EKV substituerr i λ=λ k i I EKV och bestämmer motsrde egeektor. Uppgift Bestäm ll egeärde, egerummet och egeektorer för följde mtriser: 4 b c d Lösig Vi löser följde tå ektioer : det I EKV och I EKV Steg. Först löser i de krkteristisk ektioe, det I EKV, och får eetuell reell egeärde: 4 4 Ektioe hr tå reell lösigr och och därför hr i tå egeärde,. Steg. Låt. För rje reell lösig λ k till EKV substituerr i λ=λ k i EKV, ds i följde ektio och bestämmer motsrde egeektorer. 4 i. Vi hr 4,, Vi får system som hr icke triil lösigr Sid

6 rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR Här ~, ä Vi äljer t ex som är egeektorer för t. Egerummet E t {, t R} =sp äe ollektor igår. ii På smm sätt får i för, tillhörde egeektorer är, t och egerummet E sp. Sr: Egeärdet med motsrde egeektorer, t och egerummet E sp. Egeärdet, med motsrde egeektor, t och egerummet E sp. b,, t och E sp. ;,, t och E sp. c Steg. det I ger. 4 Vi uteklr determite efter tredje rde: det I 4 4 [ ] 4 De krkteristisk ektioe 4 hr tre lösigr, som är mtrises egeärde. märkig: Om i utecklr determite på ett t sätt och föreklr då får i tredjegrdsektio λ 7 λ 4 λ Om det fis heltlslösigr till oståede ektio då är de delre till kostt terme. Vi testr heltlsfktorer till :, 4. Sid

7 rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR Tlet λ är e lösig kotroller själ och därför är polyomet λ 7 λ 4 λ delbrt med λ. Polyomdiisio ger λ 7 λ 4 λ /λ λ λ Ektioe λ λ ger tå lösigr till och ; 4. Steg. Låt. För rje egeärde λ k substituerr i λ=λ k i EKV, och bestämmer motsrde egeektor. Kotroller edståede sr. Sr c,, t,,, t, 4,, t, E E E sp ; sp. sp ; Sr d,, t,,, t,,, t, E E E sp ; sp. sp ; Sid 7

8 rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR Beräkig uttrycket, där är e ege ektor till. Uppgift. KS tg tt mtrise hr egeektor som srr mot egeärdet. Vis tt då också är egeektor till mtriser b I Bestäm motsrde egeärde i båd fll. Eligt tgde gäller = ek Vi multiplicerr ek med frå äster och får = = lltertit k i direkt beräk == === lltså, frå =, ser i tt också är e egeektor till som tillhör egeärdet. b I = += + = +, därför är e egeektor till I med tillhörde egeärdet +. Uppgift. tg tt mtrise hr egeektor som srr mot egeärdet. Vis tt då också är egeektor till mtriser b där =,,,,. c I Bestäm motsrde egeärde. Vi ersätter med λ i rje steg totlt tre gåge: = = = är e egeektor = λ = i skrier tlet λ i börj uttrycket = λ = = λλ =λ = λ Därmed, frå = λ, ser i tt också är e egeektor till med egeärdet. b På likde sätt hr i tt = λ och därmed är också är e egeektor till, där =,,,,. med egeärdet. c I = ++= ++ = ++. Därför är e egeektor till ++I med tillhörde egeärdet ++. märkig: Oståede egeskp för e egeektor ds = λ k äds för tt på ekelt sätt beräk x för e ektor x som k ges som e lijär kombitio mtrises egeektorer. Beräkig uttrycket x, där x är e lijär kombitio egeektorer till. Sid

9 rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR Uppgift 4. tg tt mtrise hr egeektorer och som srr mot egeärde respektie. Låt idre x =k + k. Bestäm x b 44 x x = k + k = k + k = k + k b 44 x = 44 k + k = k 44 + k = k + k Uppgift. tg tt mtrise hr egeektorer = och = = respektie =. Låt idre x =. K i med gie iformtio bestämm x? som srr mot egeärde Vi försöker uttryck x som e lijär kombitio egeektorer och : Frå + b = x får i = och b=. lltså x = +. Därför x = + = + = +. = + = - = 77 Sr: x = 77 Uppgift. Låt r e ierterbr mtris med egeektor som srr mot egeärdet. Vis tt är också egeektor till - och bestäm motsrde ege ärde. Beis. Eligt tgdet gäller =. Vi multiplicerr båd lede frå äster med - och får - = - = - del med - =. lltså är e ege ektor till - med motsrde egeärde märkig: Eftersom är ierterbr är.. Sid

10 rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR Sid Bestämig mtrise för gi egeektorer Iledig. Låt R R L : r e lijär bildig. Då är tillhörde mtris =[L] typ. Om bilder st. lijär oberoede ektorer då k i bestämm. Om y,, y * då k i skri V=Y ** där koloer i mtrise V är ektorer,, och koloer i Y är ektorer y y,,. Mtrise V är ierterbr eftersom,, är oberoede ektorer. Frå ** följer multiplicer frå höger med V tt =YV ***. Exempel. För e bildig : R R L gäller L och 4 L. Bestäm bildiges mtris. Låt beteck bildiges mtris. Då gäller och 4 som i k skri på forme V=Y ds som 4. Här multiplicer frå höger med V hr i =YV ds 4 4. Sr:. På smm sätt bestämmer i bildiges mtris om, bld gi ektorer, fis ågr egeektorer. Noter tt för e egeektor med egeärdet gäller. Uppgift 7. För e bildig : R R L gäller L. Vektor är e egeektor till L med tillhörde egeärde. Bestäm bildiges mtris. Vi hr L och L ds L. Låt beteck bildiges mtris. Då gäller och. Dett k skris som. Här multiplicer frå höger med ierse

11 rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR Sid Sr: Uppgift.Vektorer och är tå egeektorer till e bildig : R R L. Tillhörde egeärde är och. Bestäm bildiges mtris. Låt beteck bildiges mtris. Då gäller och. Dett k skris som. Här multiplicer frå höger med ierse Sr: Uppgift. Vektorer, och är tå egeektorer till e x mtris. Tillhörde egeärde är, och. Bestäm bildiges mtris. Vi hr,,. Dett k skris som Här Sr:

Relevanta dokument

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fktioer bildigr Beteckigr och grdbegrepp Defiitio E fktio eller bildig frå e mägd till e mägd B är e regel som till ågr elemet i ordr