Tentamen - Termodynamik 4p

Transkript

1 Tentamen - Termodynamik 4p Tid: , Torsdag 5 juni 003. Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare 1. Betrakta en ideal gas. a) Använd kinetisk gasteori för att härleda ett samband mellan tryck, volym och medelenergin för en molekyl. (8p) b) Jämför resultatet i a) med allmänna gaslagen och relatera medelenergin till temperaturen. (p) Du behöver inte skriva någon lång uppsats, men det är viktigt att du definierar förutsättningarna, och kort motiverar de olika stegen. Det räcker inte att bara skriva ner några formler.. Bonusproblem dugga a) Ge den allmänna definitionen av värmekapacitet vid konstant volym, C v, och vid konstant tryck, C p. (3p) b) Härled sambandet mellan C v och C p för en ideal gas. (3p) c) Hur stor är C p för 4 mol av en tvåatomig ideal gas vid rumstemperatur. Ge svaret i SI enheter. (4p) 3. En behållare med 10 liter vatten vid normal svensk rumstemperatur är termiskt isolerad från omgivningen, se figur. Behållaren har ett litet hål så vattnet hålls vid konstant tryck. En propeller som drivs av en motor utanför lådan körs så länge att vattnets temperatur stiger 5 C. a) Hur mycket ökar vattnets entropi? (8p) b) Hur mycket ökar omgivningens entropi? Motivera! (p) 4. En mol av en ideal gas med värmekapaciteten C v genomlöper den cyliska process som visas i figur 1. Processen 3 1 är isoterm vid temperaturen T 1 och temperaturen vid är T. a) Arbetar systemet på omgivningen, eller arbetar omgivngen på systemet? Du måste motivera ditt svar. (p) b) Hur stort är detta arbete? (3p) c) Beräkna de värmemängder som upptas/avges i de tre delprocesserna 1, 3 och 3 1. (3p) d) Beräkna cykelns verkningsgrad uttryckt i T 1 och T. (p) Vänd! 1

2 5. I van der Waals modell för en gas ges Helmholtz fria energi av uttrycket: F = F i NkT ln ( 1 bn V ) an V där F i är fria energin för en ideal gas, V är gasens volym, och a och b positiva konstanter. Betrakta nu en gasmängd som vid temperaturen T 0 är innestängd i ena halvan (volym V 0 ) av en behållare, vilken är termiskt isolerad från omgivningen, se figur 3. Ett hål görs i mellanväggen, så att gasen sedan jämvikt inträtt likformigt fyller ut volymen V 0. Beräkna sluttemperaturen T. (10p) Ledning: Beräkna den inre energin och kom ihåg att för en ideal gas gäller U = C v T. 6. Energin hos en molekyl i en ideal gas ges av E = mv. a) Använd Gibbs fördelningslag för att beräkna sannolikheten för att en molekyl har farten v = v (4p) b) Beräkna det termiska medelvärdet av v (4p) c) Vad är sannolikheten för att farten hos en molekyl är större än medelfarten? (Medelfarten definieras som v.) (p) I uppgift c) räcker det att ge svaret som en integral. (1) Lycka till!

3 Omtentamen - Termodynamik 4p Tid: , Lördagen 3 augusti 003. Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare 1. a) Formulera ekvipartitionsteoremet (5p) Tillämpa ekvipartitionsteoremet för att beräkna värmekapaciteten C v för b) en monoatomär ideal gas (p) c) en diatomär ideal gas vid hög temperatur (3p) Du måste motivera dina räkningar i b) och c).. Bonusproblem dugga Entropin för en monoatomär ideal gas ges av S(U, V ) = Nk ln V + 3 Nk ln U + konst.. Där U, V och N är inre energin, volymen och antalet partiklar. Använd detta uttryck för att: a) beräkna trycket och temperaturen hos en mol gas uttryckt i U och V. (6p) b) härleda allmänna gaslagen. (4p) 3. En Carnotprocess arbetar mellan temperaturerna T = 00 C och T = 0 C. Den största volymen hos arbetsmediet är 50 l och den minsta 0 l. a) Rita ett pv diagram för processen. Gradera axlarna i SI enheter. (4p) b) Beräkna verkningsgraden för denna process. (3p) I b) krävs en härledning, det räcker inte med att ta en formel ut tabellsamlingen. Antag att arbetsmediet är en ideal monoatomär gas. c) Beräkna tryck och volym i alla hörn i diagramet. (3p) 4. Ett isblock som väger 1 kg smälter sakta i en hink nollgradigt vatten som str i ett svalt rum. a) Motivera kvalitativt varför denna process inte är reversibel. (4p) b) Beräkna entropiökningen under smältprocessen. (6p) Ledning: Använd formelsamlingen. 5. Helmholtz fria energi för en substans ges av, F (T, V ) = 5 NkT [1 5 ln V ln(5 NkT )] där N är antalet partiklar. a) Beräkna entropin, S(U, V ) och trycket p(u,v). (6p) b) Vad för slags substans rör det sig om? (4p) Svaret i b) måste motiveras ordentligt. Vänd! 1

