TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) kl

Transkript

1 CHALMERS (4) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM09/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M2 (KVM09 och KVM090) kl Hjälpmedel: Kursböckerna Elliott-Lira: Introductory Chemical Engineering hermodynamics inklusive utdelat Komplettering av föreläsningsmaterial (3/xx sidor) och P. Atkins, L. Jones: Chemical Principles, "abeller och diagram i Energi- och kemiteknik" eller "Data och Diagram", "Physics Handbook", "BEA β" samt valfri kalkylator med tömt minne. I ovan angivna böcker är föreläsningsanteckningar i form av under- och överstrykningar, översättningar, hänvisningar och kommentarer tillåtna, men absolut inte lösningar till exempel eller tidigare tentatal. När ekvationer används utan härledningar bör källa anges. Använda symboler bör definieras om de avviker från kursmaterialets. OBS! Uppgifternas numrering är slumpartad och är inte kopplad till svårighetsgrad. För godkänt (betyg 3) krävs 5 poäng, för betyg 4 20 poäng och för betyg 5 25 poäng. Senast kl kommer Lennart Vamling, ankn. 302 eller Nikola Markovic, ankn. 34, att första gången vara tillgänglig i skrivsalen. Lösningar finns anslagna på Värmeteknik och maskinläras anslagstavla. entamen kommer att rättas anonymt. Resultat meddelas via LADOK senast Granskning får ske kl och , kl i Värmeteknik och maskinläras bibliotek. Därefter kan tentor hämtas ut från Energi och miljös tentamensexpedition, EDI-huset, plan 3, ingång Maskingränd, rum 3434A (öppet mån-fre ). Den s.k. Atkinsoncykeln är en cyklisk process i en cylinder med rörlig kolv som ofta används för att approximera förloppet i de motorer som idag används i en del hybridbilar. Cykeln består av följande delsteg: 2 Isentrop kompression 2 3 Isokor värmning 3 4 Isentrop expansion 4 Isobar kylning Kompressionsförhållandet (V /V 2 ) är 0, det s.k. expansionsförhållandet (V 4 /V 3 ) är 3, mängden gas i cylindern är 0, mol, P = 98 kpa och = 300 K. a) Beräkna 2, 3, och 4! b) Beräkna hur mycket värme som behöver tillföras i steget 2 3 Arbetsmediet kan approximeras med en ideal gas med C p = 29,0 J/(mol K) och κ = C p /C v =,40. (6 p)

2 CHALMERS 2 (4) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM09/KVM090) 2. En uppfinnare påstår att han har fått fram en utrustning som bara behöver tillföras mättad ånga med temperaturen 00 C för att, genom en komplicerad process i flera steg, kontinuerligt vid temperaturen 200 C kunna leverera,3 MJ värme per kg tillförd ånga. a) Är denna process är termodynamiskt möjlig med de data som är givna ovan? b) Vid vilken mängd levererat värme (vid 200 C) går gränsen mellan vad som är termodynamiskt möjligt och omöjligt? Antag steady-state och att kylvatten med temperaturen 0,0 C finns tillgängligt i obegränsad mängd. Välj, bland möjliga, ett tillstånd (, P, ) på det utgående flödet så att vad som är termodynamiskt möjligt maximeras. Värme avges vid 200 C Utrustning mättad ånga vatten 00 C (tillstånd, se text ovan) Kylning (mha kylvatten) vid 0 C (6 p) 3. Ett i värmepumpar vanligt förekommande arbetsmedium är R407C, som är en blandning som består av 43,9 mol% R34a, 38, mol% av R32 och 8,0 mol% av R25. Antag att denna blandning kan anses vara ideal och att trycket är tillräckligt lågt för att Raults lag kan anses giltig. Vi skall nu undersöka förloppet i värmepumpens kondensor för denna blandning lite närmare. a) Om vi, för att få tillräcklig temperatur på vattnet ut till radiatorerna, önskar att arbetsmediets utloppstemperatur ur kondensorn skall vara minst 320 K och att arbetsmediet då skall vara i vätskeform, vilket minsta tryck behövs för att uppnå det? b) Om vi inte har någon tryckändring i kondensorn, vid vilken temperatur börjar de första vätskedropparna bildas? (Antag att trycket är 2,2 MPa om du inte klarar att lösa uppgift a)). Om iteration krävs för någon av deluppgifterna räcker det att du kan visa att du hittat en punkt som ligger närmare lösningen än en rimligt vald startgissning. Ångtrycken för de olika ämnena ges i figur på nästa sida:

3 CHALMERS 3 (4) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM09/KVM090) R34a R32 R P/MPa /K (6 p)

4 ermodynamik (KVM09) a) Visa utgående från huvudsatser, definitioner och generella räkneregler för partiella derivator, att det isoterma volymsberoendet hos Gibbs funktion kan uttryckas på följande två sätt: ( ) G V = V ( ) P V = V ( 2 ) A V 2. (3 p) b) Beräkna ändringen i Gibbs och Helmholtz funktioner ( G och A) då en mol O 2 (g) komprimeras från V = m 3 till V 2 = m 3 vid K. Gasen beskrivs av den trunkerade virialekvationen P V = R + BP där B( ) = m 3 mol vid 250 K. (3 p) 5. a) Betrakta följande gasfasjämvikt: CH 4 + H 2 O CO + 3H 2. ermodynamiska data (vid 25 C) för reaktanter och produkter: CH 4 H 2 O CO H 2 f H /kj mol S /J K mol CP /J K mol otalt: 6 poäng Gör med dessa termodynamiska data en så god uppskattning som möjligt av jämviktskonstanten vid 650 K. (3 p) b) Vid ett experiment infördes metan och vattenånga hastigt i ett slutet och termostaterat kärl vid 950 K. Omedelbart efter blandningen av gaserna (men innan reaktionen startat) var partialtrycken.00 bar av var och en av reaktanterna. Beräkna partialtrycken av alla fyra specierna (behandlade som ideala gaser) vid jämvikt. Jämviktskonstanten vid denna temperatur är 6.8. (3 p) otalt: 6 poäng

5 ermodynamik Lösningsförslag Definitioner: kj 000 J kpa 000 Pa J R MJ 000 kj molk Uppgift - Atkinson-cykel Givna uppgifter 300 K Kompressions_kvot 0 Expansions_kvot 3 J γ.4 Cp 29.0 P 98 kpa n 0. mol molk Ur dessa fås Cp Cv γ a) Beräkna alla okända temperaturer Punkt 2 Isentrop kompression från J molk V R P V2 V Kompressions_kvot 2 V γ K V2 γ V P2 P P kpa V2 Punkt 3 isokor värmning från 2 V3 V2 För att komma vidare behöver vi få fram P3 - "gå cykeln baklänges" för att få fram den. V4 V3Expansions_kvot Punkt 4 - isobar kylning från 4 till V4P4 P4 P K R Punkt 3 (forts) - adiabatisk expansion från 3 till 4 γ V4 P3 P4 P kpa V3 P3V K R b) Beräkna tillfört värme i steget 2-3. Värmebalans (integrerad) ger (nu)=q_23. För idealgas så gäller (med konstant Cv) att U=Cv

6 Q_23 ncv( 3 2) Q_ J Svar: a) emperaturerna är 754 K, 088 K resp. 390 K b) illfört värme är 693 J Uppgift 2 Energi och entropibalans Låt utrustningen utgöra vårt system. Då har vi ett inlopp och ett utlopp, samt värmeutbyte med omgivningen vid två temperaturnivåer (200 C och 0 C). Värmeutbytena kallar vi Q_H resp Q_C. Vid Steady-state ger då energibalansen att 0=mHin-mHut+Q_H+Q_C Vi kan även ställa upp en entropibalans för systemet. Den ger 0=mSin-mSut+Q_H/H+Q_C/C+S_gen Vi känner tillståndet vid Hin (mättad vattenånga vid 00 C), men vad vet vi om utloppet? Vi vet att vi skall utnyttja det maximalt, dvs vi skall gå till så låg entalpi, dvs så lågt tryck och temperatur som möjligt. Eftersom vi har stor tillgång till kylvatten vid 0 C, så är detta "bästa" tillstånd mättad vätska vid 0 C. Från tabell så har vi Hin kj kj Sin Hut kj Sut 0.5 kg kgk kg kj kgk Från energibalans så har vi QC= H-QH. Om vi sätter in detta i entropibalansen, så blir QH=( S-Sgen- H/C)/(/H-/C)) a) Givet är att QH 300 kj H ( ) K C ( ) K kg Från tabellvärdena har vi ΔH Hut Hin ΔS Sut Sin Ur ekvationen ovan får vi då genererad entropi Sgen QH C H ΔH ΔS C kj kgk Alltså möjligt då Sgen>0 b) Gränsen för maximalt avgivet värme (-QH_limit) fås då vi har en förlustfri utrustning, dvs då Sgen=0. QH_limit ΔH ΔS C H C kj kg Svar: Med angivna förutsättningar kan apparaten som mest avge 479 kj/kg ånga, det uppgivna värdet är alltså termodynamiskt möjligt.

