Randvillkoren tecknas

Transkript

1 Tenis Högsoln i Linöping, IEI /Tore Dhlberg TENTMEN i Hållfsthetslär - Dimensioneringmetoder, TMHL09, l 8-12 R O B L E M med L Ö S N I N G R Del 1 - (Teoridel utn hjälpmedel) 1. En bl belsts med en xiell trycrft. Rit in i den givn figuren nedn (symboler för) de rndvillor blen s h, och nge mtemtis uttryc för rndvilloren, om blen s näc enligt Eulers fll III. LÖSNING OCH SVR HÄR: Symboler för rndvilloren enligt figur. x Rndvilloren tecns w(0)=0 w (0)=0 w(l)=0 och M(L)= EIw (L)=0 2. Härled ångpnneformlern för ett tunnväggigt cirulärcylindrist trycärl (rdie R, godstjocle t, med t << R, och längd L). Kärlet belsts med ett inre övertryc p. Snitt vinelrätt mot den xiell ritningen (x-ritningen). Jämvit ger Snitt longitudinellt. Jämvit ger (För figur, se läroboen.) σ x 2πRt p πr 2 = 0 som ger σ x = p R 2t σ φ 2Lt p 2RL = 0 som ger σ φ = p R t 7

2 Del 1 - (Teoridel utn hjälpmedel) 3. nge formel för lmgren-miners delsdehypotes och förlr dess nvändning. Förlr även betydelsen v de storheter du nvänder. Delsdn D i efter n i belstningscyler vid en spänningsnivå som sulle ge livslängden N i cyler är D i = n i N i Delsdor på grund v belstning vid oli spänningsnivåer dders linjärt. Utmttningsbrott förvänts då summn v ll delsdor blir ett, d v s då I D = 1 där I är ntlet oli spänningsnivåer. 4. En fritt upplgd bl utför fri svängning. Siss i figuren nedn och besriv egensvängningsmodern för de tre lägst egenvinelfrevensern. x n i N i = 1 L, m, EI Mod 1 Mod 2 Mod 3 Mod 1 hr en bu på mitten. Mod 2 hr en nod i mitten. Mod 3 hr två noder; en i läget L/3 och en i 2L/3. 8

3 Del 2 - (roblemdel med hjälpmedel) vit mg per bo stelt o Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär Hållfsthetslär n t 5. Ett stelt o vilr på en egg och hålls horisontellt v två fjädrr med fjäderstyvhet. Linus stplr böcer centrist på oet. Vrje bo hr mssn m (tyngden mg) och är t tjoc, se figur. Hur mång böcer n n Linus stpl på vrndr innn nordningen mister sin stbilitet? nt tt Linus lägger n böcer på oet. Stpeln får då tyngden n mg och höjden n t, vilet medför tt bopcens tyngdpunt ommer tt hmn på höjden n t/2. Ge systemet en liten störning (en liten snedställning φ). Utböjnde moment blir M ut = n mg n t 2 sinφ Återförnde moment blir M åt = 2 sinφ cosφ Inför sin φ= φoch cos φ= 1. Då momenten ext blnserr vrndr råder indifferent jämvit (i utböjt läge). Det ger nmg nt 2 φ 2 φ = 0 eller nmg nt 2 22 φ=0 Möjligt med φ 0 br då prentesen blir noll. Det ger n = 42 mg t Mximl ntlet böcer som n stpls på vrndr blir således heltlsdelen v 4 2 / mg t. 9