4 6. Energin hos en molekyl i en ideal gas ges av E = mv. a) Använd Gibbs fördelningslag för att beräkna sannolikheten för att en molekyl har rörelsemängden p = p. (4p) b) Beräkna det termiska medelvärdet av p. (4p) c) Vad är sannolikheten för att farten hos en molekyl är mindre än halva medelfarten? (Medelfarten definieras som v.) (p) I uppgift c) räcker det att ge svaret som en integral. Lycka till!

5

6

7 Tentamen - Termodynamik 4p Tid: , Lördag 1 augusti 004. Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare 1. Teoriuppgift - var noga med definitioner och motiveringar. a) Formulera termodynamikens andra huvudsats med hjälp av entropibegreppet. (3p) b) Betrakta två system i termisk kontakt. Definiera den termodynamiska temperaturen uttryckt i entropin, och använd svaret i a) för att visa att temperaturerna hos de båda systemen är lika då jämvikt inträtt. (5p) c) Definiera Helmholtz fria energi, F, och visa att ett system i kontakt med en värmereservoar vid konstant temperatur strävar mot att minimera F. (p). Bonusproblem dugga En mol av en diatomär ideal gas expanderar isotermt till tre gånger sin ursprungliga volym. a) Arbetar gasen på omgivningen, eller omgivningen på gasen? (p) b) Hur mycket arbete utförs om processen sker vid rumstemperatur? (4p) c) Hur mycket arbete skulle utföras om processen istället var adiabatisk, och gasen initialt var vid rumstemperatur? (4p) 3. En behållare med 0.1 liter 0 gradigt vatten är innesluten i en cylinder med en tättslutande kolv som kan röra sig friktionslöst i cylindern. (Antag normalt lufttryck, och att kolvens massa kan försummas. Du kan betrakta vattenångan som en ideal gas.) a) Hur mycket värme krävs för att koka vattnet till 100 gradig ånga? (3p) b) Hur mycket ökar vattnets volym under denna process? (p) c) Beräkna förändringen i vattnets entalpi under denna process? (5p) 4. En Carnotprocess arbetar mellan temperaturerna T 1 = 00 C och T = 0 C. Den största volymen hos arbetsmediet, som är en mol ideal monoatomär gas, är 5 l och den minsta l. a) Rita ett pv diagram för processen. Ange SI enheter på axlarna. (4p) b) Beräkna verkningsgraden för denna process. Härledning krävs, det räcker inte med att ta en formel ut tabellsamlingen. (3p) c) Beräkna tryck och volym i alla hörn i diagramet. (3p) 1 Vänd!

