TENTAMEN I MMVA01 TERMODYNAMIK MED STRÖMNINGSLÄRA, tisdag 23 oktober 2012, kl

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "TENTAMEN I MMVA01 TERMODYNAMIK MED STRÖMNINGSLÄRA, tisdag 23 oktober 2012, kl"

Gunnel Hansson
för 4 år sedan
Visningar:

1 TENTAMEN I MMVA01 TERMODYNAMIK MED STRÖMNINGSLÄRA, tisdag 23 oktober 2012, kl P1. En sluten cylinder med lättrörlig kolv innehåller 0.30 kg vattenånga, initiellt vid 1.0 MPa (1000 kpa) och 400 C. Inuti cylindern finns stoppklossar; när kolven vilar på dessa är volymen 60% av den initiala. Vattnet kyls långsamt och kylningen avbryts då trycket är 500 kpa. Bestäm (a) temperaturen i sluttillståndet (b) kylvärmet under processen Givet: vatten, m = 0.30 kg, P 1 = 1.0 MPa, T 1 = 400 C, P 2 = 500 kpa. Sökt: (a) T 2, (b) Q out. (2p) (6p) (a) Så länge kolven hänger fritt är trycket konstant och eftersom P 2 < P 1 har kolven i sluttillståndet stannat på falsarna, V 2 = 0.6V 1, d.v.s. v 2 = 0.6v 1 (konstant massa). Tillstånd 1 är överhettad ånga; Table A-6: v 1 = m 3 /kg, vilket ger v 2 = m 3 /kg. Table A-5 (500 kpa) visar att sluttillståndet är mättad blandning, v f < v 2 < v g. Temperaturen i sluttillståndet är alltså lika med mättnadstemperaturen, T 2 = T sat@500kpa = C. (b) Slutet enkelt kompressibelt system = vattnet, energibalans: Q W = U, där W = W b, d.v.s. Q = U + W b = m(u 2 u 1 + w b ). Med Q = Q out ochw b = w b,in fåsq out = m(u 1 u 2 +w b,in ).Volymändringsarbete sker endast under processens isobara fas innan kolven når falsarna. Eftersom kylningen är långsam kan processen dessutom förutsättas vara kvasistatisk, d.v.s. w b,in = P 1 (v 1 v 2 ) = P 1 v 1 (1 0.6) = kj/kg. Table A-6: u 1 = kj/kg; u 2 = u f + x 2 u fg, där x 2 = (v 2 v f )/(v g v f ). Med v f = m 3 /kg, v g = m 3 /kg, u f = kj/kg, u fg = kj/kg fås x 2 = , vilket ger u 2 = kj/kg. Insättning ger Q out = 0.30( )kJ = kj. Svar: (a) T 2 = 152 C, (b) Q out = 450 kj.

2 P2. Vattenånga strömmar in i en diffusor vid trycket 10 kpa, temperaturen 50 C och hastigheten 300 m/s. Vid utloppet, där ångan är mättad vid temperaturen 50 C, är hastigheten reducerad till 50 m/s. Diffusorns utloppsarea är 2.0 m 2. Omgivningens tryck och temperatur är 100 kpa resp. 25 C. Bestäm (a) massflödet (b) värmeutbytet med omgivningen (c) processens totala entropigenerering per tidsenhet (2p) (3p) (3p) Givet: Diffusor; vattenånga; inlopp: P 1 = 10 kpa, T 1 = 50 C, V 1 = 300 m/s; utlopp: x 2 = 1, P 2 = 50 C, V 1 = 50 m/s, A 2 = 2.0 m 2 ; omgivning: P 0 = 100 kpa, T 0 = 25 C. Sökt: (a) ṁ, (b) Q out, (c) Ṡgen,tot. (a) Stationär strömning, d.v.s. ṁ 1 = ṁ 2 = ṁ. Förutsätt homogena förhållanden över in- och utlopp; ṁ = ṁ 2 = V 2 A 2 /v 2 ; Table A-4: v 2 = v g@t2 = m 3 /kg, vilket ger ṁ = kg/s. (b) Energibalans vid stationära (tidsoberoende) förhållanden, kontrollvolym runt diffusorn: Ė in = Ėout. Inget tekniskt arbetsutbyte (Ẇother = 0), försumbara (eller inga) ändringar i potentiell energi innebär: ṁ(h 1 + V1 2/2) = ṁ(h 2+V2 2/2)+ Q out, d.v.s. Q out = ṁ(h 1 h 2 +V1 2/2 V2 2 /2). Table A-5 visar att tillstånd 1 är överhettad ånga, T 1 > T sat@10kpa = C; Table A-6: h 1 = kj/kg; Table A-4: h 2 = h g@50 C = kj/kg, d.v.s. h 1 h 2 = 0.7 kj/kg = 700 J/kg; V 2 1 /2 V 2 2 /2 = J/kg. Insättning ger Q out = kw. (c) Kontrollvolymen utvidgas så att kontrollytor (utom vid in- och utlopp) hamnar i omgivningens konstanta temperatur T 0. Entropibudget vid stationära förhållanden: Ṡ in Ṡout + Ṡgen,tot = 0, d.v.s. Ṡ gen,tot = ṁ(s 2 s 1 ) + Q out /T 0. Table A-4/6: s 2 = s g@t2 = kj/(kgk), s 1 = kj/(kgk). Insättning med T 0 = K ger Ṡgen,tot = ( ) kw/k = kw/k. Svar: (a) ṁ = 8.3 kg/s, (b) Q out = 0.37 MW, (c) Ṡgen,tot = 0.41 kw/k.

3 P3. En flyttbar vägskylt är monterad på en stolpe med tillhörande(armerad) cementplatta och placerat på ett horisontellt underlag, se figur. Skyltanordningens totala höjd är H = 2.50 m, skyltens ytterdiameter d = 50 cm; cementplattanshöjd är t = 10 cm, diameterd 0 = 40 cm. Stolpens tvärsnitt är kvadratiskt med rundade hörn, sidlängd s = 50 mm; en av sidorna är parallell med skyltens frontyta. Skylten är utsatt för vind vinkelrätt mot dess frontyta och det finns då risk att hela skyltanordningen välter. Detta sker när det momentet kring kontaktpunkten vid A blir noll (moment = kraft hävarm). För stolptvärsnittet i denna anströmning gäller att motståndskoefficienten är C D = 1.9, förutsatt Re > 10 4 (baserat på s). Vindhastigheten kan förutsättas konstant i höjdled. Interferenseffekter mellan skyltanordningens olika delar kan försummas, liksom cementplattans strömningsmotstånd. Skyltanordningens totala vikt är 25 kg. Luftens tryck och temperatur är 99.5 kpa och 15.0 C. Friktionen mellan cementplatta och underlag är så stor att anordningen inte glider. Bestäm vindhastigheten U då skyltanordningen välter. (8p) Givet: H = 2.50 m, d = 50 cm, t = 10 cm, d 0 = 40 cm, s = 50 mm, C D,stolpe = 1.9 (Re s > 10 4 ), m = 25 kg; luft, p = 99.5 kpa, T = 15.0 C. Sökt: U som ger M = 0 vid A. Strömningsmotståndet på anordningen kan delas upp i två delar: (1) F D,skylt,varseffektivaangreppspunktärmittpåplattan,på höjdenh 1 = H d/2 = 2.25m(=hävarm),(2)F D,stolpe varsd:oärpåmittpunktenav stolpen, vars längd är l = H d t = 1.90 m; hävarm, H 2 = t+l/2 = 1.05 m. Masscentrum för anordningen ligger längs dess centrumlinje, hävarm d 0 /2.