7 Uppgift 3 - dagg och bubbelpunkt Numrera ämnena enligt R34a=, R32=2 och R25=3 Låt z beteckna totalsammansättningen Givet z 43.9% z2 38.% z3 z z2 8 % a) Sökt är lägsta möjliga kondenseringstrycket då utloppet är 320 K och "allt vätska". Detta innebär att vi söker bubbelpunktstrycket för temperaturen 320 K! Givet: bp 320K x z x2 z2 x3 z3 Ur diagrammet vid =320 K psat.2mpa p2sat 2.92MPa p3sat 2.35MPa Enligt E/L 9.59/0.20 Pbp xpsat x2p2sat x3p3sat b) Vi söker nu vid vilken temperatur de första vätskedropparna bildas för det i a) funna kondenseringstrycket. Det innebär att vi söker daggpunktstemperaturen för trycket 2,067 MPa Pdp Pbp y z y2 z2 y3 z3 Pa För ideal blandning så är Pdp=/(y/psat+y2/p2sat+y3/p3sat) För att få fram mättnadstrycken så behöver vi temperaturen. Beräkningsgången blir då att gissa en temperatur, beräkna totaltrycket, kolla hur väl det stämmer med det önskade och därefter justera gissad temperatur Vi börjar med att kolla med samma temp som bubbelpunkten (för att vi redan har data) psat.2mpa p2sat 2.92MPa p3sat 2.35MPa Enligt E/L 9.60/0.2 P320K y psat y2 p2sat y3 p3sat.755mpa För lågt, andra gissing 330 K, läs av i diagram: psat.55mpa p2sat 3.68MPa p3sat 2.95MPa P330K y psat y2 p2sat y3 p3sat 2.233MPa Det blev lite för högt, ny gissning tas genom interpolation (men mer än hit krävs egentligen inte, eftersom vi funnit en "bättre" punkt.

8 ( Pbp P320K) Δ P330K P320K Ny gissning 326K Ny avläsning ger psat.4mpa p2sat 3.3MPa p3sat 2.7MPa P326K y psat y2 p2sat y3 p3sat 2.07MPa Som väntat ganska nära, interpolation ger Pdp P326K Δ P330K P326K Nästa gissning är då lämpligtvis 327 K Alternativt för annat Pdp Pdp_alt 2.2MPa Interpolation Pdp_alt P326K Δ_alt 4 ( ) P330K P326K Svar: a) Lägsta trycket är 2,07 MPa b) emperaturen i daggpunkten är ca 327 K (mellan 326 och 330), alternativt för tryck 2,2 MPa ca 329 K

9 ermodynamik (KVM09) Kortfattade lösningsförslag till tentamen i ermodynamik , uppgifterna 4 och 5 4.a) Från definitionerna G = H S, H = U + P V och A = U S fås G = H S = U + P V S = A + P V, ( ) G V = ( ) ( ) A P + V + P. () V V Första huvudsatsen slutet system du = dq + dw, andra huvudsatsen (reversibel process) ds = dq/ och reversibelt EC-arbete dw = P dv ger du = ds P dv. Via definitionen av A fås da = d(u S) = du ds Sd = ds P dv ds Sd = Sd P dv. (2) För en isoterm process (d = 0) gäller alltså ( ) A = P, (3) V vilket insatt i () ger ( ) ( ) G P = V. (4) V V Derivering av (3) ger ( 2 ) ( ) A P = V 2 V vilket insatt i (4) ger ( ) ( G 2 ) A = V V V 2 Båda likheterna är därmed bevisade., (5). (6) 4.b) Den finita ändringen av G fås med hjälp av den givna derivatan: ( ) V2 G ( ) V2 P P2 G = dv = V dv = V dp V V V V P P2 ( ) R = P + B dp = R ln(p 2 /P ) + B(P 2 P ), P

10 ermodynamik (KVM09) där V -uttrycket kommer från virialekvationen, liksom integrationsgränserna, V = R P + B, P = R V B (P i/pa 03798, ) Alternativt kan man byta variabel (dp = R/(V B) 2 dv ) och beräkna G = P2 P = R V dp = R [ ln V2 ( ) V2 B V B V V (V B) 2 dv + B(V 2 V ) V 2 B)(V B) Vi erhåller (oavsett metod!) G 4739 J mol. Från definitionen av G, H och A (se uppgift 4.a ovan) fås G = A + (P V ) = A + B P, dvs A = G B(P 2 P ) 4762 J mol. 5.a) Beräkna H, S och C P för reaktionen vid K: ]. H = i S = i C P = i ν i H (i) = J mol ν i S (i) = J K mol ν i C P (i) = 46.7 J K mol. Räkna om entalpi- och entropiändringarna (isobar temperaturändring = K 2 = K), antag att C P är approximativt - oberoende: H ( 2 ) = H ( ) + C P ( 2 ) = J mol, S ( 2 ) = S ( ) + C P ln 2 = J K mol. Beräkna G för reaktionen vid 650 K: G = H S = J mol. Utnyttja nu G = R ln K = K = b) Partialtrycken (bar) vid t = 0 och vid jämvikt: CH 4 + H 2 O CO + 3H 2 t = Jämvikt x x x 3x

11 ermodynamik (KVM09) Vi antar idealgasblandning: K = i K(P ) 2 27 ( Pi = P ) νi = P CO P 3 H 2 P CH4 P H2 O(P ) 2 = x(3x) 3 ( x) 2 (P ) 2, x 4 ( ) x 2 2 ( x), 2 c2 =, x där vi infört c = P K/ bar. Vi får ekvationen x 2 + cx c = 0 = x = c [ ( ) ] c 2 /2 2 ± + c 2 med rötterna x = ( ), dvs P CH4 = x = bar, P H2 O = x = bar, P CO = x = bar, P H2 = 3x =.48 bar. otaltrycket blir alltså P tot = 2 + 2x = 2.99 bar.