1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:"

Frida Lindgren
för 7 år sedan
Visningar:

1 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr ll ekvioer i () Defiiio Mägde v ll löigr ill e ekvioem kll eme löigmägd Vi äger vå em är ekvivle om de hr mm löigmägd ANTAL LÖSNINGAR För e lijär ekvioem gäller preci e v följde leriv: Seme hr preci e löig Seme hr oädlig måg löigr Seme kr löig ( Seme är ikoie) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får gör följde elemeär operioer med ekvioer u ädr eme löigmägd: B pl på vå ekvioer Muliplicer e ekvio med e l Adder e mulipel v e ekvio ill e ekvio TOTALMATRIS När vi löer e lijär ekvioem () räkr vi ed med eme koefficieer Vi k kriv ll koefficieer i e ell om vi kllr eme olmri räk ed med mrie eleme Tolmri ill () m Om vi iför mrier m m m

2 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio A B m m m m då är olmrie (A B) Amärkig: Mrie A kll ekvioeme koefficiemri Iälle kriv hel ekvioer räkr vi med rder i olmrie Vi får gör följde elemeär rdoperioer u ädr eme löigmägd: B pl på vå rder Muliplicer e rd med e l Adder e mulipel v e rd ill e rd GAUSSELIMINATION ( Succeiv elimiio) Med hjälp v elemeär operioer överför vi eme ill e ekvivle em på rppegform (om är ekel ler eveuell lö) Vi rr med de för ekv i eme De för ekv väder vi för elimier i ll ekvioer föruom för ( Om fi ie i de för ekvioe dv om er vi pl med de ekvio där fi ) Efer för eg får vi följde ekvioem ' ' ' ' m ' ' ' m ' ' ' m ( ) Därefer väder vi dr ekvioe elimierr på mm ä frå ll dr föruom ekv ( dv vi elimierr frå ekv ekv m) De k häd är elimierd efer för eg frå ll ekvioer uom för då går vi direk ill All eveuell kriver vi läg ed i eme A vi får eder e ekvio är e lijär komiio v dr ekvioer därför k förumm A) Får vi ågo gåg e ekvio v p där ( e ) hr eme INGEN LÖSNING (Självklr ehöver vi i de fll ie gör fler räkeoperioer)

3 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio B) Om flle A ie förekommer är eme lör Vi foräer ill vi får eme på rpegform: ' ' ' k k ' ' eveuell ' ' läg ed i eme Då löer vi u de ledde vriler All dr om de fi ågr föruom ledde vrierr fri (fri vriler) Vi hr följde vå fll för (koie) lör em: B PRECIS EN LÖSNING om eme är koie (lör) me hr ig fri vriler B OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om eme är koie (lör) hr mi e fri vriler Amärkig: Vi iför e prmeer för vriel om vrierr fri Vi k uför Guelimiio med hjälp v eme olmri geom överför olmri ill rppegform Eempel på rppegform: 8 E olmri hr rppegform om Eveuell ollrder är läg ed E e (ledde e) är de för icke-oll eleme i vrje rd om ie eår er v ollor De ledde eor år lägre ill höger ju lägre ed vi läer - Ledde eor vrr mo ledde vriler om de år i för dele v olmrie - Vi iför e prmeer för vrje vriel om ie hr ledde e ( för vrje vriel om vrierr fri) A) INGEN LÖSNING om e ledde e år i dr dele v olmrie på rppegform

4 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio Eempel för ige löig olmrie ) Movrde em: (e ledde e i dr dele v B) Om flle A ie förekommer då är eme lör: B PRECIS EN LÖSNING om eme är koie (lör) me ig fri vriler 9 8 Eempel för preci e löig re ledde eor re vriler (ig fri vriler) Lägg märke ill e ollrd ie eder uomik oädlig måg löigr u e ekvio är e lijär komiio v dr!!! Movrde em: 9 8 (Amärkig Vi upprepr i ekvioe eder e ekvio är e lijär komiio v dr ekvioer därför k förumm) B OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om eme är koie (lör) mi e fri vriler 9 8 Eempel för oädlig måg löigr vriler (e fri vriel) Movrde em: vå ledde eor re 9 8 EXEMPEL ) Lö eme

5 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio 9 ) Age eme löigmägd Löig: ) ( ) ( 9 ekv ek ekv ek Vi hr få rppeg form löer u de ledde vriler Vi örjr frå de i ekvioe: dv Preci e löig: ( dv ig fri vriler) Löigmägde eår v preci e puk () Vi k äve kriv löigmägde {()} Svr: ) Preci e löig: ( dv ig fri vriler) ) Löigmägde {()} Löig med hjälp v eme olmri: 9 ~ ) ( ) ( rd rd rd rd rppegform När vi får rppegform kriver vi movrdeekvio em Härv Svr: ) Preci e löig: ( dv ig fri vriler) ) Löigmägde {()} ) Lö eme ) Age eme löigmägd Löig:

6 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio Svr: Seme hr ige löig Löig med hjälp v eme olmri: ~ (rppegform) Ige löig eferom e ledde e fi i dr dele v olmrie Svr: ) Seme hr ige löig ) Löigmägde (" de omm mägde") ) Lö eme 8 ) Age eme löigmägd Löig: 8 Svr: Oädlig måg löigr: där är godcklig l Vi k eeck ekriv löige med hjälp v vå prmerr: där är godcklig l Löig med hjälp v eme olmri: 8 ~ ( rppegform) Lör em ( ige ledde e i dr dele) E ledde e me re vriler Vi k lö u e vriel ( ledde ) Två dr vrierr fri Oädlig måg löigr: Movrde em på rppegform där är godcklig l Vi k eeck ekriv löige med hjälp v vå prmerr: där är godcklig l Svr: ) Oädlig måg löigr:

7 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio ) Löigmägde är mägde v ll puker ) ( där är (vilk om hel) reell l Vi k formell kriv löigmägde { R ) : ( } Lö följde em med veede på ) ) c) Löig: ) Ige löig Svr ) Ige löig ) Svr ) Ek e löig c) där är e godcklig l ( oädlig måg löigr) Svr c) Oädlig måg löigr Lö följde em med veede på ) ) Löig: ) Svr )

8 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR 8 v Lijär ekvioem Guelimiio ) Svr ) Ige löig Ige löig Lö följde em med veede på för ll värde på prmerr Löig: ( ) Vi hr följde fll: A) Seme hr ek e löig: B) dv Seme hr följde form: där Allå kr eme löig i de fll B) dv Seme hr följde form: Vi löer u frå de för ekvioe får: där är e godcklig l (oädlig måg löigr) eller Svr : A) Seme hr ek e löig: B) Seme hr INGEN löig B) Seme hr oädlig måg löigr: där ä e godcklig l 8

9 9 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio Lö följde em med veede på för ll värde på prmerr Löig: ) ( ) ( Vi hr följde fll: A) Seme hr ek e löig: B) dv Seme hr följde form: där Allå kr eme löig i de fll B) dv Seme hr följde form: Vi löer u ledde vriler får: där är e godcklig l (oädlig måg löigr) eller där är e godcklig l Svr : A) Seme hr ek e löig: B) Seme hr INGEN löig B) Seme hr oädlig måg löigr: 9

10 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio där ä e godcklig l SKÄRNINGSPUNKTER MELLAN GEOMETRISKA PUNKTMÄNGDER ( LINJER OCH PLAN) 8 Beäm eveuell kärigpuker mell lije L: lije L: Löig: E puk P ligger på L om de fi e prmeervärde å Smm puk P ligger på L om de fi e prmeervärde å Oerver vi måe h olik eeckigr på prmerr eferom e kärigpuk k vr mo kild prmeervärde För fi eveuell kärigpuker löer vi dv Härv om gör e kärigpuk Aleriv

11 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio Svr: E kärigpuk 9 Beäm eveuell kärigpuker mell lije L om går geom puker A () B() lije L om går geom puker C() D() Löig: AB är e rikigvekor för lije L om därmed hr ekvioe eller L: (*) På mm ä får vi ekvioe för L: eller L: (**) Lijer (*) (**) kär vrdr om de fi åd De gör eme Ige löig Seme kr löig med dr ord L L hr ige gemem puk Beäm eveuell kärigpuker mell följde vå pl ) ) c) Löig: ) Vi löer eme

12 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem Guelimiio Sme kr löig Ige kärigpuk (De vå ple är prllell) ) Två ledde vriler m e fri vriel Vi eeckr får Oädlig måg löigr Löigmägde iehåller e prmeer Skärigpuker ildr rä lije c) De är upper åd ekvioe ekriver mm pl (eferom ekv är * ekv) Amärkig: Om vi löer eme om ger (vå fri vriel) får vi mm pl på prmeerforme Svr: ) Ige kärigpuk ) Skärigpuker ildr rä lije c) De vå pl mmfller Beäm eveuell gememm puker för följde re pl: ) ) c) Svr: ) Ig gememm puker (för ll re pl) ) Puke ( ) ligger i ll re pl c) Gememm puker är ll puker på lije

Relevanta dokument

(sys1) Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd.

(sys1) Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd. Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () och m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr