Räkneövning 2 hösten 2014

Transkript

1 Termofysikens Grunder Räkneövning 2 hösten 2014 Assistent: Christoffer Fridlund

2 1. Brinnande processer. Moderna datorers funktion baserar sig på kiselprocessorer. Anta att en modern processor baserar sig på en processerad kiselbit av storleken 20 mm x 20 mm x 1 mm, och använder under operation en effekt på 100 W. Praktiskt taget allt av denna effekt övergår i värme. Processorerna brinner sönder vid en temperatur kring 120 C. Hur länge skulle det ta för en processor att brinna sönder om man startar den från viloläge vid 20 C och den inte kyls ner överhuvudtaget? Du kan anta att processorn består helt av kisel och har en specifik värmekapacitet (ta reda på vad som menas med specifik värmekapacitet!) på 0.7 kj kgk oh densiteten 2.33 g cm 3. Specifik värmekapacitet är ett materials värmekapacitet per massenhet och betecknas c. Ett föremål med massan m har värmekapaciteten C = c m. Den specifika värmekapaciteten (värmekapacitiviteten) beskriver hur mycket energi som måste föras till massan för att höja massans temperatur med en grad (K/C). V = 20 mm 20 mm 1 mm = 400 mm 3 = 0.4 cm 3 (1) ρ = 2.33 g kg = cm3 cm 3 (2) kj c = 0.7 kg K = 700 J kg K (3) Uppgiftens kriterier: T 0 = 20 C T 1 = 120 C P = 100 W Förändringen i värmeenergin är direkt proportionell till förändringen i temperaturen enligt följande: Q = C T Q = cm(t 1 T 0 ) P t = cρv (T 1 T 0 ) t = cρv (T 1 T 0 ) P t = 700 J kg kg K cm K cm W t = s 0.7 s Det tar ca 0.7 s innan processorn överhettas. 2

3 2. Cyklisk process. En mol av en ideal gas utför en cyklisk process bestående av följande serie av reversibla processer: (i) från tillstånd (P 1, ) vid konstant tryck till tillstånd (P 1, V 2 ), (ii) vid konstant volym till tillstånd (P 2, V 2 ), (iii) vid konstant tryck till (P 2, ), (iv) vid konstant volym tillbaka till det ursprungliga tillståndet (P 1, ). Beräkna arbetet som görs på gasen samt värmen som absorberas av den i cykeln. OBS! V 2 > och P 1 > P 2 behöver naturligtvis inte gälla. Det beror helt på i vilken ordning du definerat dem. Arbetet som görs på gasen: dw = P dv (4) Eftersom förändringen i arbetet defineras som förändringen i volym multiplicerat med trycket, så sker ingen förändring i arbetet under steg ii och steg iv. Förändringen i arbetet under stegen: V2 i. dw = P dv = P 1 ( V 2 ) (5) ii. iii. iv. dw = dw = dw = V2 V 2 P dv = P (V 2 V 2 ) = 0 (6) V1 V 2 P dv = P 2 (V 2 ) (7) V1 P dv = P ( ) = 0 (8) Genom att addera ihop alla delarbeten så får vi det slutliga totala arbetet: W tot = W i + W ii + W iii + W iv W tot = P 1 ( V 2 ) P 2 (V 2 ) + 0 W tot = P 1 ( V 2 ) + P 2 (V 2 ) W tot = (P 2 P 1 )(V 2 ) Systemet återvänder till sitt ursprungsläge under processen vilket betyder att ingen energi har försvunnit från systemet, U = 0. Då kan man modifiera om termodynamikens första grundlag för att erhålla Q. U = Q + W Q = W Q = (P 1 P 2 )(V 2 ) 3

