KOMPRESSIBEL STRÖMNING I RÖR OCH KANALER, KONSTANT TVÄRSNITT

Transkript

1 KOMPRESSIBEL STRÖMNING I RÖR OCH KANALER, KONSTANT TVÄRSNITT Stationär, endimensionell strömning, perfekt gas, konstant tvärsnitt. Inget tekniskt eller visköst arbete, försumbara variationer i potentiell energi. Väggskjuvspänning m.h.a. Darcys friktionsfaktor, τ w = fρv 2 /8, f = φ(re, ǫ/ ), = 4A/P, Re = 4ṁ/(Pµ), där µ endast beror av temperaturen. Massbalans: ṁ/a = ρv = G = konst. dρ ρ + dv V = 0 Impulsbalans: pa (p + dp)a τ w Pdx = ṁ(v + dv V ) dp + ρv dv + fρv 2 (dx/ )/2 = dp 0 + fρv 2 (dx/ )/2 = 0 Tillståndsekvation: p = ρrt dp p = dρ ρ + dt T Energibalans: δq = dh 0 = c p dt 0 = c p dt + V dv c p = kr/(k 1), k = c p /c v = konst. Ma = V/a, a = krt = kp/ρ ρv 2 = kpma 2 Betrakta först adiabatisk strömning, δq = 0 dt 0 = 0, konstant stagnationstemperatur. Entropin ökar, ds δq/t = ds > 0. Ch. 9.7 Strömningslära C. Norberg, LTH

2 ADIABATISK KOMPRESSIBEL RÖRSTRÖMNING MED FRIKTION dp 1 + (k 1)Ma2 = kma2 p 2(1 Ma 2 f dx ) dρ ρ = dv V = kma2 2(1 Ma 2 ) f dx dp 0 = dρ 0 = 1 p 0 ρ 0 2 kma2 f dx < 0 dt 1)Ma4 = k(k T 2(1 Ma 2 ) f dx dma 2 Ma 2 = kma (k 1)Ma2 2 1 Ma 2 f dx Storhet Ma < 1 Ma > 1 p minskar ökar ρ minskar ökar V ökar minskar p 0, ρ 0 minskar minskar T minskar ökar Ma ökar minskar s ökar ökar Stagnationstrycket p 0 sjunker, entropin ökar. Hastigheten liksom Machtalet ökar vid underljudsströmning, omvänt vid överljud. Oavsett inloppstillstånd drivs strömningen mot soniska förhållanden, Ma = 1 (maximal entropi). Lämpligt referenstillstånd: Ma = 1 (betecknat med *) Inlopp vid x = 0 Tänkt utlopp vid x = L Ma = 1, p = p, T = T, o.s.v. Ch. 9.7 Strömningslära C. Norberg, LTH

3 ADIABATISK KOMPRESSIBEL RÖRSTRÖMNING MED FRIKTION... Ekvationen för dma 2 kan integreras: L 0 f dx = fl = 1 Ma2 kma 2 + k + 1 2k ln f representerar medelvärde över [ 0, L ]. (k + 1)Ma (k 1)Ma 2 Övriga storheter: Varje tvärsnitt har en egen kritisk längd, d.v.s. f L = fl 1 fl 2 p/p = Ma 1 g 1 2 ; ρ/ρ = V /V = Ma 1 g 1 2 T/T = (a/a ) 2 = g ; p 0 /p 0 = ρ 0 /ρ 0 = Ma 1 g 2(k 1) k+1 k + 1 g = 2 + (k 1)Ma 2 Vid problemlösning, p 2 /p 1 = (p 2 /p )/(p 1 /p ), etc. Ch. 9.7 Strömningslära C. Norberg, LTH

4 STRYPNING P.G.A. FRIKTION För varje givet Machtal Ma 1 vid tänkt inlopp (x = 0) kommer strömningen till slut att bli sonisk, Ma = 1, vid x = L (Ma 1 ). Exempel: f = 0.020, k = 1.40; Ma 1 = L / = 205; (a) Ma 1 = 3.00 L / = 26.1; Ma 1 L / = Vad händer om L > L, d.v.s. röret längre än kritisk längd? Strömningen i utloppet blir sonisk, strypt. (i) Ma 1 < 1. Machtalet vid inloppet kan inte upprätthållas. Strömningen anpassas (bromsas upp) så att Machtalet vid inloppet blir lägre, Ma 1,new < Ma 1, L = L (Ma 1,new ). Massflödet minskar. (ii) Ma 1 > 1. Stötbildning med övergång till Ma < 1 så att Ma blir exakt ett vid utloppet (b, c). Givet inlopps-machtal innebär att viss längd ger stöt precis vid inloppet. Exempel: f = 0.020, k = 1.40; Ma 1 = 3.00 = Ma n1 Ma n2 = 0.475, L / = Vid ännu längre rör (d) sker stöt uppströms inloppet, i det förmodade Lavalmunstycket. Först då stöten når munstyckets minsta sektion minskar massflödet. Ch. 9.7 Strömningslära C. Norberg, LTH

