============================================================ ============================================================

Transkript

1 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. AREABERÄKNING Lå D vr e pl område mell e oiuerlig urv y f (), där f ( ), och -el som defiiers med, y f ( ), dvs D {(, y) :, y f ( )} Då gäller: Are( D) f ( ) d (F) Lå D vr e pl område mell vå oiuerlig urvor som defiiers med, g( ) y f ( ). Då gäller: Are( D) [ f ( ) g( )] d (F) Om område D defiiers v c y d, f ( y) då vi y roll för och y och iegrer på y. d då lir re(d ) c f ( y) dy Om område D defiiers v c y d, g( y) f ( y) då lir re(d ) [ f ( y) g( y)] dy d c v

2 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler ÖVNINGAR Uppgif. Förlr formel re( D) f ( ) d (F) där D {(, y) :, y f ( )} och y f () e oiuerlig ice-egiv fuio. Lösig: Med rä lijer delr vi D i delområde D. Då lir re( D) re( ). D Lå m och M vr fuioes mis och sörs värde i de slu iervlle [, + ] och Δ +. Vi upps re D ) med hjälp v vå reglr: ( mδ re( D ) M Δ. Därför hel re( D) re( D ) D m M uppss med + + m Δ re( D) M Δ (*) dvs med e uder- och e över-riemsumm som hör ill iegrle f ( ) d. Elig gde är f () e oiuerlig fuio och därmed eiserr iegrle. Därför, om m( ) ( och därmed ) går åd Riemsummor i (*) mo iegrle dvs Δ f ( ) d och vi får frå (*): f ( ) d re( D) f ( ) d re ( D) f ( ) d vd sulle viss. Amärig. På lide sä härleder m ovsåede formel (F). v

3 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler Uppgif. Berä re v de områdee som egräss v ) y, och y ) y ( dvs -el), y rc, och c) y ( dvs -el), y si, och 3 d) y 5 ochh y 8 Lösig: ) Förs esämmerr vi särigspuer: å 4 4, 4 ( Am: Vi susiuer i åd fuioer för oll vile fuio är sörre i iervlle [,4] ) Are / 4 Svr ) ) Are rc De oesämd iegrle rc erär vi med hjälp v priell iegrio: u rc v' u' + + v rc ( )d rc rc rc l. Därför rc rc l l 3 v

4 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler Svr ) l c) Are si( ) d [ coss ] d) Vi eecr f ( ) 3 55 och g ( ) 8 Särigspuer : f ( ) g( ) ,, 3 4 Vi delrr eräig i vå delr: i) I iervlle är f ( ) g( ) ( M e jämför f() och g() för ise de. ) [ Are A f ( ) g( )] d 3 6 [ + 8] d 4 ii) I iervlle 4 är omvä g( ) f ( ) ( Jämför f(3) och g(3) för ise de) 4 [ Are A g( ) f ( )] d Därför hel re ges v AA+A 8. Svr d) Are 8 4 [ ] d 4 Uppgif 3. Berä re v de områdee i förs vdre v urvor (dvs >, y>) som egräss y, y och 9 y. Lösig. Förs esämmer vi särigspuer mell urvor:.för dee vå rä lijer y, y hr vi y, y ±. Vi r som ligger i förs vdre 4 v

5 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler Till slu 3. y, y ± där 3 3 ligger i förs vdre Are A+A ( ) d + ( ) + ( + l3) l3 9 d Svr: Are l 3 Uppgif 4. Berä re v de område som ligger mell urv 4 + si(7 y) och lijer, y och y. Lösig: Are(D) cos(7y) [4 + si(7y )] dy 4y v

6 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler Uppgif 5. Vis ellipissiv med hlvlr och hr re A. y Tips. Elipses evio är + Lösig. Vi erär re v de del som ligger i förs vdre och därefer muliplicerr med 4. y Frå evioe + får vi y ± där y + är evioe för de övre dele v urv. A d. ör lös iegrle väder vi susiuioe si d cosd, Gräser: /, / / A cos d cos cosd d / + cos() si() / d + Därmed lir ellipses re lir 4 A, 4 6 v