4 Del 2 - (roblemdel med hjälpmedel) M v 2D, 2L 1 2 D, L 2D, 2L 1 2 D, L xelns/stångens längdändring δ blir Men δ = 0, vilet ger xelns/stångens förvridning Θ blir Men Θ = 0, vilet ger M v R M 2 6. En ombinerd cirulärcylindris stång/xel belsts vid setionsövergången med en xiell rft och ett vridnde moment M v. Bestäm mximl effetivspänning (vlfritt Tresc eller von Mises) i Del 1 respetive Del 2 på grund v lsten. Sätt M v = D. Mått enligt figur. roblemet är sttist obestämt. T bort högr stödet och lägg in en xiell rft R och ett vridnde moment M 2 där, se figur. δ=δ 1 +δ 2 = Spänningr i del 1 (normlspänning och mximl sjuvspänning): σ x1 = ( + R) ( + R) 2L E πd 2 + RL 4 E πd 2 ( + R) 2L + RL 4 = 0 som ger R = E πd 2 2 E πd 3 Θ=Θ 1 +Θ 2 = (M v + M 2 ) 2L 2 + M 2L 32 G πd 4 G πd 4 (M v + M 2 ) 2L 2 + M 2L 32 G πd 4 G πd = 0 som ger M 4 2 = M v 9 = 2 3 πd 2 och τ 1 = M v + M 2 W v1 = 8M v 2 9 πd 3 = 16 9 πd 2 Effetivspänningen blir (om Tresc nvänds bestäms även huvudspänningrn) σ vm e1 = σ 2 x1 + 3τ 2 1 = 3, 15 σ T πd 3 e1 =σ hsp mx σ hsp min = σ 2 x1 + 4τ 2 1 = 3, 62 πd 3 Spänningr i del 2 (normlspänning och mximl sjuvspänning): σ x2 = R = 4 och τ= M 2 = M v 16 = 16 3 πd 2 W v2 9 πd 3 9 πd 2 Effetivspänningen blir (om Tresc nvänds bestäms även huvudspänningrn) σ vm e2 = σ 2 x2 + 3τ 2 2 = 3, 36 σ T πd 2 e2 = σ 2 x2 + 4τ 2 2 = 3, 80 πd 2 (Sjuvspänningen dominerr, och den är li för de två delrn; därför så li resultt.) 10

5 Del 2 - (roblemdel med hjälpmedel) 7. En r jämntjoc stång med mssn M (g) och längden L är monterd med en fjäder med styvhet och en visös dämpre med stel stång, mss M dämpftor c; båd på vståndet från c infästningen (leden i ). Stången är horisontell L vid sttis jämvit. Mn noterr tt den reltiv dämpningen ζ ommer tt bero på vståndet. Bestäm så tt dämpningen blir ritis. (Msströghetsmomentet med vseende på tyngdpunten för en r stång med mssn M är J tp = ML 2 /12.) stel stång, mss M L Vid ritis dämpning är ζ = 1, vilet ger c Frilägg stången. För in rften F från fjädern och rften D från dämpren. Tecn evtioner för stång, fjäder och dämpre. Mn får J φ= F D F = φ D = c φ Eliminer F och D. Det ger J φ+c 2 φ+ 2 φ=0 Steiners sts ger J = J tp + M 2 L = ML M L = ML2 2 3 Reltiv dämpning definiers c ζ= 2 M som i vårt fll blir c 2 ζ= 1 = c 2L M/ 3 = 2 2 J c ML 2 / 3 = som ger = 2L c M 3 c 2L M/ 3 11

6 TENTMEN i Hållfsthetslär, TMHL09, , l Del 2 - (roblemdel med hjälpmedel) 8. Ett stångbärver består v tre stänger enligt figur () (E, L, respetive 2 E, 2 L, 2 ). Bärveret belsts med en vertil rft i nuten. () nvänd Cstiglinos sts för tt bestämm nutens vertil och horisontell försjutning. (b) Vd blir den vertil försjutningen v nuten om infästningen istället är enligt figur (b). E, L, E, L, () Stångbärveret är sttist bestämt, vilet ger tt stångrftern n bestämms med jämvit. Eftersom även den horisontell försjutnigen s bestämms införs en horisontell rft Q vernde (åt höger) på nuten. Mn får Upplgrd energi i bärveret blir Vertil försjutning blir Horisontell försjutning blir C B 2 E 2 L 2 E, L, E, L, 2 E 2 L 2 (b) Då stöden byter plts får stången BC ingen rft i sig, och upplgrd enegri blir (med Q =0) (b) S B = 2 S C = Q S BC = 3 N 2 i L i U = = ( 2 ) 2 2 L 1 2E i i 2 2 E 2 + (Q )2 L 2E δ vert = U = 2 L E (Q )( 1) L + E δ hor = U Q C B + ( )2 L 2E + L E = (Q )L E = 2 2 L 2 E + (Q )2 L 2E =(med Q = 0)=L E ( 2 + 2) = L E U = 2 2 L 2 E + ( )2 L 2E + 0 vrur erhålles δ vert = U = L E ( 2 + 1) L 2E