4 Moturs moment kring A: M A = F D,skylt H 1 +F D,stolpe H 2 mgd 0 /2. Enligt definition av motståndskoefficient, F D = C D AρU 2 /2; A = frontarea, d.v.s. A skylt = πd 2 /4, A stolpe = ls. M A = 0 U = mgd 0 /ρ H 1 C D,skylt πd 2 /4+H 2 C D,stolpe ls Luften kan behandlas som en ideal gas, ρ = p/(rt), R = 287 J/(kgK). Insättning med T = K ger ρ = kg/m 3. Tabell 7-1 (tunn cirkelskiva): C D,skylt = 1.1, om Re d = ρud/µ > Insättning med g = 9.81 m/s 2, C D,skylt = 1.1, C D,stolpe = 1.9 ger U = m/s. Kontrollera om Re s = ρus/µ > 10 4 (Re s < Re d ). Tabell A1: µ = Pas, vilket ger Re s = > 10 4 ; OK! Svar: U = 11 m/s. P4. En horisontell ventilationskanal med kvadratiskt tvärsnitt har längden 250 m och tvärsnittsarean0.81 m 2. Insidan av kanalen har en ekvivalent ytråhet motsvarande ǫ = 2.7 mm. Vid inloppet upprätthålls övertrycket 1.15 kpa gentemot omgivande tryck. Utströmningen sker fritt ut i omgivningen. Engångsförluster mellan in- och utlopp motsvarar ΣK L = 5.5, baserat på medelhastigheten i kanalen. Luftens tryck och temperatur kan sättas till 101 kpa och 25 C. Bestäm volymflödet. Lösningen kan kräva iterativa beräkningar. (8p) Givet: Ventilationskanal med l = 250 m; kvadratiskt tvärsnitt, A = 0.81 m 2 (sidlängd, s = A = 0.90 m); ǫ = 2.7 mm; inlopp: p 1,g = p 1 p a = 1.15 kpa; fritt utlopp till omgivning;σk L = 5.5; luft, p = 101 kpa, T = 25 C. Sökt: V Volymflöde, V = VA, där V är medelhastigheten i kanalen (V2 = V 1 = V). Bernoullis utvidgade ekvation mellan inlopp(1) och utlopp(2); samma hastighet (V 2 = V 1 ), horisontellt (z 2 = z 1 ), inget tekniskt arbete (w t = 0): p 1 = p 2 + p f, där p f = (fl/d h +ΣK L )ρv 2 /2. Fritt utlopp innebär p 2 = p a, d.v.s. 2p 1,g /ρ = (fl/d h + ΣK L )V 2. Friktionsfaktorn f beror av Reynolds tal, Re = ρvd h /µ, och relativ ytråhet, ǫ/d h, f = φ(re,ǫ/d h ). Hydraulisk diameter, d h = 4A/S = 4s 2 /(4s) = s; ǫ/d h =

5 Ideal gas, R = J/(kgK), ger ρ = p/(rt) = kg/m 3 ; tabell A1: µ = Pas, d.v.s. Re = V [m/s]. Hastigheten V ingår i f vilket kräver iterativ beräkning (se t.ex. exempel 8.2 och 8.4 i kompendiet); iterationsformel fås ur sambandet ovan: V = 2p 1,g /ρ = fl/d h +ΣK L m/s f250/ Med gissat f = 0.02 fås V = m/s, vilket ger Re = , d.v.s. fullt utvecklad turbulent strömning(re > 4000). Haalands formel, ekv. (8.16), ger f = , vilket insatt ger V = m/s och Re = Haalandsformelgerf = V = m/s,försumbar förändring. Kontrollräkning av Reynolds tal ger samma f = (och därmed V) klart! V = VA = m 3 /s. Svar: V = 10 m 3 /s. Kommentar: Rör- och kanalströmning är oftast turbulent. För fall med ǫ > 0 och tillräckligt högt Re är därför friktionsfaktorn f endast beroendeavrelativytråhetǫ/d h,sefig.8-6(tillhögeromstreckadlinje).idetta område (fully rough) kan då f beräknas ur ekv. (8.15/16)med Re. I dettafall med ǫ/d h = 0.003fås f fullyrough = ,vilketuppnås (inom ca. 1%) om Re > f = V = m/s, vilket innebär Re = Friktionsfaktorn är således oberoende av Re och det behövs därför inga iterationer! V = m/s V = 10.0 m 3 /s. Christoffer Norberg

Relevanta dokument

P1. I en cylinder med lättrörlig(friktionsfri) men tätslutande kolv finns(torr) luft vid trycket 105 kpa, temperaturen 300 K och volymen 1.40 m 3.

P1. I en cylinder med lättrörlig(friktionsfri) men tätslutande kolv finns(torr) luft vid trycket 105 kpa, temperaturen 300 K och volymen 1.40 m 3. Luften värms nu långsamt via en elektrisk resistansvärmare