7 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler Amärig: Om hr vi e cirel med rdie och vi får de äd formel; cirels re. PARAMETERKURVOR. Vi err e fuios urv y f (), som är give äve på prmeer form y h(), g(), där y h() är oiuerlig, g() är oiuerlig deriverr fuio. Vi r vidre g() är mooo i iervlle och därmed vrje värde svrr mo e e -värde och speciell ( ), ( ). Då vi sriv om reformel elig följde re(d) ( ) d yd y( ) ( ) d h( ) g f ( ) d Amärig: Om g() är VÄXANDE, då pue svrr mo och dvs, och vi hr re(d) ( ) ( ) d y. mo Om g() är AVTAGANDE, då hr vi omvä ordig: svrr mo och mo, och i de fll re(d) ( ) ( ) d y. Uppgif 6. Berä re mell -el, lijer, och urv ) si, y + cos(), / ) cos, y + cos(), / Lösig: ) Fuioe si är oiuerlig deriverr, 7 v

8 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler cos, och väde för /. För ädpuer och / hr vi mosvrde -värde ( ) si och ( / ). Allså, för vrje i iervlle [, / ] får vi e e i iervlle [,] där väser ädpu svrr mo och höger ädpu svrr mo / Därför / re(d) yd y( ) ( ) d ( + cos)cosd Vi rsformerr iegrde ( + cos)cos ( + cos si )cos (3 si ) cos för u väd vrielye yp f (si ) cosd : / Are (3 si )cosd 7 (3 v ) dv 3 Vrielye: v si dv cosd v / v Svr ) 3 7 ) cos, y + cos(), /, ' si Efersom ( ) cos är sörre ä ( / ) cos( / ) ser vi väser ädpu ( för iervlle på -el) svrr mo / Därför re y( ) ( ) d / ( + cos())( si( )) d Vi rsformerr iegrde ( + cos) ( si) ( + cos si ) ( si) ( + cos ) ( si) för u väd vrielye yp f (cos ) si d : 8 v Vrielye: v cos dv si d v / v

9 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler Are ( + cos )( si) d / 5 ( + v ) ( dv) 3 Svr ) 3 5 Uppgif 7. Berä re mell -el och urv ( cyloide) ) si, y cos, Lösig: Srpue svrr mo. Edpue svrr mo d d ( cos ) d. Are yd ( cos)( cos) d + cos ( cos + cos ) d ( cos + ) d 3 Svr: Are 3 Uppgif 8. Berä re mell -el och urv +, y si, Lösig: Srpue svrr mo. Edpue svrr mo. 9 v

10 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler d d ( + ) d Are yd ( + )si( ) d [prielliegrio] + [ cos cos + si( ) ] Svr: Are + ( AREABERÄKNING I POLÄRA KOORDINATER) Vi err re v e vielformde område som defiiers med hjälp v polär oordier θ och r. ( r cos( θ), y rsi( θ) ) Område D defiiers med θ, r r( θ) där och är oser och r r(θ) e oiuerlig fuio i iervlle θ (se edsåede figur). Då gäller re(d) [ r( dθ. v

11 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler Uppgif 9. Härled formel re(d) [ r( dθ, där område D defiiers med θ, r r( θ), r r(θ) e oiuerlig fuio i iervlle θ och är oser och Lösig: Vi rir hlvsrålr och delr D i delområde D. y r r O Då lir re ( D ). re( D) re( ). Med hjälp v vå cirelseorer vi upps D Noer re v e cirelseor med rdie r och viel v (i rdier) är v r v A r. Därför uppsr vi re D ) med ( v

12 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler ( r ),mi Δ ( r,m θ re( D ) Δθ ) och hel re re( D) re( ) med D ( r,mi ) ( r,m) Δθ re( D) Δθ (*) Vi hr llså pproimer re (D) med e uder- och e översumm för iegrle [ r( dθ. Fuioe [ r ( är oiuerlig efersom, elig gde, r (θ ) är oiuerlig. Därmed eiserr [ r( dθ. Därför, om m( Δθ ) ( och därmed ) går åd Riemsummor i (*) mo iegrle [ r( dθ och ( *) ger [ r( dθ re( D) [ r( dθ dvs re( D) [ r( dθ ( vd sulle viss). Uppgif. Berä re v område D som defiiers v r cos(θ ), Lösig: Vi erär re v område D med hjälp v formel θ. 4 / 4 / 4 ( cos(θ )) dθ cos(θ ) dθ re( D) [ r( dθ si(θ ) / 4 Svr: re ( D) v