5 ISOTERM KOMPRESSIBEL RÖRSTRÖMNING MED FRIKTION Adiabatisk approximation är oftast OK för relativt korta rör och kanaler, upp till 100 vid normal isolering (naturlig konvektion). För riktigt långa rör, t.ex. gasströmning i långa pipelines, är isoterm approximation mer lämplig. En strikt isoterm kompressibel strömning kräver dock anpassat värmeutbyte, δq = V dv. Supersonisk isoterm strömning är mycket ovanligt. p/ρ = RT = konst. dρ/ρ = dp/p ρv = ṁ/a = konst. dρ/ρ = dv/v vilket insatt ger Machtalsrelationer... dp/p = dv/v Strömningen drivs mot Machtal lägre än ett, Ma crit = 1/ k; k = 1.40 Ma crit = Strypt strömning sker vid L max, fl max = 1 kma2 kma 2 + ln ( kma 2 ) (9.71) Mycket snarligt adiabatiska fallet, speciellt subsonisk strömning. Beteckna det tänkta strypta tillståndet vid x = L max med prim, p, ρ, V, etc. Då gäller V/V = ρ /ρ = p /p = k Ma (9.72) I motsats till adiabatisk strömning finns en explicit formel för massflödet: G 2 = ṁ A 2 = p 2 1 p2 2 RT[ fl/ + 2 ln(p 1 /p 2 ) ] (9.73) Subsoniskt inlopp (Ma 1 < 1) kräver Ma 2 Ma crit = 1/ k; om inte måste Ma 1 minskas så att Ma 2 = Ma crit uppfylls. Vid adiabatisk strömning kan ekv. (9.73) med fördel användas som utgångspunkt vid iterativ beräkning av ṁ. Ch. 9.8 Strömningslära C. Norberg, LTH

6 FRIKTIONSFRI KOMPRESSIBEL STRÖMNING MED VÄRMEUTBYTE Vid kraftig kylning/värmning eller internt värmeutbyte, t.ex. i brännkammare, kan oftast väggfriktionen försummas, 4τ w d(x/ ) ρ δq. [KE] ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2 = G = ṁ/a = konst. [IE] p 1 p 2 = G(V 2 V 1 ) = ρ 2 V2 2 ρ 1 V1 2 [EE] Q/ṁ = q = c p (T 02 T 01 ) = kr k 1 (T 02 T 01 ) p 2 [TE] = p 1 ρ 2 T 2 ρ 1 T 1 [Machtal] Ma = V a = V krt ρv 2 = kpma 2 p 2 = 1 + kma2 1 p kma 2 2 V 2 V 1 = Ma 2 Ma 1 a 2 a 1 = Ma 2 Ma 1 T 2 T 1 = ρ 2 ρ 1 p 2 p 1 = V 2 V 1 p 2 p 1 T 2 T 1 = T 1/2 2 T kma kma 2 2 Ma 2 Ma 1 T 0 T = 1 + k 1 Ma 2 samt p 0 2 p = T k 1 0 T 02 och p 02 T T 01 p 01 T 02 = T 01 + k 1 kr q, o.s.v. k 2 Ch. 9.8 Strömningslära C. Norberg, LTH

7 STRÖMNING MED VÄRMEUTBYTE... q = c p (T 02 T 01 ), d.v.s. värmning (q > 0) ökar T 0, omvänt vid kylning. Max. T 0 sker vid Ma = 1, d.v.s. vid givna inloppsförhållanden kan bara en viss värmemängd q max tillföras. Låt tänkt utloppstillstånd vara vid Ma = 1 och beteckna alla övriga storheter med {.}, ex. p, T,.... Arbetssamband (k = 1.40, se Table B.4): T 0 T0 p 0 p 0 = (k + 1)Ma2 [ 2 + (k 1)Ma 2 ] (1 + k Ma 2 ) 2 = k k Ma 2 T T = k + 1 Ma2 1 + k Ma 2 p p = k k Ma 2 V V = ρ ρ 2 + (k 1)Ma 2 2 = (k + 1)Ma2 1 + kma 2 k + 1 k k 1 Ex. värmning; q > q max? Utloppet blir soniskt, strypt, Ma 2 = 1. Strömningen måste anpassa sig så att tillförd värmemängd klaras av, T 02 = T 01 + q/c p = T 0. Vid subsoniskt inlopp minskar Ma 1, Ma 1,new < Ma 1. Om Ma 1 > 1 utbildas stöt uppströms, inloppet blir subsoniskt, Ma 1,new < 1. Ch. 9.8 Strömningslära C. Norberg, LTH

8 TVÅDIMENSIONELL SUPERSONISK STRÖMNING Betrakta en liten partikel som färdas med hastigheten U genom stillastående gas. Partikeln sänder ut ljudpulser som utbreder sig med ljudhastigheten a. Machtal, Ma = U/a. (a) Ma < 1. Partikeln kommer inte ifatt sina ljudpulser, a δt > U δt, subsonisk hastighet. Ljudet hörs i alla riktningar. (b) Ma = 1. Precis ifatt! Hastigheten är sonisk. Ljudet hörs endast bakom partikeln. (c) Ma > 1. Partikeln åker ifatt och förbi sina egna ljudpulser, U δt > a δt, supersonisk hastighet. Vågfronter formar sig till en kon. Inget ljud hörs utanför denna s.k. Machkon. Machvinkel, µ = arcsin 1 Ma Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH

9 SNEDA STÖTAR Sneda stötar uppträder då supersonisk strömning tvingas till omlänkning i samband med kompression (tryckökning). Supersonisk 2-D strömning kring kilformade kroppar: Anliggande stöt, liten omlänkning, θ < θ max Friliggande stöt, stor omlänkning, θ > θ max Under vissa förhållanden kan supersonisk strömning upprätthållas även efter en sned stöt. Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH

10 SNEDA STÖTAR... Stötvinkel β; Omlänkningsvinkel θ; Tunn stöt A 2 = A 1 ; Adiabatiskt T 02 = T 01 ; Irreversibelt s 2 > s 1 [KE] ρ 1 V n1 = ρ 2 V n2 [IE] n p 1 p 2 = ρ 2 Vn2 2 ρ 1 Vn1 2 [IE] t 0 = ρ 1 V n1 (V t2 V t1 ) V t2 = V t1 [EE] ĥ 1 + Vn1/2 2 = ĥ2 + Vn2/2 2 Ekvationssystemet identiskt med det som gäller raka stötar om V 1 och V 2 ersätts med V n1 resp. V n2. Samma form på Machtalsrelationer! Ma 1 Ma n1 = V n1 /a 1 = Ma 1 sinβ > 1 Ma 2 Ma n2 = V n2 /a 2 = Ma 2 sin(β θ) < 1 p 2 = p 1 ρ 2 = ρ [ 2k Ma 2 k sin 2 β (k 1) ] tanβ tan(β θ) = (k + 1)Ma2 1 sin2 β (k 1)Ma 2 1 sin 2 β + 2 = V n1 V n2 Ma 2 n2 = (k 1)Ma2 n k Ma 2 n1 (k 1) Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH

11 HODOGRAF, MAXIMAL OMLÄNKNINGSVINKEL En stråle från origo som tangerar eller skär genom den droppformade hodografen motsvarar möjlig omlänkning θ vid sned stöt, vid givet Machtal Ma 1 innan stöten. Två möjligheter (lösningar) om θ < θ max ; stötvinklar β w och β s, svag resp. stark stöt. Ingen lösning om θ > θ max. Den maximala omlänkningsvinkeln θ max ökar med Ma 1 men är begränsad även då Ma 1. Omlänkningsvinkel, θ = arctan V t V n2 arctan V t V n1. Derivering m.a.p. V t och derivatan noll ger θ max = arctanr 1/2 arctanr 1/2, r = V n1 /V n2 Ma n1 r = (k + 1)/(k 1); med k = 1.4 fås r = V n1 /V n2 = 6.0 θ max = 46 (β = 68 ); Ma n1 = 3.0 r = 3.86 θ max = 36 (β = 63, Ma 1 = Ma n1 / sinβ = 3.4). Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH

12 SAMBAND MELLAN VINKLAR tanθ = 2 tanβ Ma 2 1 sin2 β 1 Ma 2 1 (k + cos 2β) + 2 (9.86) θ = 0, β = 90 (rak stöt, Ma 2 < 1 ) θ = 0, Ma 2 > 1 β = µ (Machvågor) θ > 0 β > µ (stötvågor) Given omlänkningsvinkel θ < θ max två möjliga stötvinklar β: Liten stötvinkel Svag stöt (oftast är Ma 2 > 1) Stor stötvinkel Stark stöt (Ma 2 < 1). Typ av stöt beror av förhållanden nedströms. Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH

13 EXTREMT SVAGA STÖTAR Vid ändlig omlänkningsvinkel θ är stötvinkeln β alltid större än Machvinkeln µ (sinµ = 1/Ma 1 ). Linjärisering kring θ = 0 ger sinβ = sinµ + k cosµ tanθ + O(tan2 θ) (9.88) p 2 p 1 p 1 = kma 2 1 Ma tanθ + O(tan2 θ) (9.89) s 2 s 1 c p = (k2 1)Ma (Ma 2 1 1) 3/2 tan3 θ + O(tan 4 θ) (9.90) Svaga stötar med små θ approximativt isentropa (förlustfria). Ma = 2: p 2 /p 1 inom 10% då θ < 5 ; Ma = 6: θ < 2 ; motsvarande β inom 0.2 ; ekv. (9.88) ger bra β-startvärde vid iteration med ekv. (9.86). Linjärisering ligger till grund för teorin om supersoniska expansionsfanor (Prandtl-Meyers expansionsvågor). Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH

14 GRADVIS OMLÄNKNING, EXPANSIONSFANOR Linjäriserad teori kan användas vid gradvisa omlänkningar av supersonisk strömning. Processen kan approximeras som isentrop. (a) Gradvis kompression minskar Machtalet, Machvågor sammanstrålar/samverkar stötvåg med ändlig amplitud. (b) Gradvis expansion ökar Machtalet, Machvågorna divergerar. (c) Plötslig kompression kan endast approximeras med linjär teori vid små θ och låga Ma 1 > 1, alldeles invid hörnet dock som fall (a). (d) Vid plötslig expansion sprids Machvågorna ut från hörnet likt en solfjäder ( expansionsfana ), hela omlänkningen kan behandlas med linjäriserad teori, genom integration (Prandtl & Meyer, 1908). Vid givet Machtal uppströms och given expansionsvinkel kan t.ex utgående Machtal enkelt beräknas. Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

15 PRANDTL-MEYERS FUNKTION Differentiell omlänkning dθ; Ma > 1 Isentrop omlänkning dp p = dθ = dω = kma2 Ma 2 1 dθ Ma (k 1)Ma 2 /2 d(ma) Ma Expansion (dω > 0) ökar således Machtalet. Integration med ω(ma = 1) = 0 ger Prandtl-Meyers funktion: ω(ma) = K arctan Ma2 1 K arctan ( Ma 2 ) 1 K = k + 1 k 1 Ma ω = ω max = π( K 1)/2. Med k = 1.40 fås K = 6.0, ω max = Expansion med vinkeln ω: ω = ω 1 2 = ω(ma 2 ) ω(ma 1 ) Ex. Ma 1 = 4.0, k = 1.40 ω 1 = (Table B.5). ω = 20 ω 2 = ω 1 + ω = Ma 2 = 6.2. Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

16 TUNNA VINGPROFILER, SUPERSONISK STRÖMNING ACKERETS TEORI Tvådimensionell strömning, teori efter Jacob Ackeret (1925). α 1 bredd b C C = korda L = F cosα F D = F sinα F α : F = (p 2 p 3 )Cb = (p 2 p 3 )A p p 2 p 3 = (p 2 p ) (p 3 p ) = p p 2 p p p 3 p p 2 : svag stöt, θ = α p 2 p p = kma2 α Ma : expansionsfana, ω = α = θ p 3 p p L F = p kma 2 A p 2α Ma 2 1 C L = 2L/(ρ U 2 A p ), ρ U 2 = kp Ma 2 = kma2 ( α) Ma 2 1 C L 4α Ma 2 1, C D 4α 2 Ma 2 1 Ch Strömningslära C. Norberg, LTH