4 3. Expanderande luftbubbla. En dykare släpper ut en luftbubbla på ett djup av 30 m. Bubblan har formen av en sfär med radien 1.0 cm. Temperaturen i sfären och det omgivande vattnet är 10 C. Beräkna bubblans radie då den stigit till ytan i följande fall: i bubblan har hela tiden samma temperatur (bubblan stiger långsamt p.g.a. en djungel av sjögräs). ii inget värmeutbyte sker med omgivningen (bubblan stiger snabbt). i Isotermisk process (konstant temperatur, energi förs till eller från systemet för att hålla temperaturen konstant). P 1 = P 2 V 2 (9) r = V = h 0 = h 1 = 1.0 cm 4 3 r3 30 m 0 m g = 9.81 m s 2 ρ = 1000 kg P 0 = P = T = m P a P 0 + ρ g h 10 C r 1 =? V 2 = P 1 P πr3 1 = P 0 + ρ g h 0 4 P 0 + ρ g h 1 3 πr3 0 r 3 1 = P 0 + ρ g h 0 P 0 r 3 0 P0 + ρ g h r 1 = 3 0 r0 3 P 0 r 1 = P a kg 9.81 m 30 m m 3 s cm P a 3 r 1 = cm Svar: r 1 = 1.6 cm 4

5 ii Adiabatisk process (inget värmeutbyte sker med omgivningen): P 0 V γ 0 = P 1V γ 1, (10) γ är förhållandet mellan värmekapaciteterna C P C V γ för luft är 1.4. ( 4 3 πr3 1 V γ 1 = P 0 V γ 0 P ) 1 γ = P 0 P 1 ( 4 3 πr3 0 (r 3 1) γ = P 0 P 1 (r 3 0) γ ) γ r γ 1 = P0 + ρ g h 3 0 (r0 3 P )γ 0 r γ 1 = P a kg 9.81 m 30 m m 3 s 2 (1.0 cm P a 3 ) γ = cmγ r γ 1 r 1 = γ cm γ r 1 = cm 1.4 r 1 = cm 1.4 cm 5

6 4. Adiabatisk expansion. Inre energin för en (monoatomär) gas som föjer van der Waals tillståndsekvation ges av U = 3 2 Nk BT a N 2 V (11) där a är en konstant. I början ockuperar gasen en volym och har temperaturen T 1. Låt sedan gasen expandera adiabatiskt i vakuum så att den ockuperar en total volym V 2. Vad är gasens slutliga temperatur? Vad är svaret om gasen skulle vara en ideal gas? Van der Waals tillståndsekvation: E = 3 2 Nk BT an 2 V (12) När en gas expanderar adiabatiskt så är energiutbytet = 0 ( E = 0). E = E 2 E 1 = 0 E 2 = E 1 E = 3 2 Nk BT 2 an 2 = 3 V 2 2 Nk BT 1 an Nk BT 2 = 3 2 Nk BT 1 an 2 + an 2 V 2 T 2 = T ( 1 an 2 1 ) 3Nk B V 2 T 2 = T 1 + 2aN ( 1 1 ) 3k B V 2 Ideal gas U 1 = U 2 : U = P V = nrt = Nk B T U 1 = P = Nk B T 1 U 2 = P V 2 = Nk B T 2 Nk B T 1 = Nk B T 2 T 1 = T 2 6

7 5. Boltzmannfördelningen. Tänk dig ett tvådimensionellt 50 x 50 gitter av partiklar (alltså totalt innehåller systemet 2500 partiklar). Energin för varje partikel kan anta heltalsvärden från 0 uppåt. Låt totala energin för systemet vara 2500 energienheter så, att varje partikel har en energienhet. Låt därefter energierna omdistribueras genom att (minst ggr) ta ett energikvanta från en slumpmässig partikel (om den har ett, partiklarna kan inte ha negativ energi!) och flytta den till en annan slumpmässig partikel. Efter alla omdistribueringar, upprita ett histogram av energifördelningen hos partiklarna (dvs hur många har energin 0, hur många 1, osv). Upprepa därefter processen med ett system med 5000 energienheter, dvs alla partiklar startar med 2 energienheter. Se ex5_matlab.m för ett kodexempel på hur man kan utföra det här med MATLAB. Om det finns frågor angående MATLAB-koden, så tveka inte att fråga! Figur 1: 2500 Energienheter på en 50 x 50 grid, iterationer. Figur 2: 5000 Energienheter på en 50 x 50 grid, iterationer. Det som skiljer mest mellan de två olika histogrammen, är att när det finns mera energikvantan att tillgå från början, så kommer det finnas lite flera partiklar med högre energier, men det viktigaste är ändå att formen på histogrammet hålls konstant. Flest partiklar med noll eller ett energikvantan. 7