8 5. En aluminiumkristall kan mycket grovt beskrivas som en en uppsättning kvantmekaniska harmoniska oscillatorer som vibrerar med en gemensam vinkelfrekvens, den s.k. Debye frekvensen, ω D s 1. Energin för varje enskild oscillatorfrihetsgrad ges av formeln E n = (n + 1 ) hω D, där h = h, med h = Plancks konstant. π a) Beräkna medelenergin för ett mol aluminium vid rumstemperatur. (3p). b) Beräkna medelvärdet av excitationsgraden n för oscillatorfrihetsgraderna. (4p). c) Termen 1 i uttrycket för E n är den s.k. kvantmekaniska nollpunktsenergin som uppkommer eftersom en kvantmekanisk partikel p.g.a. Heisenbergs osäkerhetsrelation inte kan befinna sig i vila i potentialens minimum. Uppskatta nollpunktsenergin för ett mol aluminium. (p) 6. Teoriuppgift - var noga med definitioner och motiveringar. a) Rita ett fasdiagram för substansen H O. Markera de olika faserna och ange de ungefärliga temperaturerna och trycken för trippelpunkten och den kritiska punkten. (6p) b) Vilket villkor gäller på de linjer som åtskiljer faserna? (p). c) Diskutera vad som karaktäriserar systemet i närheten av den kritiska punkten (Det behövs ingen lång utläggning, utan det räcker med att nämna de centrala punktern.) (p). Lycka till!

9 Tentamen - Termodynamik 4p Tid: , Fredag 3 juni 005. Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare 1. En trähink med 5 liter 0 gradigt vatten ställs in i en bastu som av sitt aggregat hålls vid den konstanta temperaturen 110 C. a) Hur mycket värme har hinken absorberat från luften när jämvikt inträtt?. (5p) b) Hur mycket har den omgivande luftens entropi minskat? (p) c) Hur mycket har universums entropi ökat? (3p) Ledning: Du kan försumma hinkens värmekapacitet och bara betrakta vad som händer med vattnet.. Bonusproblem dugga a) Formulera ekvipartitionsteoremet. (3p) b) Använd detta för att beräkna C V och C p för en ideal monoatomär gas.. (4p) c) Skissera i ett diagram C V för en ideal diatomär gas som en funktion av temperaturen T och förklara kurvans utseende. (3p) 3. En s.k. Einsteinkristall består av en uppsättning kvantmekaniska oscillatorer som oberoende av varandra kan befinna sig i energitillstånden E n = hω(n + 1 ), där ω är oscillatorfrekvensen och heltalet n är motsvarande excitationstal. a) Hur stor är den totala energin, U, för en endimenstionell Einsteinkristall bestående av N stycken oscillatorer? Inför lämpliga beteckningar och motivera ditt uttryck. (p) b) Visa att under antagandet att N 1 och U hω kan antalet tillstånd, Ω(N, U) skrivas påföljande form, Ω(N, U) ( ) q (N N + q + q q och finn relationen mellan q och U. (p) c) Beräkna i samma gräns entropin, S, och temperaturen, T. (4p) d) Beräkna entropin,s, och Helmholtz fria energi, F, i gränsen T. (p) N ) N Vänd! 1

10 4. Teoriuppgift - var noga med definitioner och motiveringar. Multipliciteten för en monoatomär ideal gas ges av, Ω(U, V, N) = f(n)v N U 3N där f är en funktion som bara beror på N. a)visa att för konstant N kan entropin för gasen skrivas som S = k ln ( KV N T 3N ), (p) där K är en konstant beroende på N. b) Förklara varför en reversibel adiabatisk process är isentrop (dvs. äger rum vid konstant entropi), och använd resultatet i a) för visa att en adiabat i en monoatomär ideal gas ges av V T 3 = konstant. (p) c) Helmhotz fria energi ges generellt av F = U T S. Visa de generella relationerna ( ) ( ) F F p = och S = (p). V T T V d) Man kan också visa att ( ) S V T = ( ) p T V använd detta samt resultatet i a) för att bestämma trycket p. (p) e)en monoatomär ideal gas genomgår en godtycklig process från ett begynnelsetillstånd med volym V i och temperatur T i, till ett sluttillstånd med V f och temperatur T f. Visa att följande relation gäller, V f T 3 f = V i T 3 i e S Nk, där S är entropiförändringen under processen. (p) Forts. på nästa blad!

