Termodynamik Föreläsning 7 Entropi

Transkript

1 ermodynamik Föreläsning 7 Entropi Jens Fjelstad / 2 Innehåll FS 2:a upplagan (Çengel & urner) FS 3:e upplagan (Çengel, urner & Cimbala) D 6:e upplagan (Çengel & Boles) / 2

2 Förra föreläsningen 2:a Huvudsatsen Energikvalitet, Reversibilitet, Irreversibilitet reversibel=internt + externt reversibel externt reversibel: inga irreversibiliteter i omgivningen internt reversibel: inga irreversibiliteter i systemet antages oftast ekvivalent med kvasistatisk antag int.rev=kvasistatisk Nu: Vilken riktning går en process?, Vad betyder att en process är nära en ideal/reversibel process? 3 / 2 Clausius Olikhet För att introducera Entropi utgår vi från Clausius olikhet Varje kretsprocess (cykel) uppfyller δq 0 δq δq 2 2 δq 3 3 I δq = lim X δq i δ 0 i i 4 / 2

3 Clausius Olikhet För att introducera Entropi utgår vi från Clausius olikhet Varje kretsprocess (cykel) uppfyller δq 0 δq positiv om transport in, annars negativ 4 / 2 Clausius Olikhet För att introducera Entropi utgår vi från Clausius olikhet Varje kretsprocess (cykel) uppfyller δq 0 D: δw C = δq R de C, där δw C = δw R +δw, de C = de R + de reversibel värmemaskin: δq R δq kombinera: δw C = R δq de C = R integrera: W C = H δw C = R H δq δq R = R δq D2: W C 0 H δq 0 4 / 2

4 Clausius Olikhet För att introducera Entropi utgår vi från Clausius olikhet Varje kretsprocess (cykel) uppfyller δq 0 Kan visa: likhet om och endast om processen är internt reversibel (speciellt om den är reversibel) Vi skriver ( ) δq int,rev = 0 4 / 2 Stokes eorem i vå Dimensioner Kom ihåg: om v är ett vektorfält på R 2 har vi v d r = v ds C A }{{} = H C δv C A om H δv = 0 för alla kurvor C så C har vi v = 0 om v = 0 (dvs v konservativt) så existerar en funktion f sådan att v = f, eller med andra ord δv = v d r = df (jfr potentialen för en konservativ kraft) 5 / 2

5 Entropi Stokes teorem ( ) det finns en tillståndsfunktion (egenskap) S sådan att δq = ds int,rev S kallas Entropi SI enhet: J/K (vanligtvis kj/k) Entropi är en extensiv egenskap Specifik entropi s, (kj/kg K) Entropiförändring under process från till 2: 2 ( ) δq S = S 2 S = Isoterm väg: S = Q/ int,rev (integralen längs internt reversibel väg) 6 / 2 Principen om Entropins Ökning Cykel uppbyggd av internt reversibel 2 + irreversibel 2 δq 2 = Skriv S = δq + 2 S = S 2 S 2 δq ( ) δq 2 + S gen δq int,rev = 2 δq + S S 2 0 { > för irreversibel = för internt reversibel 2 δq : entropin transporterad via värme entropiproduktionen S gen 0: entropi producerad p g a irreversibiliteter i systemet 7 / 2

6 Principen om Entropins Ökning forts. Entropin i ett system kan minska, men Isolerat system: Q = 0 S isol 0 entropin hos ett isolerat system kan aldrig minska System + Omgivning är isolerat: S gen = S tot = S syst + S omgivn 0 Universums entropi ökar ständigt 8 / 2 Kommentarer om Entropi. Processer kan endast ske i riktning sådan att S gen 0 2. Entropi inte konserverad (finns ingen konserveringslag associerad till entropi) S bevarad under en reversibel process S ökar under en irreversibel process Ett systems entropi antar maximum vid jämviktstillstånd 3. Entropiproduktion är ett mått på irreversibiliteternas storlek. Dessa degraderar prestandan hos en process Ex: Värmetransport p g a stor leder till större entropiproduktion än om litet 9 / 2

