Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)

Transkript

1 Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F(FTF40) Tid och plats: Torsdag /8 008, kl i V-huset. Examinator: Mats Granath, 7775, , mats.granath@physics.gu.se Hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Termodynamiska tabeller (utdelade), ett A4 blad ( sidor) med egna anteckningar, Chalmersgodkänd räknare. Bedömning: Varje uppgift ger maximalt 0 poäng. Poäng från dugga och inlämningsuppgift kan ge maximalt 8 extra poäng. För godkänt krävs 0 poäng. Lösningar: Finns på kurshemsidan efter tentans slut. Rättningsgranskning: Drop-in granskning hos examinatorn, rum O709B. Uppgift En behållare med volymen liter innehåller kg vatten vid temperaturen 0 0 C. Behålleren töms på luft med hjälp av en vakuumpump och försluts. Vad är trycket i behållaren när jämvikt har uppnåtts? (0p) Uppgift En ångturbin verkar under följande förutsättningar: inflöde ṁ =40 kg/s vid tryck P = 0MPa och temperatur T = C, en del av flödet, ṁ = 0 kg/s, avleds vid P = 0.MPa och T = 00 0 C, resterande ånga lämar turbinen vid tryck P = 0kPa och kvalitet (massandel gas) x = 0.9. a) Beräkna turbinens totala effekt. (7p) b) Hur stor andel av effekten genereras innan första utflödet? (p)

2 Uppgift I guld vid 0K är bidraget till värmekapaciteten från gittervibrationer ungefär 70 gånger större än bidraget från ledningselektroner. a) Givet att Fermitemperaturen för guld är 64000K ( ) och att guld har en ledningselektron per atom, beräkna med hjälp av detta Debyetemperaturen. (Det går bra att anta T D T.) (5p) b) Vid vilken temperatur ger gittervibrationer och ledningselektroner lika stort bidrag till värmekapaciteten.(5p) Uppgift 4 En värmepump fungerar enligt följande principskiss med ett arbetsmedium i stationärt flöde genom systemet. Värmepumpens syfte är att överföra värme från omgivningen vid den lägre temperaturen T L till den högre temperaturen T H. I punkterna till fyra är specifika entalpin (h) och entropin (s) givna. Massflödet är ṁ kg/s. Kompressorn arbetar adiabatiskt och reversibelt och strypventilen är adiabatisk (värmeisolerad) a) Beräkna verkningsgraden för värmepumpen uttryckt i givna storheter (5p) b) Givet följande, s s = (h h )/T H och s s 4 = (h h 4 )/T L, beräkna entropiökningen per sekund för värmepumpen och dess omgivning. (5p) T H kondensor h s h s stryp ventil kompressor h 4 4 s 4 förångare h s T L

3 Uppgift 5 Atomkärnan i något kristallint grundämne har spinn ett, med i kristallfältet tre möjliga kvanttal, m =, 0,. Dessa tillstånd har energi E m = ǫ m där ǫ är en konstant. a) Beräkna bidraget från kärnspinnet till kristallens molära inre energi som funktion av temperatur. (4p) b) Beräkna bidraget från kärnspinnet till kristallens molära entropi. (4p) c) För låga (T = 0) och höga (T ) temperaturer skriv ner entropin genom att direkt beräkna antal tillgängliga mikrotillsånd. Bekräfta att det stämmer överens med lösningen i b) (p) Uppgift 6 För ett system bestående av flera komponenter ges ändringen i Gibbs fria energi av dg = SdT +V dp + i µ i dn i, där i betecknar de olika komponenterna och µ i är respektive komponents kemiska potential. Betrakta en behållare med vätgas (H ) och fria väteatomer (H) i jämvikt vid konstant tryck och temperatur, där vätgasen kan dissociera enligt processen H H. Totala antalet väteatomer i bunden eller molekylär form är bevarat. a) Visa att i jämvikt gäller µ H = µ H. (p) b) Beräkna µ H och µ H givet att dessa kan beskrivas som klassisk idealgas. Ta hänsyn till rotationer (E rot = kt rot ) och bindningsenergin (ǫ 0 ) för H genom att använda uttrycket Z int = (T/T rot )e βǫ 0 för tillståndssumman över inre frihetsgrader för molekylen. (Tips, utgå från Helmholtz fria energi.) (4p) c) Härled massverkans lag, c(h) c(h ) = K c(t) där c = N/V är koncentrationen för respektive komponent och skriv ner jämviktskonstanten K c (T) för reaktionen. (4p)

4 Lösning Tenta 0808, Termodynamik och statistisk fysik, FTF40 Uppgift Vattnet förångas i den slutna behållaren till dess att jämvikt uppnås. Enligt tabell är trycket.9kpa vid 0 0 C. Uppgift Stationärt flöde, utvunnet arbete gas av entalpiförändringarna. a) Ur tabell (värden i kj/kg), h = 74, h = 866, h = = 48. Effekten ges av Ẇ = Ẇ + Ẇ = ṁ (h h ) + (ṁ ṁ )(h h ) = 5.860MW b) Ẇ/Ẇ = 0.57 Uppgift För Debyemodellen vid låga temperaturer ges värmekapaciteten enligt C v,g = π4 5 Nk B( T T D ). För ledningselektronerna (degenererad Fermigas) C v,e = π N ek B ( T T F ) (här N e = N). a) Lös ut T D ur C v,g (T)/C v,e (T) = 70 vid 40K ger T D = 65K b) C v,g (T) = C v,e (T) vid T.K Uppgift 4 a) Verkningsgraden ges av β = Q H W där Q H = h h och W = h h. b) Förutsättningarna innebär att kondensorn och förångaren är reversibla. Hela entropiändringen fås i strypventilen, och ges av S = s 4 s, dvs Ṡ = ṁ(s 4 s ) Uppgift 5 a) Tillståndsumman för ett spinn ges av Z = + e βǫ vilket ger energin per spinn E = ln Z = ǫe βǫ och E = N β +e βǫ A ǫ/( + eβǫ ) b) S = E/T + k B ln Z = N A (ǫ/t( + eβǫ ) + k B ln( + e βǫ ) c) T = 0: antal tillstånd Ω =, dvs S = k B ln Ω = 0, från b) β ger S 0. T : antal tillstånd Ω = N A, dvs S = k B N A ln vilket också stämmer med b).

5 Uppgift 6 a) I jämvikt (vid dp = dt = 0) dg = i µ i dn i = µ H dn H + µ H dn H = 0. H H innebär dn H = dn H (t.ex. en mer H svarar mot två mindre H), vilket ger µ H = µ H. b) µ i = ( F N i ) V,T = kt( lnz N i ) V,T. För klassisk idealgas Z = Z N /N! dvs µ = kt lnn kt ln Z (från ln N! N lnn N och Z oberoende av N). Z = Z translation Z intern där Z translation = V (πmkt/h ) / och enligt uppgift Z intern = (T/T rot )e βǫ 0 för H (för H kan inre frihetsgrader försummas). Detta ger µ H = kt ln( V N H ( πm HkT h ) / ) () µ H = kt ln( V ( πm H kt ) / ( T )e βǫ 0 ) () N H h T rot c) från a) och b) med c(h) = N H /V, c(h ) = N H /V och m H = m H fås c(h) = K c(h ) c(t) med K c (T) = ( 4πm HkT ) / (T h rot /T)e βǫ 0 (Notera ǫ 0 < 0 vilket ger låg relativ koncentration av H.)