11 5. När ett vanligt bilbatteri laddas upp äger följande kemiska reaktion rum, P bso 4 + H O P b + P bo + 4 H + + SO 4 Använd de bifogade tabellerna för att bestämma, a) Hur mycket arbete som krävs för att regenerera 10g rent bly från den ursprungliga blysulfaten. (4p) b) Hur mycket värme som samtidigt absorberas eller avges från batteriet.. (3p) c) Hur stor spänning som minst måste läggas över polerna för att laddningsprocessen skall kunna äg rum. (3p) Atomvikten för bly kan sättas till En värmemaskin är baserad påföljande cykliska process: 1. en isobar expansion a b;. en adiabatisk expansion b c; 3. en isobar kompression c d; and 4. en adiabatisk kompression d a. a) Rita processen i ett pv och ett ps diagram. (p) b) Arbetsmediet är en gas vars Gibbs fria energi är given av, G = NkT ln at 5 p, där a är en konstant. Visa att entropin ges av S = Nk ln at 5 e 5 p. (3p) c)antag att maskinen arbetar mellan de två konstanta trycken p 1 och p (p 1 < p ), och två konstant entropier, S 1 och S (S 1 < S ) Beräkna det tillförda värmet Q in och det bortförda värmet Q ut under en cykel. Svaret skall ges i p 1, p, S 1, S och a. (3p) Ledning: Beräkna först entalpin H. d) Bestäm maskinens verkningsgrad, e. (p) 3

12 Tentamen - Termodynamik 4p Tid: , Lördag 7 augusti 005. Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare 1. Teoriuppgift - var noga med definitioner och motiveringar. a) Formulera ekvipartitionsteoremet. (3p) b) Använd detta för att beräkna C V för mol av en ideal monoatomär gas.. (p) c) Beräkna C p för samma gas. (p) d) Skissera i ett diagram C V för en ideal diatomär gas som en funktion av temperaturen T och förklara kurvans utseende. (3p). Bonusproblem dugga En mol av en diatomär ideal gas expanderar isotermt till fyra gånger sin ursprungliga volym. a) Arbetar gasen på omgivningen, eller omgivningen på gasen? (p) b) Hur mycket arbete utförs om processen sker vid T = 0 C? (4p) c) Hur mycket arbete skulle utföras om processen istället var adiabatisk, och gasen initialt var vid T = 0 C? (4p) 3. En kastrull med 1,5 kg 0-gradigt vatten värms upp tills vattnet börjar koka. Detta tar 9 minuter från det att den elektriska kokplattan med effekten 1,5 kw slås på. a) Hur stor del av den ur elnätet uttagna energin har använts till uppvärmning av vattnet, d.v.s. hur stor är verkningsgraden? (5p) b) Hur lång tid tar det sedan vattnet uppnått kokpunkten innan kastrullen kokar torr? Samma verkningsgrad som i a) förutsätts. (5p) 4. Två lika stora värmebehållare har värmekapacitansen C och temperaturerna T 1 respektive T. En ideal Carnotmaskin arbetar mellan de två värmebehållarna tills temperaturen har utjämnats. a) Beräkna sluttemperaturen hos de två behållarna. (5p) b) Beräkna entropiändringen hos systemet i sin helhet, och jämför med den entropiändring man skulle få vid en process där temperaturutjämning sker genom värmeledning. (5p) Vänd! 1

13 5. När ett vanligt bilbatteri laddas upp äger följande kemiska reaktion rum, P bso 4 + H O P b + P bo + 4 H + + SO 4 Använd de bifogade tabellerna för att bestämma, a) Hur mycket arbete som krävs för att omvandla mol av den ursprungliga blysulfaten till metalliskt bly. (4p) b) Hur mycket värme som samtidigt absorberas eller avges från batteriet.. (3p) c) Hur stor spänning som minst måste läggas över polerna för att laddningsprocessen skall kunna äg rum. (3p) Atomvikten för bly kan sättas till Multipliciteten hos en s.k. Einsteinkristall är approximativt given av: Ω(N, q) = ( ) q (q q + N + N q a) Finn med utgångspunkt från denna formel ett uttryck för entropin hos en Einsteinkristall som en funktion av N och q. (p) b) Använd resultatet i a) för att finna kristallens temperatur som en funktion av energin U. Förenkla ditt uttryck så mycket som möjligt. (3p) Ledning: Energin hos en Einsteinkristall ges av U = qɛ där ɛ är en konstant. c) Invertera uttrycket du fick i b) för att finna U(T ), och beräkna kristallens värmekapacitet. (3p) d) Visa att i gränsen T ges värmekapaciteten av C = Nk. Ge ett argument för att detta är det korrekta resultatet. (p) N ) N Lycka till!

