Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum:

Transkript

1 Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum: Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar kan saknas eller vara bristfälliga. De är också i vissa fall för kompakt skrivna. Detta för att spara kopieringskostnad. Uppgift 1 Q EI M Q x x L + B = M = EI d w d x Randvillkor då x=l ger Q L L L + B = M vilket ger Elastiska linjens ekvation q = dt d x = d M = d EI d w d x d x d x Här är EI = konstant samt q= -Q/L L Randvillkor x=0; w=0 och dw/dx=0 x=l; T=0 och M=M Här fås elastiska linjens ekvation Q L = dt d x = d M = EI d w d x d x Q L x + A = T = d M d x = EI d3 w d x 3 Randvillkor då x=l ger Q L L + A = 0 vilket ger A = Q Vilket ger elastiska linjens ekvation Q 1 x = d M L d x = EI d3 w d x 3 B = L M Q Vilket ger elastiska linjens ekvation Q x x L L M Q = EI d w d x Q x x 3 6L x L + M + C Q = EI d w d x Randvillkor x=0 ger C=0 Q x 3 6 x L x L + M + D Q = EIw Randvillkor då x=0 ger D=0 Då x=l fås w = Q L 3 EI 6 L L L L ML EI = QL3 ( EI 1 6 ) ML EI = 3QL3 EI ML EI Resultat: Balkens böjs ned QL3 8EI + ML EI 1

2 Uppgift a) Normaltöjningarna ges av ε xx = (1 ν )a Eh p, ε rr = 3νa Eh p, ε a( ν ) θθ = p Eh där p=3,0 MPa. a=0 mm, h=,0 mm, E= 0, Pa, ν =0,3. Skjuvtöjningarna är noll. Töjningarna ovan är därför också huvudtöjningar. Numeriskt: ε xx = , ε rr = , ε θθ = Mohrs töjningscirklar Konstrueras med hjälp av huvudtöjningarna. (Beräkna gärna cirklarns medelpunkter och radier.) Se figur nedan. b) Trådtöjningsgivaren mäter normaltöjning. Töjningen är i xθ-planet. Utnyttja att skjuvtöjningskomposanter är noll. Använd formler för Mohrs spänningscirkel. Byt spänningar mot töjningar och koordinaten y mot koordinaten θ. Formeler som kan användas ärε n = ε xx + ε θθ + 1 ( ε xx ε θθ )cosϕ eller ε n = ε xx cos ϕ + ε θθ sin ϕ Numeriskt: ϕ =60 och töjningar enligt ovan ger Resultat: ε 60 = c) Avläsning i Mohrs cirklar enligt figur nedan. Resultat: ε 60 =,0 10

3 Uppgift 3 1 H D L πd Kontinuitetsekvationen ger Q =UA. Cirkulärt tvärsnitt ger arean A =, vilket ger farten U = Q UD. Reynolds tal är Re = πd ν. Numeriskt: Data för vatten vid 0 är ρ = 998,kg/m 3 och ν =1, m /s. Beräkningar ger U=0,51 m/s, Re=5073. Slutsats turbulent strömning. Energiekvationen Δp f ρ = α U + p ρ + gz 1 Där läge 1 är vid övre vattenytan och läge vid rörets mynning. Här fås p 1 = p atm = p, U 1 0, U =U, z 1 z = H. Turbulent strömning ger α 1. Insatt i energiekvationen fås Δp f ρ = U gh. Lös ut H; H = Δp f ρg + U g Tryckfall i raka rör ger tryckförlusten Δp f = 1 ρu L D f (Re) Släta. rör, turbulent strömning och Re < 10 5, ger friktionsfaktorn f = 0,316Re 1/ Numeriskt: f=0,0375,δp f = 3883Pa Resultat: H=0,1m 3

4 Uppgift a) Sökt: Nödvändig hastighet. Tryck i fri stråle är atmosfärstryck. (Atmosfärstryck ritas inte i figur nedan.) Symmetri ger att fart är lika i alla riktningar vid utloppet. Data för vatten vid 0 ρ = 998kg/m 3. Kontrollvolym Hastigheter Krafter Rörelsemängdslagen ΣF = m ( u ut u in ) ger här x-riktning; mg = ρq(0 U boll ) Kontinuitetsekvationen ger Q =U mynning A mynning där A mynning = πd mynning Sammanställning U boll = mg ρq = mg ρu mynning A mynning = Numeriskt fås U mynning =10m / s, d mynning =1mm, Resultat: U boll =,17m/s mg ρu mynning πd mynning b) Bernoullis ekvation kan användas då viskositeten försummas. U 1 + p 1 ρ + gz 1 = U + p ρ + gz Här är läge 1 vid mynningen och läge vid bollen. Atmosfärstryck i fri stråle ger p 1 = p atm = p. För övrigt fås U 1 =U mynning, U =U boll, z z 1 = h Vilket ger h = U mynning Resultat: h=,9m g U boll =,86m Kommentar: Att välja en kontrollvolym som omsluter vattenpelaren ger problem. Då måste man ta hänsyn till vattnets tyngdkraft.

5 Uppgift 5 a) i) Isotropt innebär att materialet är lika i alla riktningar. ii) Elastiskt innebär att om materialet belastas och sedan avlastas, så finns ingen kvarstående deformation. ii) Linjärt innebär att sambandet mellan spänning och töjning är linjärt. b) i) viskös strömning ii) inviskös strömning c) Är uttrycken korrekta eller felaktiga? i) a i = A ijk B km felaktigt; ej samma fria index i alla termer, olika rang, ii) F i = c ij X i + Y i iii) F jk = c ii X jk + d jm Y km korrekt; rang iv) µ = U ij U ij +Y mm korrekt; rang 0 felaktigt; ej samma fria index i alla termer, 5