7 Entropiförändringar för Rena/Enhetliga Ämnen s egenskap: bestämt om två oberoende intensiva egenskaper bestämda S = m s s hittas i tabeller (jfr u, v, h) 0 / 2 Isentropa Processer Isentrop: S konstant Internt reversibel adiabatisk process är isentrop pump turbin munstycke / 2

8 Värme och s diagram δq int,rev = ds Q int,rev = δq int,rev = ds q int,rev = Z 2 Z 2 ds ds arean under processkurvan representerar värmen som överförs i en internt reversibel process Isoterm process: Q int,rev = S, q int,rev = s 2 / 2 Vad Är Entropi? Antalet mikrotillstånd (möjliga mikroskopiska konfigurationer): p För isolerat system: S = k ln p k =, J/K ermodynamikens 3:e Huvudsats: Ett rent kristallint ämne vid = 0 har S = 0 (endast en möjlig mikroskopisk konfiguration), dvs = 0 referenspunkt för entropi 3 / 2

9 ds Relationer 8 < : 8 < : D : δq int,rev δw = du δq int,rev = ds δw = PdV h=u+pv dh=du+pdv+vdp ds = du+pdv j ds = du + PdV ds = du + Pdv j ds = dh VdP ds = dh vdp Gibbs första relation, (D2) Gibbs andra relation ds = du + Pdv ds = dh vdp 4 / 2 Entropiförändringar hos Vätskor och Fasta Ämnen Inkompressibla dv 0 c V c P c, du = cd c = c( ) Gibbs första relation: ds = du + Pdv = cd s = s 2 s = 2 c( )d c avg ( 2 ) Isentrop: s = c avg ( 2 ) = 0 2 = 5 / 2

10 Entropiförändringar hos Ideala Gaser ds = du + Pdv ds = dh vdp du = c V ( )d dh = c P ( )d P = R /v v = R /P ds = c V d + R dv v ds = c P d R dp P s 2 s = Z 2 Exakt analys c V ( )d + R ln v 2 v s 2 s = Z 2 definiera s ( ) = 0 c P( )d, finns tabellerade s 2 s = s 2 s R ln (P 2/P ) c P ( )d R ln P 2 P Approximativ: använd konstanta medelvärden c avg,v, c avg,p s = c avg,v ln ( 2 / ) + R ln (v 2 /v ) s = c avg,p ln ( 2 / ) R ln (P 2 /P ) 6 / 2 Isentropa Processer för Ideala Gaser Approximativ analys 0 = s 2 s = c avg,v ln ( 2 ) + R ln ( v 2 v ) ln ( 2 ) = ln ( v v 2 ) R/c V c P = c V + R, k = c P /c V ln ( 2 ) = ln ( v v 2 ) k dvs 2 2 P2 P 7 / 2 «= «= «= «k v v 2 «(k )/k P2 P v v 2 «k eller v k = konstant P (k )/k = konstant Pv k = konstant

11 Övrigt Läs själv: isentropa processer för ideala gaser, exakt analys entropibalans mekanismer för entropitransport 8 / 2 Ex. 8 2 En -reservoir med = R = 800 K förlorar värme till en annan med = L där a) L = 500K, b) L = 750 K Bestäm vilken värmetransport som är mest irreversibel. 9 / 2

12 Ex. 8 4,5 kg vatten är innestängd av en fritt rörlig kolv i en cylinder vid P = 00 kpa och = 20 C. Systemet hettas upp under konstant tryck genom att värmet Q = 3,5MJ transporteras in i vattnet. Bestäm vattnets entropiförändring under denna process. 20 / 2 Ex. 8 0 Luft komprimeras reversibelt och adiabatiskt i en bilmotor från = 22 C och P = 95 kpa. Givet att V /V 2 = 8 bestäm luftens sluttemperatur. 2 / 2