14 Tentamen - Termodynamik 4p Tid: , Fredag 9 juni 006. Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare 1. Teoriuppgift - var noga med definitioner och motiveringar! a) Formulera termodynamikens andra huvudlag med hjälp av entropibegreppet. (p) b) Betrakta två system i termisk kontakt. Definiera den termodynamiska temperaturen uttryckt i entropin, och använd svaret i a) för att visa att temperaturerna hos de båda systemen är lika då jämvikt inträtt. (4p) c) Definiera Gibbs fria energi, G, och visa att ett system i kontakt med en reservoar vid konstant p och T strävar mot att minimera G. (4p). Bonusp. dugga Teoriuppgift - var noga med definitioner och motiveringar! a)använd kinetisk gasteori för att visa att om en ideal gas är innesluten i en behållare med volymen V, så ges trycket av, p = Nm 3V v där m är gasmolekylernas massa, N antalet molekyler och... betecknar medelvärde över alla molekyler. (5p) b) Ge en precis formulering av ekvipartitionsteoremet. (förklara noggrannt vad du menar med de symboler som ingår i ditt uttryck. ) (3p) c) Härled den allmänna gaslagen genom att kombinera resultatet från a) med ekvipartitionsteoremet i b). (p) 3. En cyklisk process där arbetsmediet, som är en mol ideal monoatomär gas, består av följande delprocesser: i. Isoterm expansion vid T 1 = 00 C från V 1 = 5 liter till V = 15 liter. ii. Isobar kompression till V 3 = 10 liter. iii. Isoterm kompression vid temperaturen T till V 1. iv. Isokor (dvs vid fix volym) upphettning till temperaturen T 1. a) Rita ett pv diagram för processen. p) b) Ange tryck och temperatur för alla hörnen i processen, samt temperaturen på den kalla isotermen. Använd SI enheter. (3p) c) Beräkna det arbetet som utförs på omgivningen under en cykel. (3p) d) Beräkna den teoretiska verkningsgraden för en värmemaskin som är baserad på denna process, samt jämför med en Carnot-process som arbetar mellan samma isotermer. (p) Vänd! 1

15 4. En behållare med en liter vatten vid 0 C är innesluten i en termiskt isolerad stålbehållare. I behållaren finns en kylslinga kopplat till en värmepump med effekten 1000 W och verkningsgraden e = 0.. a) Hur lång tid tar det innan allt vatten kylts ner till nollpunkten? (3p) b) Hur lång tid tar det sen för allt vattnet att frysa till nollgradig is? (3p) c) Antag att kylslingan hålls vid den konstanta temperaturen T = 10 C. Hur mycket ändras den totala entropin under frysprocessen? (p) d) Hur mycket ändras Helmholtz fria energi under frysprocessen om vi antar att den sker vid normalt lufttryck? (Tätheten hos is är 917kg/m 3.) (p) 5. Betrakta en behållare delad i mitten av en skiljevägg med ett litet hål, se figuren. I vänstra halvan finns ursprungligen en mol syrgas och en mol vätgas och i den högra en mol vätgas, allt vid samma temperatur. a) Använd Sackur-Tetrode ekvationen, [ ( ( ) ) ] 3/ V S = Nk ln 4πmU + 5 N 3Nh för att beräkna hur mycket entropin har ökat när jämvikt inträtt.. (4p) b) Om man nu helt avlägsnar mellanväggen, hur förändras då entropin? Motivera ditt svar ordentligt! (p) c) Samma problem som i a - uppgiften, men antag den vänstra halvan istället innehåller två mol vätgas och inget syre. (p) d) Diskutera kortfattat skillnaden mellan vad som händer i a) och c). (p) (Ingen lång utläggning, det räcker med att nämna de centrala punkterna.) 6. Två s.k. Einsteinkristaller vars energi ges av E i = hω N i i=1(n i + 1 ). Antag att kristall 1 har energin E 1 = hωq 1 och kristall energin E = hωq. a) Härled under antagandena att q 1 N 1 och q N, först det totala antalet tillstånd Ω för de två kristallerna var för sig, och sedan för det totala systemet när de satts i termisk kontakt. (3p). b) Beräkna E 1 /E som en funktion av N 1 och N vid termisk jämvikt. (3p). c) Antag att N 1 = N och sätt E 1 = Ē1+ɛ dvs ɛ är avvikelsen från jämviktsvärdet Ē 1. Härled ett approximativt uttryck för det totala antalet tillstånd Ω tot (ɛ) för små ɛ. (4p). Lycka till!

16 Tentamen - Termodynamik 4p Tid: , Lördag 6 augusti 006. Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare 1. En mol av en ideal gas med värmekapaciteten C v genomlöper följande cykliska process: 1. En isobar kompression från temperaturen T 1 till temperaturen T.. En isokor (konstant V ) uppvärmning tillbaka till temperaturen T En isoterm expansion tillbaka till utgångspunkten. a) Rita ett pv-diagram som beskriver processen. (p) b) Arbetar systemet på omgivningen, eller arbetar omgivningen på systemet? Du måste motivera ditt svar! (p) c) Hur stort är detta arbete? (3p) d) Beräkna de värmemängder som upptas/avges i de tre delprocesserna 1, och 3. (3p). Bonusproblem dugga a) Formulera ekvipartitionsteoremet. (3p) b) Använd detta för att beräkna C V och C p för en ideal diatomär gas vid rumstemperatur. (4p) c) Förklara kvalitativt vad som händer vid lägre respektive högre temperaturer, och ge de relevanta uttrycken för C V i de båda fallen. (3p) kg nollgradigt vatten bringas i termisk kontakt med en mycket stor värmereservoar som hålls vid den konstanta temperaturen T = 100 C. Det totala systemet bestående av vattnet och reservoaren är isolerat från omgivningen. Beräkna entropiändringen efter att jämvikt inträtt för: a) vattnet (3 p) b) reservoaren (3 p) c) universum dvs. det totala systemet (1 p) Antag att samma vattenmängd istället bringas i kontakt med en liknande reservoar med T = 50 C. Efter att termisk jämnvikt uppnåtts, isoleras vattnet från denna reservoar och bringas i kontakt med reservoaren vid T = 100 C. d) Beräkna entropiändringen för hela systemet (vattnet och de båda reservoarerna) efter att vattnet värmts upp till T = 100 C. (3 p) Alla processer kan betraktas som isobara. Vänd! 1

17 4. Teoriuppgift -var noga med definitioner härledningar och motiveringar. Rena avskrifter från Physics Handbook ger inga poäng. a) Betrakta den termodynamiska fundamentalidentiteten, du = T ds pdv Med en ideal gas som exempel, förklara kvalitativt vaför energin ökar med ökande entropi, S, vid konstant volym, medan den minskar med ökande volym. (3p) b) Definiera Gibbs fria energi G och härled relationen, dg = SdT + V dp (p) c) Använd termodynamikens andra huvudsats för att visa att ett system vid konstant tryck och temperatur strävar mot att minimera G. (5p) Tips: Betrakta systemet i termisk och mekanisk kontakt med en reservoar som hålls vid konstant temperatur och tryck! 5. En (mycket liten) tredimensionell, Einstein-kristall består av en kub med 8000 atomer. Vi antar att varje atom är en harmonisk oscillator med frekvensen ω, så att den totala energin kan skrivas som E = 8000 i=1 hωn i a) Hur stor är värmekapaciteten för kristallen? (3p) Tips: Tänk noga efter hur många frihetsgrader det finns totalt. b) Härled ett uttryck för antalet mikrotillstånd Ω(q) svarande mot det makrotillstånd som har totala energin q hω. (4p) c) Använd Sterlings approximation för att finna ett uttryck för Ω(50). (3p) Tips: Serieutveckla i q/4000! 6. När ett vanligt bilbatteri laddas upp äger följande kemiska reaktion rum, P bso 4 + H O P b + P bo + 4 H + + SO 4 Använd de bifogade tabellerna för att bestämma, a) Hur mycket arbete som krävs för att regenerera 10g rent bly från den ursprungliga blysulfaten. (4p) b) Hur mycket värme som samtidigt absorberas eller avges från batteriet.. (3p) c) Hur stor spänning som minst måste läggas över polerna för att laddningsprocessen skall kunna äg rum. (3p)